射影问题

内容：立体几何中的投影问题

引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。二牛听后说你们俩都对。他们俩半信半凝。同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？

投影问题可分为两类 一．正投影问题

解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线

1.直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，A、B在α内的射影分别为A´、B´，（1）求证：ΔA

oo

´B´C是钝角三角;（2）当AC，BC与平面α所成的角分别为30和45时,求cos∠A´CB´的值.

2．A、B分别是60o的二面角α-l-β的面α、β上的点，AA1⊥β于A1，BB1⊥α于B1，A1B1到l的距离分别为a、b，A、B在棱l上的射影间的距离为c(如图)，求AB的长。 ¦Á

A B1

l BD

A1 C¦Â

3．ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别A´、B´、C´、D´，直线A´B´与C´D´不重合。（1）求证：A´B´C´D´是平行四边形；（2）在怎样的条件下A´B´C´D´也是矩形？并证明你的结论。 4．设正四棱锥P的底是边长为2 的正方形，高为h，平面π平行于正方形的一条对角线，与P的底面交角为α，把P正投影到π上，问α为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？

二.影子长和面积问题

解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交

5．北纬38o的开阔平地上，在楼高为H的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应不小于多少？

6．抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面BG表示，上面用

o

AC=3m,BC=4m,AB=5m的角钢焊成（将AB放在墙上），他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75角时，气温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚ABC面与水平面应成多大角度？ 练习 B

C

A HB'

C'

GA'

1.点光源S与屏幕之间有一个直径为2的小球，球心O与点光源S连线与屏幕垂直，O点到S与屏幕之间的距离都是2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为 16A. B.4 C.3 D.16. 32.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心, 则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________. D1 C1 (要求:把可能的图的序号都填上) A1 B1 E F D C A B ① ② ③ ④

3.ΔABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A、B、C在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A´、B´、C´,若ΔA´B´C´为直角三角形，BC与α间的距离为5,则A到平面α的距离为_______. 4.地球半径为R，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_____________.

5.在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o.若要光源恰照亮整个广场，其高度应为_________.

6．在阳光下，一个大球放于水平地面上，球的影子伸长到距球与地面接触点10米远，同一时刻，一根竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，求球的半径。

7．从平面α外一点P向平面α引垂线PO和斜线PA、PB，垂足为O，斜足为A、B，PA、PB和平面α所成角的差为45o,且在平面α上的射影长分别为2和12，求PO的长

8.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB，AC与α都斜交，A在α上的射影是O（O不在BC上），求证：∠BOC是钝角。 9．（1）若直角∠ABC的一边BC平行于平面α，另一边AB和平面α斜交（如图），求证：∠ABC在平面α上的射影仍是直角；（2）直角∠ABC的一条边AB和平面α斜交，另一边BC不在平面α内，若∠ABC在α上的射影仍是直角，求证：BC∥α。 B C

α

A

10．已知平面α//平面β，点AC，BD为夹在α,β间的两斜线段（A，B在α内，C，D在β内）且AC=37，BD=125，AC在β上的射影长为12，求BD在β上的射影长.

oo

11.已知二面角α-MN-β为60,A∈α,B∈β,BC为AB在β上的射影，且C在棱MN上，AB与β所成角为60,且AC=5，∠MCB=45，求线段AB的长。

o

A α

M C N

B

β

12．求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心。

13．在三棱锥P-ABC中，已知棱PC，AC，BC两两互相垂直，且∠PAC=30,PB=13,BC=3(如图)（1）求二面角B-PA-C的度数；（2）设C点在面PAB上的射影为O，求点O到面PAC的距离。 P C A

B

15.已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于ABC的高CD上．ABa,VC与AB之间的距离为h,MVC．（1）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC平面AMB；（3）若∠MDC=∠CVN=(0考试题）

o

2)，求四面体MABC的体积．（2001高

折叠问题

要点：解决此类问题应同时画出折叠前的平面图形和折叠后的空间图形，进行对照分析。凡在折叠后的图形中添加的辅助线，都应在折叠前的平面图形中画出，对有关的线段、角度的数量关系作出正确的判断，掌握哪些

发生了变化，哪些没有发生变化。 典型例题

例1．等腰直角ΔABC和直角ΔBCD有公共边BC，其中∠BAC=90o，∠BCD=90，∠CBD=30,BC=6,今以BC为棱

o

o

的成大小为 (0θ的正弦值。

2（1）求翻折后线段AD的长；（2）当点A在平面BCD上的射影在BD上时，求)的二面角。

A A B

C B

C

D

D

1

1

1

1

1

例2．如图，在矩形ABCD中，AB33,BC3,沿对角线BD把ΔBCD折起，使C移到C点，且C在平面ABC上的射影O恰好在AB上。（1）求证：A C⊥B C；（2）求AB与平面B CD所成的角的正弦值。 ，C

B A

C D

o

例3．在ABC中，∠ACB=90，BC=a,AC=b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在什么位置时，AB为最小？最小值是多少？

例4.在矩形ABCD中，AB= a,AD=b,a>b,P是CD上的点，设∠BAP=θ，沿AP把它折成直二面角D-AP-B后，（1）求BD=f(θ)的函数式；（2）θ为何值时，BD为最小，最小值是多少？

D P C

A B

练习

1．右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ．．．①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成60角 ④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④

2．ABCD是边长为1的正方形，E、F分别是BC，CD的中点， 沿AE，EF，AF折起，使B，C，D重合于P，则二面角P-EF-A 的余弦值为

A P D 112A. B. C. 0 D. 3443．上题中三棱锥P-AEF的体积为

A. 1521. B. . C. . D. 24482484．已知边长为a 的菱形ABCD中，∠BAD=30o，今沿对角线AC将 B E C

o

菱形折成60的二面角，则AC与BD间的距离等于__________. 5．在平行四边形ABCD中，已知AD=a,AB=2a, ∠DAB=60o,M,N分别为AB，CD的中点，以MN为轴将AMND旋转120o，求三棱柱CDN-BAM的侧面积和体积。 D D N C N C A

A B M B M

，

6.如图，CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，BD=2AD，把△ACD绕CD旋转到△ACD的位置，使二

，，，，

面角A-CD-B为60o，（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。

C

A B

D

，

A

7．在△ABC中，∠ACB=90o，AC=2，BC=3，P是AB上的点，沿PC把△APC折起，使二面角A-PC-B为直二面角后，若AB=7。（1）求∠ACP的大小；（2）求二面角P-AC-B的平面角的正切值。

8．BD是边长为a 的正方形ABCD的对角线，沿BD把△ABD折起，使二面角A-BD-C为120o.(1)求二面角A-CD-B的余弦值；（2）求三棱锥A-BCD的体积。

9．ABCD是边长为a的正方形，M，N分别是边DA，BC上的点，MN//AB，交AC于点O，沿MN折成直二面角AB-MN-CD。（1）求证：不论MN怎样平行移动，∠AOC的大小不变；（2）MN在怎样的位置时，BD为最小，最小值是多少？

重要方法

1．割补法

例1．求证：四面体的两组对棱中点共面，且该平面把四面体分成等积的两部分

例2．如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角。

S

E

C

A F B

2．等积法：

例3．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，长依次为a,b,c。证明：（1）若P到底面ABC的距离

1111为h,则2222;（2）若Q为底面ABC上任意一点，Q到三个侧面的距离QD，QE，QF分别为x,y,z,

habcxyz则1。 abc3．类比法：

例4．已知A为60o二面角α-l-β内一点，点A到两面的距离分别为2和3，点P，Q分别在α，β内，求△APQ的周长的最小值。

例5．正方体AC1的边长为a，E，F分别为CD，B1C1的中点，线段EF交正方体内切球O于P，Q两点，求弦PQ长。

练习

1．在平行六面体交于一点A的三条棱上分别取中点E、F、G，则棱锥A-EFG的体积是平行六面体体积的 1111A. B. C. D.. 81624482．在球面上有四点P，A，B，C，如果PA=PB=PC= a，且PA，PB，PC两两互相垂直，则这个球的体积是______________.

3．三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=a,PA和BC的公垂线长为l，求三棱锥P-ABC的体积。

4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=3，P，Q分别是棱AA1，B1C1上的点，AP=1，PQ与面A1ABB1，

A1 C1

B1BCC1都成30o角（如图），求该三棱柱的体积。

Q

B1

P

A C

B

5．正三棱锥P-ABC的底面中心是O，D是OC的中点，过D点作截面EFG与OC垂直（如图），求该截面将棱锥分成的两部分之比。

P

A C

O D

B 不等式练习 （1） 一．选择题

1.若a>b 则下列结论中正确的是 ( )

(A)ac2bc2 (B) 当c>d时a-c>b-d (C) ab0时1111ab (D)ab0时ab

2.若-11a1ba2b2(B)1b1aa2b2(C)1111abb2a2(D)bab2a2 3.若11 则下列各式中恒成立的是 ( )

(A)20(B)21 (C) 10 (D) 11

4.下列不等式① x232x ② a5b5a3b2a2b3 ③ a2b22(ab1) ④ baab2( )(A) ①② (B) ③④ (C) ①③ (D) ①②③④

5.若a,bR,则不等式a1xb 等价于 ( ) (A) 11bx0或0xa

(B) x1b或x11111a (C) ax0或0xb (D) axb

6.若0二.填空 (1)若ab,Ma3ab23a2b N2a2b6ab2b3 则M_____N (2)已知cab0则aca________bcb 1(3)当0a1时,aa,aa,aa的大小关系为_____________ 二．1.比较(x1)(x2x21)与(x1)(x2x1)的大小.

2．设x>1 比较x3与x2x1 的大小.

中恒成立的是

不等式练习 （2） 用比较法证明下列不等式 1.已知 a>0 b>0 求证:

a2b23.0x1求证(ab)2 4.已知ab0求证:a3b3a2bb2a

x1x

112 2.a0,b0求证:a2b2(ab)ab abab5.xn1yn1xnyxyn (x,yR,nN) 6.求证:a2b2c2abbcca

17.求证:a5b5(a3b3)(a2b2) (a,bR)

2

8.已知a>b>c 求证:a2bb2cc2aab2bc2ca2

9.已知a b c都是正数,求证:a2ab2bc2cabcbcacab

不等式练习 （3）

1.已知a.b∈R,且a.b≠0,则在①

ab2baa2b2) ab ② 2 ③ab(ab22a2b2ab ④ 这四个式子中,恒成立的个数是( ) 222 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.设a.b为正数,且a+b≤4, 则下列个式中正确的一个是 ( )

11111111(A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 2

abababab3.已知a,b,c都大于1,且logaclogbc4则下列不等式中一定正确的是 ( ) (A) ac≥b (B) ab≥c (C) bc≥a (D) ab≤c

bcabccaab4. a,b,c,d∈R+,则_____ ___

abcabc111bdcaabc≥____ ____

abcacbd5.若x>0,则x11____,x0,则x+____

xx6.若01,07. x,y∈R+,则1x(1y)1xy 8. 若a,b∈R+,则a+b

119.若x+3y-1=0,则2x+8y≥22 10. log0.5abab1

441ab22

11. 若a+b=1, a,b∈R+,则2a12b122 12. x,y∈R+, 且x+2y=1,则

不等式练习 （4）

1.下列各式中最小值为2的是 ( )

x221(A)x (B) (C) 3x3x (x>0) (D)logablogbxx2111322. xya (a>0,b>0,a1,b1)

2.若log2xlog2y4则x+y的最小值是 ( )

(A)8 (B)42 (C)4 (D) 2 3.若x>0 则

x的最大值是 ( ) x221(A) 5 (B) 3 (C) 1 (D)

34.已知x,yR且x2y21则x+y的最大值等于_____________.

5.若x2y22a (x>0 y>0 a>1) 则 logaxlogay的最大值是_____________. 4的最小值是____________此时x=_______________. x1116x7.若x>0则x2的最小值是______,此时 x=___________.

xx1b28.若正数a,b满足a2=1 则a1b2的最大值为_________此时a=____b=_________.

2129.若x0则3x2的最小值是________.此时x=_________.

x110.若0x则x2(13x)的最大值是________.此时x=_____________.

36.若x>1则23x11.x,y,zR且5x2yz100则lgxlgylgz的最大值为______________.

1112.x,yR且x2y3则的最小值为_____________.

xy13.甲乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小 时的运输成本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a.(1)把全程运输成本表示为速度v的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

1. 若x≥y≥0,证明2xyy2x2y2x 2.求证:

1x313.若x>-1 求证:()2()33

(x1)(x2)xx1x1x(x1)

2422 4. 求证:3(1aa)(1aa)(a1)

5. 若|x|<1 |y|<1 求证:|abbccaxylglglgalgblgc |1 6.求证:lg2221xy ( a,b.cR)

7.若x,yR且xy2则

9.已知函数f(x)是R上的增函数,a,bR, (1) 证明:如果ab0那么

f(a)f(b)f(a)f(b) (2) 判断(1)中的逆命题是否成立,并证明你的结论.

练习

8.若a,bR且|a||b|1 求证方程xaxb0两根的绝对值均小于1

21y1x中至少有一个小于2 和xy21

13.甲乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小 时的运输成本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a.(1)把全程运输成本表示为速度v的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 解：（Ⅰ）由题意得

y[1.2(10.75x)1(1x)]1000(10.6x)(0x1)，

„„4分 „„6分

整理得 y60x220x200 (0x1)．

（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 y(1.21)10000,

0x1.

„„9分

60x220x0,即 

0x1. 解不等式得 0x1． 3

（名师培训班数学专题讲座）高考运用问题

运用问题千变万化，涉及知识面广，牵涉知识点多。但大致可分为：图表、最值、增长率（或利息、利润）、

相关学科综合等类型。下面举例说明：

图表问题近几年特别热，以后还有热的趋势。解决这类问题需要多看课外书，了解各方面的信息，否则将看不董图表。

例1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 (2001年高考题) 53 A. 26 B. 24 C. 20 D. 19. 6124 AB76 126 12例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资, 税率 薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的 全月应纳税所得额 部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算: 不超过500元的部分 5% 某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、 10% 超过500元至2000元的部分 薪金所得介于 (2000年高考题)

超过2000元至5000元的部分 15% A. 1200-1500元 B. 900-1200元 C.800-900元

„„ „ D. 1500-2800元

例3.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二表示的抛物线段表示. (2000年高考题)

200 300 250 150 100

100

o

①写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); ②认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和成本的单位:元

2

/10kg,时间单位:天)

100 200 300 t o 150 250 300 练习

1． 如图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗 盛满液体经过3分钟漏完。已知圆柱中液面上升的速度是一个

常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分） 的函数关系用图象表示只可能是

H A H B H C H D

2.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是

t t t t

V

A B C D

最值问题一般进行“三步曲”：设变量、列式子、求最值（可用配方法、判别式法、重要不等式、解不等式

H h 等方法） 例3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?(2001年文科高考题)

例4. 如图，铁路线上AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公里。现在要在AB上某一点D处，向C修一条铁路，已知铁路与公路的每吨公里的运费之比为非作歹3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？

C

B D A

练习

3.要挖一个面积为800m2的长方形鱼池，并在四周修出分别为1m、2m的小路，（如图）则怎样挖占地总面积最小? 1 2 2 800m2

4.要建造一个容积为定值的无盖圆柱水池。（1）问水池尺寸如何选取，才能使所用材料最省？（2）若底材料成本30元/米2,池壁材料成本20元/米2，问怎样的尺寸，使水池的造价最低？

5.如图，为处理今有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体长度为a 米，高为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a、b各为多少米时，经过沉淀后流出的水中的杂质的质量分数最小。（A、B孔的面积忽略不计）

A

O B

O

b

2

a

增长率一般与数列相结合，请记住下列公式：（1）年利润=（出厂价–投入成本）年销售量； （2）现数=

期数

原数（1+增长率）；（3）本息和=本金（1+利率） (计复利)

例5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为

x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂

价–投入成本）年销售量．

（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

例6.某地现有耕地10000公顷，规划十年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(lg1.01=0.0043,lg1.1045=0.043)

例7.设炮弹的发射角为,发射的初速度为V0,适当建立坐标系后轨迹方程gsin2 为yxx22cos2v0cos 练习

6.我校在校生逐年递增，1999、2000、2001依次为a、a+b、a+2b千人，则年平均增长率为____________________. 7.某工厂的产量第二年比第一增长的百分率是p1，第三年比第二增长的百分率是p2，第四年比第三增长的百分

率是p3，且p1+p2+p3=m(定值)，则平均增长的百分率的最大值是多少？