数学学业水平测试复习提纲(数列专题)2010.06.13

一、定义与通项

１．从第二项起：注意an中n的取值范围．

例：已知在等比数列an中，a6,a10是方程x8x10的两根，则a8＝___________．

2提示：由隔项同号得1

变式:求a6,a10的等比中项(两解) 已知f(x)2x (0x1)*fx,(nN)． ，令f1(x)f(x),fn1(x)fnx1 (1x2)1212（１） 求f2(),f3()的值；

（２） 是否存在mN，使得fmxx．若存在，求出其中一个自然数m，若不存在，

*说明理由；

（３） 令anfnx,当0x1时，归纳并猜想数列an的通项公式（不必证明）．据此

求数列an前２００８项的和S2008．

提示：⑵4；⑶2008 ２．通项的求法：

⑴anan`12,nN*,n2． ⑵anan`1f(n),nN*,n2 ⑶an2an`1,nN*,n2 ⑸an2an`13,nN*,n2 ⑹an2an`13n,nN*,n2

⑺已知Snf(n),nN*，an,Sn0，an,an10． 再写一个式子： 当n2时，

⑻由题意，构造等差数列或等比数列．如76版19，20．

二、运算与性质：

1．基本量法，知三求二

（如76版12）设等差数列an的前n项和Sn,且6S55S35,则a4_________． 法2：性质，分组等．

１３

2．公式的选用与理解：Sn(a1,d)(a1,an)An2Bn （特殊：S2n1?）如76版17

例如:⑴等差数列an中，a1a4a715,a3a6a93，求该数列前9项的和． 提示：3a415,3a63,相加得：a5,从而S99a5 ⑵等差数列an中，若a125，且S9S17，求S13 提示：使用性质的层次！9a517a8，通项公式求公差即可． ⑶下列例题中是真命题的是：

Ａ．数列an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)

Ｂ．已知一个数列an前n项和Snan2bna，如果此数列是等差数列，那么此数列也是等比数列

Ｃ．数列an是等比数列的充要条件anabn1

Ｄ．如果一个数列an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1)，则此数列是等比数列的充要条件是ac0 提示：Ｄ

3．等差数列的变化趋势：

例：在等差数列an中，a120,S10S15 ⑴当n为何值时Sn最大？ 方法1：图象对称性

方法2：a11a12a13a14a150得：a130 方法3：基本量求公差 ⑵求使Sn0的最大的n． 方法1：图象对称性

方法2：令Sn0找项正负的分界． ⑶求数列an的前n项和．（分类讨论）

4．等比数列何时递增？

（2010年山东，理9）设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的



（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 【答案】C

2 (B)必要而不充分条件、 （D）既不充分也不必要条件

解析：设公比为q，则a1aqaq11所以an｝是递增数列；反之亦然．

5．常用性质：

，当a10时，可得0q1；当a10时，可得q1，

⑴连接片的性质：Sn,S2nSn,S3nS2n,... ⑵等比数列：Sn,qnSn,q2nSn,...

SmnSmqmSnSnqnSm

三、数列求和：通项分析法

1．倒序相加法（数列有对称性时） 2．错位相减法

例：求数列1,3a,5a2,7a3,,(2n1)an1前n项和． 隐含了？

3．裂项相消法

（2010年山东，理18）已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn．

（Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=

1(nN*)，求数列bn的前n项和Tn． 2an1【解析】（Ⅰ）设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有

a12d7，解得a13,d2， 2a110d26所以an3（2n1)=2n+1；Sn=3n+（Ⅱ）由（Ⅰ）知an2n+1，所以bn=

n(n-1)2=n2+2n。 21111111(-)，=== 22an1（2n+1)14n(n+1)4nn+1所以Tn=

11111111n(1-+++-)=(1-)=，

4223nn+14n+14(n+1)

即数列bn的前n项和Tn=

4．分组求和．

n。

4(n+1)