二项式定理赋值法求各项系数的和

La7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1|L|a7|.

7解：（1）当x1时，(12x)(12)71，展开式右边为

a0a1a2La7

∴a0当xa1a2La71，

0时，a01，∴a1a2La7112，

a1a2La71 ①

（2）令x1， a0令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

7137①② 得：2(a1a3a5a7)13，∴ a1a3a5a72（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0.

a2a4a6)137，

，

137∴ a0a2a4a62∴|a0||a1|L|a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

例6． 设当a01x1x1x23L1xa0a1xa2x2Lanxn，

na1a2Lan254时，求n的值 解：令x1得：

2(2n1)a0a1a2Lan222L2254，

2123n∴2n128,n7，

f(x)a0(xa)na1(xa)n1Lan，令xa1,即xa1可得各项系数的

点评：对于和a0a1a2Lan的值；令xa1,即xa1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例8．在(2x3y)的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x3y中的系数无关.

解：设(2x3y)1010ra0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*),

各项系数和即为

a0a1a10,奇数项系数和为a0a2La10,偶数项系数和为

a1a3a5a9,x的奇次项系数和为a1a3a5a9,x的偶次项系数和a0a2a4a10.

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C10②令x0110C10C10210.

y1,各项系数和为(23)10(1)101.

0210C10C1029,

③奇数项的二项式系数和为C10偶数项的二项式系数和为C10④设(2x3y)令x10139C10C1029.

a0x10a1x9ya2x8y2a10y10,

y1,得到a0a1a2a101…(1),

y1(或x1,y1)得a0a1a2a3a10510…(2)

a2a10)1510,

10令x1,

(1)+(2)得2(a0∴奇数项的系数和为15;

2(1)-(2)得2(a1a3a9)1510,

10∴偶数项的系数和为152.

10⑤x的奇次项系数和为aaaa1513592;

10x的偶次项系数和为a0a2a4a1015.

2点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一

例7．求证：Cn123n2Cn3CnLnCnn2n1．

123n2Cn3CnLnCn ① Cn证（法一）倒序相加：设S又∵S∵Cnr1 nCnn(n1)Cnn1(n2)Cnn2L2Cn2Cn ②

nr0n1n1Cn，∴CnCn,CnCn,L，

由①+②得：2S∴S012nnCnCnCnLCn，

1123n2Cn3CnLnCnn2n1． n2nn2n1，即Cn2（法二）：左边各组合数的通项为

rCnrr∴ Cn 1．设

1n!n(n1)!r1nCn1，

r!(nr)!(r1)!(nr)!n123n012n1 n22Cn3CnLnCnnCnCCLC1n1n2n11x32x59a0x1a1x1La13x1a14

91413求：① a0a1La14 ②a1a3La13．答案：①3319683； ②

93529963

2．多项式

123nf(x)Cn(x1)Cn(x1)2Cn(x1)3LCn(x1)n（n6）x6的展开式中，

的系数为 3．在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于（ ）

A.0 B.

pq C.p2q2 D.p2q2