平面向量及其应用中难题训练

一、多选题

1．正方形ABCD的边长为1，记ABa，BCb，ACc，则下列结论正确的是

（ ）

C．acba0

A．abc0 A．PAPB0 C．PAABPB

B．abca0 D．abc2

2．设P是ABC所在平面内的一点，ABAC3AP则（ ）

B．PBPC0 D．PAPBPC0

3．ABC中，AB2，ACB30，则下列叙述正确的是（ ） A．ABC的外接圆的直径为4.

B．若AC4，则满足条件的ABC有且只有1个 C．若满足条件的ABC有且只有1个，则AC4 D．若满足条件的ABC有两个，则2AC4

4．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）

A．ABC．AC2ABAC ABBD

B．BCD．BD2CBAC BABDBCBD

225．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

A．已知A、B、C是平面中三点，若AB,AC不能构成该平面的基底，则A、B、C共线 B．若abbc且b0，则ac

C．若点G为ΔABC的重心，则GAGBGC0

，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1 D．已知a16．ABC中，a4，b5，面积S53，则边c（ ） A．21 B．61

C．41 D．25 7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

ab:ac:bc9:10:11，则下列结论正确的是（ ）

A．sinA:sinB:sinC4:5:6 C．ABC的最大内角是最小内角的2倍

B．ABC是钝角三角形

D．若c6，则ABC外接圆半径为87 78．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ） A．BDADAB B．AD12(ABAC) C．BABC8

D．ABACABAC

9．给出下列命题正确的是（ ） A．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B．ababa与b方向相同 C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D．若向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一直线上 10．设a为非零向量，下列有关向量

a|a|的描述正确的是（ ） A．|aa|a||1

B．

a|a|//a

C．

a|a|a

D．

|a|a|a|

11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．若PAPBPBPCPCPA，则P是三角形ABC的垂心 C．两个非零向量a，b，若abab，则a与b共线且反向 D．若a∥b，则存在唯一实数使得ab

12．已知正三角形ABC的边长为2，设AB2a，BCb，则下列结论正确的是（A．ab1

B．ab

C．4abb

D．ab1

13．下列命题中，正确的有（ ）

A．向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上 B．若sintan0且costan0，则角2为第二或第四象限角 C．函数ycosx12是周期函数，最小正周期是2 D．ABC中，若tanAtanB1，则ABC为钝角三角形 14．下列说法中错误的是( )

A．向量AB与CD是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．零向量与零向量共线 C．若ab,bc，则ac

） D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 15．下列命题中正确的是( )

A．对于实数m和向量a,b,恒有m(ab)mamb B．对于实数m,n和向量a,恒有(mn)amana C．若mamb(mR),则有ab D．若mana(m,nR,a0),则mn

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC中，BCBAACAC，则ABC的形状一定是（ ） A．等边三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．直角三角形

217．a，b为单位向量，且a2bA．30

B．45

7，则向量a，b夹角为（ ）

C．60

D．90

18．在三角形ABC中，若三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a1，c42，B45，则sinC的值等于（ ）

A．

4 41B．

4 52C．

4 25D．

441 4119．在ABC中，设ACAB2AMBC，则动点M的轨迹必通过ABC的（ ） A．垂心

B．内心

C．重心

D． 外心

220．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，BC＝b，则AM＝( ) A．

1(ab) 2B．

1(ab) 2C．

1ab 2D．a1b 221．在ABC中，A60，b1则，SABC3，（ ） A．

a2bc的值等于

sinA2sinBsinC239 3B．263 3C．83 3D．23 22．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米

23．在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若sin2Asin2Bsin2C0，

a2c2b2ac0，c2，则a（ ）

A．3 B．1

C．

1 2D．3 224．三角形ABC所在平面内一点P满足PAPBPBPCPCPA，那么点P是三角形ABC的（ ） A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心

25．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知ab= A．2

B．3

C．2

D．326．题目文件丢失！

5，c2，cosA2，则3

27．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF（ ）

A．C．

13ABAD 24B．D．

12ABAD 2313ABAD 2411ABAD 3228．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（ ）

A．1

B．1 2C．2

D．3 229．在梯形ABCD中，AD//BC，ABC90，ABBC2，AD1，则

BDAC（ ）

A．2

B．3

C．2

D．5

30．已知m,n是两个非零向量，且m1，|m2n|3，则|mn|+|n|的最大值为

A．5 B．10

C．4 D．5

31．已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且

PA•PBPB•PCPC•PA，则点O，N，P依次是ABC的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心

32．ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，

3B30，ABC的面积为，那么b等于（ ）

2A．13 2B．13 C．23 2D．23

33．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A．

3 2B．

2 2C．

31

2

D．

21 234．在ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b.c ，若cosB（ ） A．等腰三角形

B．等边三角形

22a，则ABC一定是2cD．等腰直角三角形

C．直角三角形

35．已知圆C的方程为(x1)(y1)2，点P在直线y的直径，则PAPB的最小值为（） A．2

B．

x3上，线段AB为圆C5 2C．3 D．

7 2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ABC 【分析】

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断

D选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误. 【详解】 如下图所示：

对于A选项，四边形ABCD为正方形，则BDAC，

abABBCABADDB，abcDBAC0，A选项正确；

对于B选项，abcABBCACACAC0，则abca0a0，B选项正确；

对于C选项，acABACCB，则acbCBBC0，则

acba0，C选项正确；

对于D选项，abc2c，abc2c22，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.

2．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化ABAC3AP为(ABAP)(ACAP)AP，移项运算即得解 【详解】

由题意：ABAC3AP 故(ABAP)(ACAP)AP 即PBPCAP

PAPBPC0,PAABPB

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

3．ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】

解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图

解析：ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断A的对错，然后B，C，D三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】

解：由正弦定理得2RAB24，故A正确；

sinACBsin30对于B，C，D选项：如图：以A为圆心，AB2为半径画圆弧，该圆弧与射线CD的交点个数，即为解得个数． 易知当

1x2，或即AC4时，三角形ABC为直角三角形，有唯一解； 2当ACAB2时，三角形ABC是等腰三角形，也是唯一解；

1当ADABAC，即x2x，2x4时，满足条件的三角形有两个．

2故B，D正确，C错误． 故选：ABD．

【点睛】

本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．

4．AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，,故C错误； 对于D，, ,故D正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A，ABAC对于B，

ABACcosAABACABACAB，故A正确；

2CBACCBACcosCCBACcosCCBACCBACCB，

2故B错误； 对于C，

ABBDABBDcosABDABBDcosABDABBDBDABBD2,故C错误；

对于D，BABDBABDcosABDBABDBDBCBDBA2BD,

2BCBD故选：AD. 【点睛】

BCBDcosCBDBCBDBD,故D正确.

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

5．AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D． 【详解】

解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共

解析：AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断B；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C，由数量积及平面向量共线定理判断D． 【详解】

解：因为AB,AC不能构成该平面的基底，所以AB//AC，又AB,AC有公共点A，所以A、B、C共线，即A正确；

由平面向量的数量积可知，若abbc，则|a||b|cosa,b|b||c|cosb,c，所以

|a|cosa,b|c|cosb,c，无法得到ac，即B不正确；

设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则GAGB2GM，而

GC2GM，所以GAGBGC0，即C正确；

a1，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则ab220解得1，且a与b不能共线，即4，所以,4故选：AC． 【点睛】

本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．

4,1，故D错误；

6．AB 【分析】

在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】

中，因为，，面积，

所以，

所以，解得或，

当时，由余弦定理得：， 解得，

当时，由余弦定理得：， 解得 所以或

解析：AB 【分析】

在ABC中，根据a4，b5，由SABC1absinC53，解得C60或2C120，然后分两种情况利用余弦定理求解.

【详解】

ABC中，因为a4，b5，面积S所以SABCABC53，

1absinC53， 23，解得C60或C120， 2所以sinC当C60时，由余弦定理得：c2a2b22abcosC21， 解得c21，

61 当C120时，由余弦定理得：c2a2b22abcosC61， 解得c所以c故选：AB 【点睛】

本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21或c61 7．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为

所以可设：（其中），解得： 所以，所以A正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得a:b:c4:5:6，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为ab:ac:bc9:10:11

ab9x所以可设：ac10x（其中x0），解得：a4x,b5x,c6x

bc11x所以sinA:sinB:sinCa:b:c4:5:6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，

a2b2c2(4x)2(5x)2(6x)21又cosC0 ，所以C角为锐角，所以B错

2ab24x5x8误；

由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，

c2b2a2(6x)2(5x)2(4x)23又cosA，

2cb26x5x4所以cos2A2cosA121，所以cos2AcosC 8由三角形中C角最大且C角为锐角,可得：2A0,，C0,所以2AC，所以C正确； 由正弦定理得：2R 2c37，又sinC1cos2C sinC8所以

2R87，所以D正确. 37 ，解得：R786故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

8．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：，故A错；

对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确； 对于C选项：，故正确；

对于D选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：BDADBDDABA，故A错； 对于 B选项：因为D为BC的中点，

111ADAB+BDAB+BCAB+BA+AC(ABAC)，故B正确；

222对于C选项：BABCBABCcosBBABCBDBA248，故正确；

对于D选项：ABAC2AD,ABACCB，而2ADCB，故D不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

9．C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简；

对C，根据向量相等的定义判断； 对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简abab； 对C，根据向量相等的定义判断； 对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；

B中，由abab，得2|a||b|2ab，得|a||b|(1cos)0， 则|a|0或|b|0或cos1，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a与b方向不一定相同，B错误；

C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确； D中，由共线向量的定义可知点A,B,C,D不一定在同一直线上，D错误.

故选：C 【点睛】

本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

10．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

a首先理解表示与向量a同方向的单位向量，然后分别判断选项.

a【详解】

aaa1正确，//a正确，所以AB正确，当表示与向量a同方向的单位向量，所以

aaaa

a不是单位向量时，a不正确，

a

aaaaacos0aa，所以D正确. aaa故选：ABD 【点睛】

aa本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

aa表示与向量a同方向的单位向量.

11．AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； 对于选项C，两个非零向量

解析：AD

【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A，当b0时，a与c不一定共线，故A错误；

对于选项B，由PAPBPBPC，得PBCA0，所以PBCA，PBCA， 同理PACB，PCBA，故P是三角形ABC的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量a，b，若abab，则a与b共线且反向，故C正确；

对于选项D，当b0，a0时，显然有a∥b，但此时不存在，故D错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

12．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B错误，D正确； 由，所以，故A错误； 由，所以，故C正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知a1，b2，a与b的夹角是120，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知a1，b2，a与b的夹角是120.

由ab12cos12010，故B错误，D正确；

由4abb4abb由ab22a2abb1243，所以ab3，故A错误；

224140，所以4abb，故C正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能

力，属于中档题.

13．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

2的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数

ycosx1的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式2tanAtanB1得出cosAcosBcosC0，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，向量AB与CD共线，则AB//CD或点A、B、C、D在同一条直线上，A选项错误；

sin0sin2对于B选项，sintan， 0，costansin0，所以cos0cos则角为第四象限角，如下图所示：

则

为第二或第四象限角，B选项正确； 21的图象如下图所示： 2对于C选项，作出函数ycosx

由图象可知，函数ycosx对于D选项，

1是周期函数，且最小正周期为2，C选项正确； 2tanAtanB1，

sinAsinBcosAcosBsinAsinBcosABcosC1tanAtanB1cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosBcosC0，cosAcosBcosC0，

cosAcosB对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC为钝角三角形，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

14．AD 【分析】

利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误； 零向量与任一向量共线，故B

解析：AD 【分析】

利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误； 零向量与任一向量共线，故B正确； 若ab,bc，则ac，故C正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.

15．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．

对

解析：ABD 【详解】

解：对于A：对于实数m和向量a、b，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

m(ab)mamb，故A正确．

对于B：对于实数m，n和向量a，根据向量的数乘运算律，恒有(mn)amana，故 B正确．

对于C：若mamb(mR)，当 m0时，无法得到ab，故C不正确． 对于D：若mana(m,nR,a0)，则mn成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】

因为BCBAACBCBABCBABCBAAC，所以

222a2c2b2，即ABC是直角三角形，选D.

【点睛】

判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABCπ这个结论．

17．C 【分析】

首先根据题的条件a2b7，得到(ab)27，根据a，b为单位向量，求得

1，进而求得向量夹角. 2【详解】 ab因为a2b27，所以(ab)27，

2即a4ab4b7，

因为ab1，所以ab所以cosa,b221， 21，因为向量a，b夹角的范围为[0,180]， 2所以向量a，b夹角的范围为60， 故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 18．B 【分析】

在三角形ABC中，根据a1，c42，B45，利用余弦定理求得边b,再利用正弦

bc求解. sinBsinC【详解】

定理

在三角形ABC中， a1，c42，B45， 由余弦定理得：b2a2c22accosB，

1322142所以b5， 由正弦定理得：

225， 2bc， sinBsinC所以

sinCcsinBb42224， 55故选：B 【点睛】

本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．D 【分析】

根据已知条件可得ACABACABBC2AMBC，整理可得

22BCMCMB0，若E为BC中点，可知BCME，从而可知M在BC中垂线

上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】

22ACABACABACABACABBC2AMBC

BCACAB2AM0

BCACAMABAMBCMCMB0

设E为BC中点，则MCMB2ME

BC2ME0 BCME

ME为BC的垂直平分线 M轨迹必过ABC的外心 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 20．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC中，M是BC的中点， 又ABa,BCb， 所以AMABBMAB故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 21．A 【解析】

分析：先利用三角形的面积公式求得c的值，进而利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在ABC中， 利用三角形的面积公式可得SABC解得c4，

又由余弦定理得abc2bccosA11621422211BCab， 2211bcsinA1csin6003， 22113，解得a13， 2a2bca13239由正弦定理得sinA2sinBsinCsinA3，故选A. 32点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

22．D 【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC． 【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15， 在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15， 在RtBSD中，

BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米，

BCBDCD1000米，

故选：D． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 23．B 【分析】

先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a. 【详解】

因为sin2Asin2Bsin2C0，所以a2b2c20, C为直角，

a2c2b21因为acbac0，所以cosB,B,

2ac23222因此accos【点睛】

31选B.

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．B 【分析】

先化简得PACB0,PBCA0,PCAB0，即得点P为三角形ABC的垂心. 【详解】

由于三角形ABC所在平面内一点P满足PAPBPBPCPCPA，

则PAPBPC0,PBPAPC0,PCPBPA0 即有PACB0,PBCA0,PCAB0， 即有PACB,PBCA,PCAB， 则点P为三角形ABC的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．D 【详解】 由余弦定理得解得【考点】 余弦定理 【名师点睛】

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

（

舍去），故选D.

，

26．无

27．D 【分析】

利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：

DFAFAD，AF=案. 【详解】

11AE，AE=ABBE，BE=BC，BC=AD，即可得出答22利用向量的三角形法则，可得DFAFAD，AE=ABBE，

E为BC的中点，F为AE的中点，则AF=DFAFAD=又

11AE，BE=BC 221111AEAD=(ABBE)AD=AB+BCAD 2224BC=AD

13ABAD. 24DF故选D.

【点睛】

本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.

向量的运算有两种方法：

一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；

二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 28．B 【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】

如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB， 因为M是线段AD的中点，所以：

BM1111BABDABtACtABt1ABtAC， 2222又BMABAC，所以所以故选：B.

11t1，t， 221. 2

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 29．A 【解析】

分析：根据向量加法、减法法则将BDAC转化为(ADAB)(ABBC)即可求解. 详解：由题可得：

BDAC(ADAB)(ABBC)=

2211(BCAB)(ABBC)BCAB242,故选A. 22点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息(ADAB)(ABBC)是解题关键. 30．B 【分析】

先根据向量的模将|mn|+|n|转化为关于|n|的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值. 【详解】

|m|=1，|m2n|3，m2nmn24n4mn19,nmn2,

2222m2mnn=5-n,|mn|+|n|5nn，

2222令nx(0x5),fx5xx,则f'x2x25x21，令f'x0，得

x101010时， f'x0，当,当0xx5时， f'x0， 当22210时， fx取得最大值x2【点睛】

10f210，故选B. 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 31．C 【详解】

试题分析：因为OAOBOC，所以O到定点A,B,C的距离相等，所以O为ABC的外心，由NANBNC0，则NANBNC，取AB的中点E，则

NANB2NECN，所以2NECN，所以N是ABC的重心；由

PA•PBPB•PCPC•PA，得(PAPC)PB0，即ACPB0，所以

ACPB，同理ABPC，所以点P为ABC的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用. 32．B 【分析】

由题意可得2bac，平方后整理得a2c24b22ac，利用三角形面积可求得ac的

值，代入余弦定理可求得b的值. 【详解】

解：∵a，b，c成等差数列， ∴2bac，

平方得a2c24b22ac，① 又ABC的面积为由S△ABC3，且B30， 21113acsinBacsin30ac，解得ac6， 2242代入①式可得a2c24b212，

a2c2b2由余弦定理得cosB，

2ac4b212b23b2123， 26122解得b2423， ∴b13. 故选：B. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 33．C 【分析】

易求ACB30，在ABC中，由正弦定理可求BC，在BCD中，由正弦定理可求

sinBDC，再由BDC90可得答案． 【详解】

CBD45，ACB30，

在ABC中，由正弦定理，得解得BC25(62)， 在BCD中，由正弦定理，得sinBDCcosBCABBC50，即，

sinCABsinACBsin15sin30BCCD25(62)50，即， sinBDCsin45sinBDCsinCBD3131，即sin(90)， 2231， 2故选：C． 【点睛】

该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A

【分析】

利用余弦定理化角为边，得出cb，ABC 是等腰三角形． 【详解】

aa2c2b2 ， ABC中，ccosB，由余弦定理得，cosB2c2acaa2c2b2∴ 2c2acc2b20 ，

∴cb，ABC是等腰三角形． 【点睛】

本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 35．B 【分析】

将PAPB转化为|PC|22，利用圆心到直线的距离求得|PC|的取值范围求得PAPB的最小值. 【详解】

PAPB(PCCA)(PCCB)(PCCA)(PCCA)53.故选B. |PC|2|CA|2|PC|22222【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

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