平面组合图形面积计算方法的教学探究

誊　ｔ幽　｝　瀚瞳■盔豳豳　平面组合图形面积计算方法的教学探究　口河池市南丹县第二小学潘雄军　口河池市南丹县第三小学黄萍　【关键词】平面组合图形　面积计　是４５。，可知它是等腰三角形，所以梯形　三角形的面积是１６ｘ１６＋４＝６４（平方厘　计．一、　算教学实践探究　高的左边部分与下底相等。同样，右边　【中图分类号】Ｇ【文献标识码】Ａ　的三角形也是一个等腰三角形，所以梯　【文章编号】０４５０—９８８９（２０１２）０１Ａ一　形的上底和高的右边部分相等。这样根　００８８－０２　据等腰直角三角形的定义推导出梯形的　上、下底的长度和就是梯形高的长度６　平面组合图形的面积计算在小学数　厘米。因此图形的面积是：６ｘ６＋２＝１８（平　学教材中占有十分重要的地位，它既是　方厘米）。　学生学习平面几何的前奏，又是学习立　（２）根据公式推导。　体几何的基础。如何通过求平面组合图　例：如图２所示，直角三角形的面积　形面积的教学，让学生掌握一些图形转　是ｌ２平方厘米，求圆的面积。　换方法，感悟图形的排除、包含、转化等　思路分析与解：要求圆的面积，必须　思想，从而达到发展学生空间观念和培　要知道圆的半径。此题给出三角形的面　养学生空间想象能力的目的？笔者根据　积，暗示学生解题要通过三角形的面积　长期的教学实践和体会，总结出以下一　求出半径的相关值，从而算出圆的面　些方法。　积。在图２中，三角形的底和高都是圆　一、解题策略简述　的半径，三角形面积为ｒ￣ｒ＋２＝１２（平方厘　平面组合图形是由两个或两个以上　米），即ｒ２＝１２＋２＝６（平方厘米），根据公式　简单的几何图形组合而成，计算它的面　Ｓ　＝竹ｒ２，只要知道ｒ２等于多少，就可求出　积应看清所求图形是由哪几个基本图形　圆的面积。所以Ｓ　＝３．１４￣６＝１８．８４（平方　组合而成。在教学实践中，我常采用数　厘米）　据推导、割补、平移、巧添辅助线、旋转、　２．割补、平移。　组合等方法，将复杂问题简单化。　割补、平移是解决组合图形问题最　二、解题方法具体说明　常用的手段之一，它或是延长所求图形　１．数据推导。　的某些边线，或是把图形切开，或是把切　根据已知的公理、定义、定理、定律　下来的那部分移动到其他位置，使题目　和题目中的数据等经过演算、逻辑推理　便于解答。　而得出新的结论。　（１）补充。　（１）根据定义推导。　例：如图３所示，一个等腰直角三角　思路分析与解：求梯形的面积，必须　思路分析与解：方法１：由于只知道　知道上底、下底和高这三个条件。从图　三角形最长的边是１６厘米，所以不能用　中可以看出，此梯形的高是６米，那么解　三角形的面积公式来计算它的面积。教　题的关键就是求出上底和下底的长度或　学时，我们可以让学生延长三角形的两　求出它们的长度和。　条边，补充成一个正方形，显然拼成的正　在左边的直角三角形中，一个内角　方形（如图４）的面积是１６ｘ１６，那么，原　米）　方法２：还可以只补充画一条直角　边，拼成（如图５）一个大的等腰三角形。　那么原三角形的面积为１６ｘ１６＋２＋２＝６４　（平方厘米）　（２）分割。　分割就是把图形切开，但是并不移　动，使题目更为明了。　例：如图６所示，梯形ＡＢＣＤ的上底　是４厘米，下底是６厘米，高是４厘米，求　阴影部分的面积。　Ｂ　思路分析与解：根据“同一平面内，　等底等高的三角形面积相等”这一知识，　把图中的三个三角形进行“等积变形”，　的～即切割成为与之面积相等的（如图７所　示）中三角形ＡＢＣ，原阴影部分的面积是　６×４÷２＝１２（平方厘米）。　（３）平移。　将所给图形中的某一部进行切割，　沿直线上下左右移动，把复杂的图形简　单化。　①整合平移。　例：如图８所示，正方形的边长为１０　厘米，里面横、竖各有三道黑条，黑条宽　为１厘米，问：空白部分的面积是多少？　图９中的正方形的左边界，横条上平移　到正方形的上边界。这样，空白部分的　面积相当于一个边长为７厘米的正方　形，因此，空白部分的面积是：７ｘ７＝４９　（平方厘米）　②翻转平移。　　田口例：如图１０所示，求阴影部分面　积。（单位：厘米）　思路分析与解：学生一看图ｌ６，就会　问：“这种四边形的面积怎么计算？”如果　在图内作辅助线，根据已知条件也解决　不了问题。其实图ｌ６原本是一个等腰　直角三角形，只要延长ＡＢ边和ＣＤ边相　半。小正方形的面积是２２＋２＝１１（平方厘　米）。　５．组合。　一　通过改变基本图形的位置或形状　（但不改变图形的大小），把几个基本图　形合并成一个基本图形，然后间接求整　个图形的面积。　思路分析与解：以图１０中大圆的圆　心为中心，将左侧小半圆切割后，旋转平　交于一点（如图１７），隐藏的条件就立即　显现：大三角形是等腰直角三角形，小三　角形也是等腰直角三角形。所以四边形　ＡＢＣＤ的面积为：８ｘ８＋２—４ｘ４＋２＝２４（平方　厘米）。　例：如图２２所示，已知直角三角形　两条直角边的长度之和是７厘米，斜边　长是５厘米，求这个三角形的面积。　移到右边的小半圆，就得到图Ｉｌ所示的　形状，所求图１０中的阴影部分面积就是　求图１１中较大半圆的面积：３．１４ｘ１０　÷２＝　１５７（　厘米。　例等　移：：如图１２所示，计算图中的阴影　　．…　．…　思路分析与解：观察图１２，根据三角　形内角和定义与一边长相等得出，正方　形内的三角形和外面的三角形面积相　等，所以可以将图１２阴影部分的三角形　切割下来，并平移拼成一个｛圆的面积　（如图１３）。Ｓ　＝３．１４ｘ５　＋４＝１９．６２５（平方　厘米）　３．巧添辅助线。　在所给的图形中，对尚未直接显现　出来的各元素，通过添加适当辅助线，将　那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当　揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的　作用，达到化难为易的目的。　（１）连接。　例：如图１４所示，计算阴影部分的　面积。（单位：厘米）　图ｌ４　图１５　思路分析与解：图ｌ４中，阴影部分　有两块，一在东，一在西，没有整合在一　起，计算起来比较麻烦。如图１５，给图形　画上一条辅助线，计算起来就事半功倍，　求阴影部分的面积也就是求正方形面积　的一半：６ｘ６＋２＝１８（平方厘米）。　（２）延长。　例：如图１６所示，求四边形ＡＢＣＤ的　面积。（单位：厘米）　Ａ　Ｂ　Ｃ　图１７　（３）添加。　例：如图１８ｆｉ￣ｘｘ，正方形的面积为　ｌ２平方厘米，　。。。。‘。计算圆的面积。　。　　。　图２２　图２３　图２４　思路分析与解：直接利用题中的已　知条件无法求出它的面积，这就要进行　思路分析与解：已知条件只给正方　图形组合。在教学中，让学生准备４块　形的面积是１２平方厘米，如何去计算出　有“９０。、６０。、３０　’的直角三角板，并把直　圆的面积？这就要给图形添加辅助线，　角边摆在外层，拼成如图２３的一个正方　只要通过圆心画两条直径（如图１９），问　形。在图２３中，学生通过观察就会很快　题就迎刃而解了。从图ｌ９中可以看出，　发现大正方形的边长恰好是每个直角三　大正方形的面积是４个小正方形的面积　角形两条直角边的长度和，而小正方形　和，而小正方形的面积等于边长乘边长，　的边长正好是每个直角三角形的斜边　就是半径乘半径即半径的平方为１２＋４＝３　长。要求图２２三角形的面积就变得简　（平方厘米），所以圆的面积是：３．１４ｘ３＝　单了，就是用大正方形的面积减去小正　９．４２（平方厘米）。　方形的面积的差除以４即可，也就是：　４．旋转。　（７ｘ７—５ｘ５）÷４＝６（平方厘米）。　就是把图形按照预定的方向旋转一　当然，在课堂教学中，学生组拼三角　定的角度，不改变原图的大小，以达到解　形的时候，有的会拼出如图２４的组合情　决问题的目的。　况，就是把直角三角形的斜边摆在外　例：如图２０所示，正方形内有一个　层。这种组合会得到：大正方形的边长　最大的圆，圆内又有一个最大的正方　是直角三角形的斜边长度，小正方形的　形。如果大正方形的面积是２２平方厘　边长是两条直角边的差。如果题目是已　米，请计算小正方形的面积。　知直角三角形两条直角边的长度之差是　２厘米，斜边长是５厘米，就可以求这个　三角形的面积。上面两个组合图凸显了　数学的美感和实用性，不但生动有趣，利　用它们还能解决生活中的一些疑难问　图２０　图２ｌ　题。　著名心理学家皮亚杰认为“科学知　思路分析与解：要求正方形的面积，　识永远在演进中，它是一个不断构造和　就要知道正方形的边长，不过此题的正　改组的过程”。在教学组合图形面积计　方形边长无法求得，教学时，我们可以从　算的过程中，我们教师应注重让学生通　两个正方形之间找到关系。把小正方形　过动手操作、观察、推理等手段，分析探　绕着它的中心旋转４５。后，再加两条辅助　究组合图形，找出图形的隐含的条件。　线（如图２１），学生就会发现小正方形是　这样，我们的教学在发展学生空间观念　由４个相同的三角形组成，而大正方形　的同时，他们也能利用学到的知识去解　是由同样的８个三角形组成，所以小正　决生活中的实际问题。　方形的面积正好是大正方形面积的一　（责编罗永模）