数学选修2-2_第二章推理与证明学案2

学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;

2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P73~ P77，找出疑惑之处） 1.已知

ai0(i1,2,,n)1a11a21a3(i)a，考察下列式子：

)911a11(ii)；

(a1a2)(1a11a2)4；

(iii)(a1a2a3)(. 我们可以归纳出，对a,a12,,an也成立的类

似不等式为 （a1+a2+…+an）（1/a1+1/a2+…+1/an）≥n2 . 2.

猜想数列

113,13557,1,179,的通项公式是

(-1)^(n-1)/(2n+1)(2n-1) . 二、新课导学 ※ 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有 某些类似特征 和其中 其中一类对象的某些已知特征 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 称为类比推理 简言之，类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. ※ 典型例题

例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

类比 实数的加法 实数的乘法 角度 运算 结果 运算律 逆运算 单位元

若a，b∈R，则a+b∈R 若a，b∈R，则ab∈R ab=ba (ab) c=a (bc) a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 减法 除法 0 1 变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 球的表面积 圆的周长 球的体积 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心连线垂直于截面圆 垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与与球心距离相等的两截面圆面积相等，圆心距离不等的两弦不等，距圆与球心距离不等的两截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大。 心较近的弦较长 以点(x,y)为圆心，r为半径的圆以点（x0，y0，z0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）²+（y-y0）²+（z-z0）的方程为(xx)(yy)r ²=r² 例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

0022200S²=S1²+S2²+S3²

变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.

三角形 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第三角形的两边之和大于第三边 四个面的面积 三角形的中位线平行且等于第三四面体的中截面（以任意三条棱的中点为顶点的三角形）的面积等于第四个面边的一半 的面积的一半，且平行于第四个面 三角形的面积为S1(abc)r（r四面体的体积为V=1/3(S1+S2+S3+ S4)r2（r为四面体内切球的半径） 为三角形内切圆的半径） 新知： 归纳推理 和 类比推理 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 归纳、类比 ，然后提出 猜想 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.

※ 动手试试

练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点M形面积之比

11,M2与点N1,N2，则三角

SOM1N1SOM2N22OM1OM212ON1ON2.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分

12别存在点P,P，点Q,Q和点R,R，则类似的结论是什么？

VO-P1Q1R1/VO-P2Q2R2=(OP1×OQ1×OR1)/ OP2×OQ2×OR2

练2. 在ABC中，不等式1式

1A1A1B1B1C1C1D1D1E162253A1B1C9成立；在四边形ABCD中，不等

成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形AA12An中，有怎样的不等式

成立？

1/ A1 +1/ A2+……+1/ An=n²/【(n-2)π】

三、总结提升 ※ 学习小结

1．类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）. 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. ※ 知识拓展

试一试下列题目： 1. 南京∶江苏 A

A. 石家庄∶河北 B. 渤海∶中国 C. 泰州∶江苏 D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败 D

A. 勤奋∶成功 B. 懒惰∶失败 C. 艰苦∶简陋 D. 简单∶复杂

3.面条∶食物 A

A. 苹果∶水果 B. 手指∶身体 C. 菜肴∶萝卜 D. 食品∶巧克力

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（ D ）.

A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2. 下面使用类比推理正确的是（ C ）. A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc” C.“若(ab)cacbc” 类推出“abab （c≠0）”

cccnnnnnnD.“（ab）ab” 类推出“（ab）ab 3. 设f0(x)sinx,f1(x)f0'(x)， f(x)f(x),,f(x)f(x)，n∈N，则f2007(x) （ D ）. A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此

规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 61 个黑圆.

5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是 21 . ''21n1n 课后作业 1. 在等差数列{a}中，若an，则有

aaaaaa(n19,nN)成立，类比上述性质，在等比数列{b}中，若b1，则存在怎样的等式？

100*12n1219nn9b1 b2 ……bn= b1 b2……b17-n（n＜17，n∈N+）

2. 在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn（1）a1=1，a2=根号2-1，a3=根号3-根号2 （2）an=根号n-根号（n-1） （3）Sn=根号n

11an2an（1） 求a1,a2,a3；（2） 由（1）猜想数列an的通项公式；（3） 求Sn