第一章 单元综合检测（一）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2； π
③sin＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有( )
2A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假． 答案：B
2．下列命题是真命题的是( ) A．实数的绝对值是正数 B．一切自然数都有倒数
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．偶数的平方是4的倍数
解析：实数的绝对值是非负数，不是正数，A不正确；0没有倒数，B不正确；垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，C不正确．
答案：D
3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是( ) A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题； B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题； C．若x>1，则x>2；
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．
答案：D
4．已知命题s为“p∧q”是真命题，那么命题“p∨q”及命题¬s的真假是( ) A．真、真 C．真、假
B．假、假 D．以上都不对
解析：p∧q为真，则p、q均为真．所以p∨q为真，¬s为假． 答案：C
5．若“p∧q”与“(¬p)∨q”均为假命题，则( )
A．p真q假 C．p与q均真
B．p假q真 D．p与q均假
解析：“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(¬p)∨q”为假，则¬p，q均为假．∴p真，q假．
答案：A
6．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：“a＝1”时两直线垂直，两直线垂直时a＝1，故为充要条件． 答案：C
7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( ) A. ∃x0∈R，使得f(x0)>0成立 B. ∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C. ∀x∈R，使得f(x)>0成立 D. ∀x∈R，f(x)≤0成立
解析：本题主要考查特称命题．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)>0成立”，故选A.
答案：A
8．命题：“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是( ) A．∃x∈R，x2－x＋2≥0 B．∀x∈R，x2－x＋2≥0 C．∃x∈R，x2－x＋2<0 D．∀x∈R，x2－x＋2<0
解析：全称命题的否定是特称命题，“≥”的否定是“<”． 答案：C
9．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. x<0 B. x≥0 C. x∈{－1,3,5} 1
D. x≤－或x≥3
2
解析：∵2x2－5x－3≥0的解集为{x|x≥3或x≤
1－}， 2
∴x∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件． 答案：C
10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A. (¬p)∨(¬q) C. (¬p)∧(¬q)
B. p∨(¬q) D. p∨q
解析：¬p表示甲没有降落在指定范围，¬q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
答案：A
→→11．[2013·四川省成都七中月考]已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A. λ1＝λ2＝－1 C. λ1λ2＝1
B. λ1＝λ2＝1 D. λ1λ2＝－1
→→解析：本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意，A，B，C三点共线 ⇔AB＝λAC
λ1＝λ
⇔λ1a＋b＝λa＋λλ2b⇔，故选C.
λλ2＝1
答案：C
1|x＋x|，x≠0
12．已知函数f(x)＝，则关于x的方程af2(x)＋f(x)－2c＝0有5个不同实
0，x＝0数解的充要条件是( )
1
A. － 21 B. a≥－且c<0 21 C. － D. a≥－且c＝0 2 解析：本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t＝f(x)，1 则方程af2(x)＋f(x)－2c＝0可转化为at2＋t－2c＝0.令g(t)＝at2＋t－2c，因为|x＋|≥2且原方 x 程有5个不同实数解，所以方程g(t)＝at2＋t－2c＝0应该有一个大于2的根与一个零根，则 g2＝4a＋2－2c>0c＝0 答案：C 1－>02a ， 1 解得－ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________． 解析：该命题为全称命题，“不大于”即“≤”． 答案：∀x≤0，x3≤0 14．命题：“若ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是__________． 解析：“都不为零”的否定是“至少一个是零”． 答案：若a，b至少有一个为零，则a·b为零 15．“对顶角相等”的否定为__________，否命题为__________________________． 解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等 16．已知命题p：|x－1| 解析：由|x－1| 7>1－c应有，即c>2. 3<1＋c 答案：(2，＋∞) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题． 逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0，真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假： (1)所有自然数的平方是正数； (2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)∀x∈R，x2－3x＋3>0； (4)有些质数不是奇数． 解：(1)所有自然数的平方是正数，假命题； 否定：有些自然数的平方不是正数，真命题． (2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题； 否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题． (3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题； 否定：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题． (4)有些质数不是奇数，真命题； 否定：所有的质数都是奇数，假命题． 19．(12分)如下图所示的电路图，设命题p：开关K闭合，命题q：开关K1闭合，命题s：开关K2闭合，命题t：开关K3闭合． (1)写出灯泡A亮的充要条件； (2)写出灯泡B不亮的充分不必要条件； (3)写出灯泡C亮的必要不充分条件． 解：(1)灯泡A亮的充要条件是“p∧q”； (2)灯泡B不亮的充分不必要条件是“¬p”，或“¬s”； (3)灯泡C亮的必要不充分条件是p，或t. 20．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明：必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2 ＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2 ＝0. 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0， 又ab≠0，即a≠0且b≠0， b23b2 ∴a－ab＋b＝(a－)＋≠0，只有a＋b＝1. 24 2 2 综上可知，当ab≠0时， a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 21．(12分)已知p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围． 解：p为真时：x2－a≥0即a≤x2. ∵x∈[1,2]时，上式恒成立， 而x2∈[1,4]，∴a≤1. q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0 即a≥1或a≤－2. ∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题． ∴a＝1或a≤－2. 即实数a的取值范围是 {a|a＝1或a≤－2}． 22．(12分)已知p：|1－ x－1 |≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若“¬p”是“¬q”的充分而不3 必要条件，求实数m的取值范围． x－1 解：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10， 3∴“¬p”：A＝{x|x<－2或x>10}． 由q：x2－2x＋1－m2≤0， 解得1－m≤x≤1＋m(m>0)， ∴“¬q”：B＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}． 由“¬p”是“¬q”的充分而不必要条件可知：AB， m>0， 则1－m≥－2，1＋m≤10， 解得0 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容