三角函数之任意角与弧度制

任意角和弧度制及任意角的三角函数

语录天下：成功不在于自己努力多少，而在于别人认可你多少。

【知识聚焦】 1、任意角

（1）角概念的推广：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②始边和终边的概念。 （2）终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kZ)。 （3）象限角和轴上角及其集合表示：

象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 象限角的集合表示 0第四象限角的集合 轴上角：

2、角的单位：弧度制

（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。 （2）角的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么角的弧度数的绝对值是||=

（3）角度与弧度的换算：① ② ③ （4）牢记特殊角度对应的弧度：

（5）弧长、扇形面积的公式：扇形的弧长 ,则扇形的面积为

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3、任意角的三角函数，初中的三角函数如何定义的？

三角函数 定义 正弦： sinα= 各象限 符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 记忆口诀 终边相同角三角函数值 (k∈Z)（公式一） 5、三角函数在单位圆中的定义：三角函数线

单位圆：以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径的圆

当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y)， 过点P作PMx轴交x轴于点M，

过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,

设它与的终边或其反向延长线(当终边在第二三象限时)AT交于点T(T), ,

,正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边上有一点P(x,y), P到原点O的距离为r，那么 y r余弦：cosα= x r正切：tanα= y x 一正，二正弦，三切，四余弦 y a角的终P T O M A 规定：三条线段：MP、OM、AT (AT)朝上或朝右为正，朝下或朝左为负 'sinMP， cosOM tanAT(AT')

'我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT (AT),分别叫做角的正

弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

1、任意角和弧度制：

000〖例1〗（1）将下列角化成k360(kZ)的形式： ①300 ② 1125 ③660

000（2）将下列角进行角度与弧度的换算：① 330 ② 900 ③

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52 ④ 123 犍为校区 高考部讲义

〖例2〗已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是R。若=60，R=10cm,求扇形的弧长

0

及该弧所在的弓形面积。 练习：

1）、已知扇形周长是6cm，面积是2cm，求扇形中心角的度数。

2）、已知角45；（1）在区间[720,0]内找出所有与角有相同终边的角

2、半角与倍角的位置关系

〖例1〗、为第二象限角，试分别确定

2

 、2的终边所在的位置 2sin〖例2〗、为第三象限角，试判断

2的符号 2cos

练习：为第二象限角，且cos

3、任意角三角函数值：

2cos2，

的终边所在的位置 2〖例1〗（1）若点P(6,t)是角终边上的一点，且满足t0，cos的值

3，求sin，tan5（2）已知角的终边上有一点P(3t,4t)(t0)，求sin,cos,tan的值；

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〖例2〗已知角的终边落在直线y

〖例3〗若 练习：

sinacosa4 x(x0)上，求sinacosa742，比较sin,cos,tan的大小关系

41）、若的终边经过点P(3,y)，且sin，则costan 5

1cos22）、若角的终边落在直线yx上，则的值等于 . 2cos1sinsin

4t)，且sin(2k)3）、已知角的终边经过点P(3，3，其中kZ，求t的值 5 4）、若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限

4、象限角、三角函数值符号的判断：

（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；

（2）判断三角函数值的符号就是要判断角（终边）所在的象限；

（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函

数值的符号，再判断角所在象限。

cos,2cos)位于第三象限，试判断角所在的象限？ 〖例1〗（1）如果点P(sing

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（2）已知singtan0，试判断角所在的象限？

练习：1、已知为第二象限角，tan12，则cos

5、三角函数线

〖例1〗求下列函数的定义域： （1）y3cosx12cos2x

（2）ylg(2sinx1)2cosx1

（3）ycos(sinx)

课后练习：

任意角和弧度制练习

1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ）3A．3 B．1 C．2 D．3

Mk2．设集合

xx2,kZ,Nxxk2,kZ，则M与N的关系是（ A.MN B.MN C.MN D.MIN

3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.

2sin1 C.2sin1 D.sin2 4.在“①160°②480°③960o④1600o”这四个角中，属于第二象限的角是( )

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） 犍为校区 高考部讲义

A. ① B. ① ② C. ① ② ③ D. ① ② ③ ④

5.若是钝角，则k,kZ是（ ）

A. 第二象限角 B. 第三象限角

C. 第二象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 6.设kZ，下列终边相同的角是（ ）

A． 2k1180与4k1180 B． k90与k18090

oooooC． k18030与k36030 D． k18060与k60 7.若角是第二象限的角，则

ooooooo是（ ） 2（A）第一象限或第二象限的角 （B）第一象限或第三象限的角 （C）第二象限或第四象限的角 （D）第一象限或第四象限的角 8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度 A． 1 B． 2 C．3 D． 4 9. 120的弧度数是（ ） A.

10．下列命题中，命题正确的是（ ）

A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角是锐角

C．若2k(kz)，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值 D．半径为R，no的圆心角所对的弧长为Rno 11.扇形的中心角为

o5423 B. C. D. 6334

2，弧长为2，则其半径r______． 312．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度． 13.终边在y轴上的角的集合是（用弧度制表示）________________.

14.点P从圆心在原点O的单位圆上点(1,0)出发，沿逆时针方向运动弧长，到达点Q，

566则点Q的坐标是_______________. 15.将5rad化为角度是 ．

16.已知扇形的周长为4

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2cm,其半径为2cm,则该扇形的圆心角的弧度数为 . 3 犍为校区 高考部讲义

17. 求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210； （2）148437．

18. 已知角是第二象限角，求：（1）角

19.已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴.若角的终边过点P（－3，y），且sin=

3y（y≠0），判断角所在的象限，并求cos和tan的值. 42是第几象限的角；（2）角2终边的位置。

三角函数定义练习

一．选择题

1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cosα的值为 （ ） A．－

5255 B．－5 C． D．

5522、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A．sinα B．cosα C．tanα D．cotα

3、已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sinα＋cos α的值是 （ ） 22

A． B．－ C．0 D．与a的取值有关

554、α是第二象限角，P（x, 5 ） 为其终边上一点，且cosα=

2x，则sinα的值为 （ ） 4A．

106210 B． C． D．－ 4444sinxcosx的定义域是

（

）

5、函数yA．(2k,(2k1))，kZ C．[kB．[2k2,(2k1)]，kZ

2,(k1)]， kZ D．[2kπ，（2k+1）π]，kZ

（

）

6、若θ是第三象限角，且cos0，则是

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A．第一象限角 7、已知sinα=

B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 D．

（

）

4，且α是第二象限角，那么tanα的值为 5343A． B． C．

3448、已知点P（tan,cos）在第三象限，则角在

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

4 3（

）

D．第四象限

二．填空题

1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为 ． 2、角α的终边上有一点P（m，5），且cosm,(m0)，则sinα+cosα=______． 133、已知角θ的终边在直线y =

3 x 上，则sinθ= ；tan= ． 34、设θ∈（0，2π），点P（sinθ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ． 三．解答题 1、求

3角的正弦、余弦和正切值． 4

2、(1)已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值；

（2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；

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