数学极限法在物理解题中的应用

数学极限法在物理解题中的应用

作者：黄丽艳

来源：《新课程·中旬》2014年第10期

极限法是把某个物理量或某个物体的位置推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且要具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

例1.如图1所示，甲、乙两物体在同一直线上同时沿同方向运动。甲以速度v0做匀速运动，乙从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，开始时乙在甲前，且距离甲s远，求当s满足什么条 件时： ■

（1）甲、乙只能相遇一次;（2）甲、乙能相遇两次。

解析：甲、乙相遇时，它们的位移之差为s，可推测相遇时间t必与s有关，t是否有实数解取决于s是否满足判别式大于等于零。

设甲、乙两物体运动t时间相遇，则s甲-s=s乙，即v0=■at2，整理得t2-■t+■=0这是一个关于t的二次方程，判别式？驻=（■）2-■

（1）若？驻>0，即s<■时，方程有两个解，甲、乙能相遇两次; （2）若？驻=0，即s=■时，有一个解，表明甲、乙只能相遇一次。

例2.设地球的质量为m1，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度v=■，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106 m，设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）

解析：由能量守恒定律可知卫星发射后在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为v发，卫星发射后具有的机械能为 E1=■mv2发-G■①

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进入轨道后卫星的机械能为E2=■mv2轨-G■② 由E1=E2，并代入v轨=■，解得发射速度为v发=■③

又因为在地面上可以认为万有引力等于重力，即G■=mg所以■=R0g④ 把④式代入③式解得v发=■

（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为vmin=■=7.9×103 m/s

（2）如果r→∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为vmax=■=11.2×103 m/s

例3.一物体一速度v0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上飞出，如图2所示，当高台的高度h多大时，小物体飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10 m/s2）

解析：依题意，小物体经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物体受重力和支持力，由于支持力不做功，物体的机械能守恒，物体从高台飞出后，做平抛运动，其水平距离s是高度h的函数。

设小物体刚脱离曲面顶部的速度为v，根据机械能守恒定律，有 ■mv20=■mv2+mgh①

小物体做平抛运动的水平距离s和高度h分别为 h=■gt2② s=vt③ 以上①②③联立解得 s=■■=2■

当h=■=2.5 m时，飞行距离最大，为smax=■=5 m。 ？誗编辑 段丽君