平方根与立方根 专题

一、知识要点 1、平方根：

⑴、定义：如果x=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。

2

⑵、性质：

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2、立方根：

⑴、定义：如果x=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。

3

⑵、性质：

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是 ；算术平方根是其本身的数是 ；立方根是其本身的数是 。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。 4、公式：⑴(a)=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。

2

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0

例1 求下列各数的平方根和算术平方根

（1）64； （2）(3)2； （3）1

例2 求下列各式的值

（1）81； （2）16； （3）

151； ⑷ 249(3)92522； （4）(4).（5）1.44，（6）36，（7）（8）(25) 2549（9）81的平方根是_____，4的算术平方根是_______，102的算术平方根是 ；

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵ 2二、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.

10； ⑶ 0.729 27例4、若2x

x2y6,求yx的立方根.

练习1：已知y12x2x12,求x的值.

2：已知：实数a、b满足条件a1(ab2)20试求1ab111的值 (a1)(b1)(a2)(b2)(a2004)(b2004)y

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而(a)(a)0. 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.

练习：若2a3和a12是数m的平方根，求m的值.

四、巧解方程

232

例6、解方程（1）（x+1）=36 （2）27(x+1)=64 （3）4(x+1)=8

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道a0,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.

例4、已知：y=a23(b1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求b的非算术平方根.

a

练习①已知x3y3(z2)20，求xyz的值。 ②已知

③a12的最小值是________，此时a的取值是________．代数式3－a＋b的最大值是 ，这时a与b的关系是 ．代数式互为相反数，求a，b的值。

xy－3的最小值是 ，这时x与y的关系是 ．

六．关于字母的平方根或算术平方根的计算： (1). a2等于（ ）

A．a B．－a C．±a

2

D．以上答案都不对

(2). 如果a＜0，那么a2=________，（a）=________． (3). 化简：322_______,a1a1_______.

2(4)若a0,a a2

a2 a4 a6

若a0, a2 a2

a2 a4 a6

(5)化简： 42________,3aa3________,x2x2________.

22

七、实数

1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

①按属性分类： ②按符号分类

2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．

3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如

、

等．

4. 无理数的类型：

2

思考：（1）－a一定是负数吗？－a一定是正数吗？ （2）大家都知道个整数之间？

(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)下列各数：

是一个无理数，那么

－1在哪两

35，，0.28，0，4，3.14159，0.1211211123，3，22．其中无理数有（ ）个 7

八、解答题（每题4分，共8分） 1、当a1时，化简14a4a2|2a1| 22、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，

2化简ab+(ab1)

-1a01b题组训练

1.下列说法正确的是 ··························· （ ） A、两个无理数的和一定是无理数 B、两个无理数的积一定是无理数

C、一个无理数与一个有理数的和一定是无理数 D、一个无理数与一个有理数的积一定是无理数 2.下列说法错误的是（ ）

A、(1)21 B、3131 C、2的平方根是2 D、81的平方根是9 3、下列说法正确的是（ ）

A．a的平方根是±a；B．a的算术平方根是a；C．a的算术立方根3a；D．-a的立方根是－3a． 4、满足-2＜x＜3的整数x共有（ ）A．4个；B．3个；C．2个；D．1个． 5、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则 ab的算术平方根是（ ）；

2A、a+b；B、a-b；C、b-a；D、-a-b； 6.如果-x1有平方根，则x的值是（ ） A、x≥1；B、x≤1；C、x=1；D、x≥0；

7．已知a中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则a的值（ ） A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；

8．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A、n+1；B、n+1；C、n1；D、n21。

22a －1 0 b 1 ．．．．．29.若(1x)＝1－x，则x的取值范围为（ ）.

A、x≤1； B、x≥1； C、0≤x≤1； D、一切有理数. 10、若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）. A、a23 B、－a23 C、±a23 D、±a3 11. 以下四个命题

①若a是无理数，则a是实数；②若a是有理数，则a是无理数；③若a是整数，则a是有理数；④若a是自然数，则a是实数．其中，真命题的是（ ） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ 12. 当0a1，下列关系式成立的是（ ） Ａ．aa，3aa

Ｄ．④

Ｂ．aa，3aa Ｃ．aa，3aa Ｄ．aa，3aa

a213.若a<0，则等于（ ）

2a A、

111 B、 C、± D、0 2222n114.若n为正整数,则

1等于（ ）

A．-1 B.1 C.±1 D.2n1

15.若正数a的算术平方根比它本身大，则（ ）

A.0a1 B.a0 C. a1 D. a1 16.若式子x211x有意义，则x的取值范围是 3 A、x≥2； B、x≤3； C、2≤x≤3； D、以上都不对

17.已知如图所示，点A、B分别表示1，2，点C、B位于点A的两侧，且到点A距离相等(即AB＝AC)，则点C所表示的数是 ······························ （ ）

C A B A、2－1 B、1－2 C、2－2 D、2－2

－1 1 2 0 18.当m______时，3m有意义；当m______时，3m3有意义；

19.计算：213=＿＿＿；33=＿＿＿；1.42的绝对值等于 ．计算：|2－5|＋|5－3|＝

84(3)2 ; 23= . 21.阅读下列材料：设x0.30.333„①，则10x3.333„②，则 20.若

a222a，则a的取值范围是 ；由②－①得：9x3，即x1。所以30.30.333„。根据上述提供的方法把下列两个数化成分数。0.7= ，1.3= ；②=

= ， ③

22.已知a＋a2＝0，那么a是 数（填“正”、“负”、“非正”或“非负”）． 23.如果a的算术平方根和算术立方根相等，则a等于 ；当x= 时，-若

x2有意义；

x(x2－3)＝0，则x＝ . 若

x3x,则x ，若

x2x,则x 。

24.若x2=2，则2x+5的平方根是______． 25.观察下列各式：

2＝2，2＝4，2＝8，2＝16，2＝32，2＝64，2＝128，2＝256，„，根据上述算式中的规律，你认为2的

末位数字是 ． 26.设等式a(xa)a(ya)1

2

3

4

5

6

7

8

300

xaay在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，则

3x2xyy2的值是 。 22xxyy27.已知实数a满足aaa0,那么a1a1 。

23328.计算下面各题。 （1）(3x2)1

(4)、364169144 （5）、|23|+|32|+|2-5|

29.已知A＝xyxy3是xy3的算术平方根，B＝x2y3x2y是x2y的立方根，试求B－A的立方根. 若5＋11的小数部分为a，5－11的小数部分为b，求a＋b的值. (1) 填表（被开方数a与立方根3a的关系）：

31611 （2）、4-0.25327 (2x1)3-=1 （3）

8643a 30.000001 0.001 1 1000 1000000 a (2) 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律：

______________________________________________________________________________ (3) 根据你发现的规律填空：

① 已知331.442，则33000 ，30.003 ， ② 已知30.0004560.07696，则3456 ． ③若102.0110.1，则0.010201 ．

30.已知：

31.若=0，求实数a, b的值。

x,y,m适合于关系式3x5y3m2x3ymxy20042004xy,试求m4的算术平方根。

32.已知m，n是有理数，且

(52)m(325)n70，求m，n的值。

33.已知x、y是有理数，且x、y满足2x23yy22332，则x+y= 。

34.已知x(2a4aa33a3a)1993，求x的个位数字。