充要条件教案

育诚高中 魏秀

【教学目的】

1、理解充要条件的含义 2、能判断一些简单的充要条件 【情感目标】

让学生加深理解概念，熟悉概念,并会巧妙运用 【教学重点和难点】四种类型条件的判别 【授课类型】新授课 【课时安排】1课时 【教 具】多媒体 【教学过程】

1.思考:下列两题中α是β的什么条件? 1) α:三角形中两个内角相等 β:三角形是等腰三角形 2) α:a－b=0 β: a = b

解:1）和2）中，α β，且β  α,所以，α既是β的充分条件， α又是β的必要条件。

充要条件:如果既有α β，又有β  α，即有α β，即α既是β的充分条件， 又是β的必要条件，则α是β的充分且必要条件，

简称充要条件。 2. 思考：

已知α是β的充要条件，把“如果α，那么β”作为原命题所得的四种命题的真假如何？已知α是β的充分非必要条件呢？已知α是β的必要非充分条件呢？

解：α是β的充要条件时，四个命题都为真命题。

α是β的充分非必要条件时，原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

α是β的必要非充分条件时，逆命题和否命题为真命题，原命题和逆否命题为假命题。 3. 例题选讲:

例1：已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， “ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的什么条件？

解： ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为（x ＋b／2a)2=(b2－4ac)／4a2 当b2－4ac=0 时，方程右边是0，此时方程有两个等根，x1 = x2 = － b／2a；反之，如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，由韦达定理，得x1+x2=2x1= － b／a, x1x2=x12=c／a 则（－ b／2a）2=c／a，即b2－4ac=0 。

所以， “ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的充要条件。此时，我们也称当且仅当b2－4ac=0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根。

例2：“x2－5x＋6=0” 是“x=2”的 （ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

例3：三个数x、y、z不都是负数的充要条件是 ( ) （A） x、y、z中至少有一个是正数（B） x、y、z都不是负数 （C） x、y、z中只有一个是负数 （D） x、y、z中至少有一个是非负数

例4：“x1＞0 ，且x2＞0”是“x1 ＋x2＞0,且 x1 x2 ＞0”的( ) （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

例5： “x1＞3，且x2＞3”是“x1 ＋x2＞6且 x1 x2 ＞9”的( ) （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分又非必要条件 例6:写出“x1＞3，且x2＞3”的一个充要条件： 解：∵ x1＞3，且x2＞3

 x1 － 3 ＞0，且x2 － 3 ＞0  （x1 － 3）＋ （ x2 － 3 ） ＞0， 且（x1 － 3）（x2 － 3 ） ＞0 ∴“x1＞3，且x2＞3 ”的一个充要条件是

（x1 － 3）＋ （ x2 － 3 ）＞0且（x1 － 3）（x2 － 3 ）＞0 例6：设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的

必要非充分条件，则D是A的( ) （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

例7：设A是B的充分非必要条件，B是C的必要非充分条件，同时B是D的充分非必要条件，C是D的必要非充分条件，则C是A的( ）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件