关于数论中一个猜想的证明

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１９卷第３期　２００２年９月　河北建筑科技学院学报　Ｖｏ１．１９　Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２００２　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　文章编号：１００７—６７４３（２００２）０３—００８５—０２　关于数论中一个猜想的证明　史文河　（邯郸市第一财经学校，河北邯郸０５６００４）　摘要：在平面几何中，我们都知道，一个三角形的任意两边之和必大于第三边，这就是三角不等　式。在数论中有不少这类不等式。关于丌（　）（丌（　）表示　内所含素数的个数），也有这样的猜　想［¨，即对于自然数　＞１，Ｙ＞１总有丌（　）＋丌（ｙ）≥丌（　＋ｙ）。　关键词：素数；合数；尾数；始数　中图分类号：Ｏ１５６　文献标识码：Ａ　定理：对于自然数　＞１，　＞１总有　丌（　）＋丌（Ｙ）　丌（　＋Ｙ）　证：把（１）式变形为　丌（Ｙ）　丌（　＋Ｙ）一丌（Ｙ）　（２）　（１）　由于　内所含素数都包含在（　＋ｙ）之内，所以原问题就转化为Ｙ内所含素数之个数与　至（　＋　）　之间（不含　）所含素数之个数的比较。为方便计，令ｌ　Ｙ　ｌ表示　至（　＋Ｙ）的区间值，ｌ　ｌ表示Ｙ至　的　区间值，有Ｉ　Ｙ　Ｉ＝Ｙ；Ｉ　ｚ　Ｉ＝　—Ｙ。　令丌（　）＝∑１；丌（Ｙ）＝∑１；丌（１　Ｙ　１）＝　∑　１；丌（１　１）＝　∑１　ｐ　ｐ　ｐ　ｐ　Ｐ　Ｐ　ｙ　，‘Ｐ：ｇ　ｙ　ｙ‘Ｐ：ｇ　Ａ（Ｙ）：Ｙ一丌（Ｙ）一１；Ａ（１　Ｙ　１）＝Ｙ一７Ｉ＂（ｔ　Ｙ　１）；Ａ（１　１）＝　—Ｙ一丌（ｔ　１）　由（２）式及上面的分析知，问题的实质就转化为关系式　丌（Ｙ）　丌（１　Ｙ　１）　是否成立。而要证（３）式成立，只需证　Ａ（１　Ｙ　１）≥Ａ（Ｙ）　即可。现在分三步证明（４）式成立。　（４）　（３）　ｉ）设Ｙ≤　，１＜Ｙ≤８有丌（８）＝４，由于Ｐ个相连的自然数中必有一个能被Ｐ所整除，所以当Ｙ≤８　取值时，ｌ　Ｙ　ｌ＝Ｙ，由于除偶素数２外，所有的偶数都是合数，而３，５，７三个相连的奇自然数都是素数，故　不论Ｙ取何值（Ｙ≤８），都有Ａ（１　Ｙ　１）　Ａ（，，）。　ｉｉ）设　＞Ｙ＞８，丌（　）＝ｒ，命［口］表示实数口的整数部分，则有　丌（ｙ）　Ｙ＋ｒ一１一奎［　］＋。　暑　，［舂］＿。　摹　］＋…＋（一１）　］　（５）　由于ｌ　Ｙ　ｌ＝Ｙ，所以ｌ　Ｙ　ｌ与Ｙ含有相等数量的自然数。ｌ　Ｙ　ｌ＝（　＋１，　＋Ｙ）　令３　Ｐｆ　号，（１＜ｉ　ｒ），由于Ｐ　罟，故在ｔ　Ｙ　ｌ至少有两个自然数能被Ｐ　所整除由（５）式知在Ｙ内能　被Ｐｆ所整除的自然数个数共有［罟］＝ｋ　个，在这ｋｆ个自然数中，因Ｐｆ是素数，所以在Ｙ内能被Ｐ　所整　收稿日期：２００２—０７—１１　作者简介：史文河（１９６９一）．男．河北曲周人．讲师。研究方向：高等数学。　维普资讯 http://www.cqvip.com 河北建筑科技学院学报　２００２矩　除的合数个数为　一１个。因Ｉ），，Ｉ：），，所以在Ｉ），，Ｉ内能被　所整除的合数个数必为［＿　ｌｙ　＂一ｌ：　或（　＋　１）个，（这是由Ｉ），，Ｉ中的始数和尾数与Ｐｉ的关系所决定的）。由此及（５）式得在Ｉ　Ｙ　Ｉ内能被≤罟的素数所　整除的合数个数不会小于Ｙ内能被　姜的素数所整除的合数个数。　由已解决的贝特朗假设知，在考与Ｙ之间必有素数存在。令考＜　，因），＞　＞考，故在Ｙ内没有一　个能被　所整除的合数。而在Ｉ　Ｙ　Ｉ内必有一个（或两个）自然数ｚ０能被　所整除。设　罟＜Ｐ＜Ｙ　显然，这日个Ｐ在Ｙ内都是素数，而在ｌ　Ｙ　ｌ内，这日个Ｐ，其每一个Ｐ都能整除ｌ　Ｙ　Ｉ内的一个（或２　个）自然数。（由的始尾数所决定）　这就使Ｉ　Ｙ　Ｉ内能被大于罟而又小于Ｙ的素数所整除的自然数个数不小于Ｙ内能被大于等而又小于　Ｙ的素数所整除的自然数个数。另一方面，当　比较大时，Ｉ　Ｙ　Ｉ有些自然数又会被大于Ｙ而又小于　的　素数所整除。这就使ＩＹ　Ｉ所含合数的个数不小于Ｙ内所含合数的个数。即在　＞Ｙ时，有　Ａ（１　Ｙ　１）　Ａ（Ｙ）　‘　当　，Ｙ充分大时，由素数定理得南ｌｏｇ＋去Ｖ　ｌｏｇ　ｌｏｇ　＋Ｖ　ｌｏｇ　＋Ｖ，　ｌ＋　０ｇｔ　＋Ｖ，　ｉｉｉ）当　＝Ｙ时，我们只要证２　７ｃ（Ｙ）≥７ｃ（２ｙ）即可。　当Ｙ较小时，同ｊｉ）中的证明相仿，在Ｉ　Ｙ　Ｉ内必有一些自然数能被小于罟的Ｐ与大于　的Ｐ所同时　整除，从而使　（ｆ　Ｙ　Ｉ）≥Ａ（Ｙ）　当　＝Ｙ充分大时，由素数定理得　Ｊ０ｇＹ　≥　ｌｏｅ－，２Ｙ　定理显然成立。　综合ｉ）、ｉＩ）、ｉｉｉ）得到，当　＞１，Ｙ＞１恒有丌（　）＋７ｃ（Ｙ）≥７ｃ（　＋Ｙ）　证毕。　１９７３年，汉斯勒与黎加尔斯借助于电子计算机证明，（１）式与ｎ生素数猜想是互相矛盾的，即二者中　必有一个不成立…。由此及本定理我们就否定了所谓的ｎ生素数猜想。　参　考　文　献　［１］　王元．谈谈素数［Ｍ］．上海：上海教育出版社，１９８３．　Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｉｎ　ｎｕｍｂｅｒ　ｔｈｅｏｒｙ　ＳＨｌ　Ｗｕｎ－ｈｅ　（Ｈａｎｄａｎ　Ｆｉｒｓｔ　Ｆｉｎａｎｃｉａｌ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｈａｎｄａｎ　０５６００４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｐｌａｎｅ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａＳ　ｗｅ　ｋｎｏｗ，ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｓｉｄｅｓ　ｉｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｉｒｄ　ｓｉｄｅ　ｉｎ　ａ　ｔｒｉａｎｇｌｅ．　ａｔ　ｉｓ　ｃＭｌｅｄ　ｔｒｉａｎｇｌｅ　ｉｎｅｑｕＭｉｔｙ　ｌｉｔｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｍａｎｙ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｒｉｎｄ　ｉｓ　ｎｕｍｂｅｒ　ｔｈｅｏｒｙ．ｈＴｅｒｅ　ｉｓ　ｓｕｃｈ　ａ　ｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｂｏｕｔ（７ｃ（ｘ）ａｓ　ｗｅｌｌｒｒ（ｘ）ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｈｔｅ　ｑｕａｎｔｉｔｙ　ｏｆ　ｐｒｉｍｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｗｉｔｈｉｎ　Ｘ）．Ｔｈａｔ　ｉｓ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｎａｔｕｒａｌ　ｎｕｍｂｅｒ．ｉｆ　ｘ　＞１，Ｙ＞１，ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｃａｎ　ｇｅｔ￣（ｘ）＋７ｃ（ｙ）≥７ｃ（ｘ＋Ｙ）．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｍｅ　ｎｕｍｂｅｒ；ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ　ｎｕｍｂｅｒ；ｏｄｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｒｏｕｎｄ　ｎｕｍｂｅｒ　（责任编辑刘存英）