江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题

2015年2月

第I卷

注意事项:

1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.

2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.

3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案

直接填写在答题卡的相应位置上. ．．．．．．．．．

1．记复数zabi(i为虚数单位）的共轭复数为zabi(a,bR)，已知z2i，则

z2 ▲ .

2．设全集UZ，集合M1,2,P2,1,0,1,2，则PðUM= ▲ .

3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ▲ .

1x2y24．若双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则

4ab该双曲线的渐近线方程是 ▲ .

5．已知向量a(2x1,1),b(2,x1),ab，则x ▲ . 6．执行如图流程图，若输入a20,b 开始 输入a,b 1，则输出a的值为 ▲ .. 2aab Y 7．设,为互不重合的平面，m,n是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m//n,n，则m//；

ab ②若m,n,m//,n//，则//；

N ③若//，m,n，则m//n；

④若,m,n,nm，则n； 其中正确命题的序号为 ▲ .

8．设m,n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量am,n,b1,1，则向量a,b的夹角为锐角的概率是________.

输出a 结束 9．设等比数列an的前n项和为Sn，若S37,S663,则a7a8a9 ▲ . 10．已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x2y22相交于A,B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为 ▲ .

11．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m，则m的取值范围是 ▲ .

12．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xlnx，则不等式f(x)e的解集为 ▲ . 13．曲线y1(x0)与曲线ylnx公切线（切线相同）的条数为 ▲ . x14．已知正数x,y满足

114x9y1，则的最小值为 ▲ .

x1y1xy二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要．．．．的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

已知ABC的面积为S，且ABAC2S. （1）求sinA；

（2）若AB3,ABAC23,求sinB.

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥DABC中，已知BCD是正三角形，AB平面BCD，

ABBCa，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF3FC.

（1）求三棱锥DABC的体积； （2）求证：AC平面DEF；

（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且

3CNCA,求证：MN//平面DEF.

8

17．（本小题满分15分）

某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近.现派出四艘搜救船A,B,C,D，为方便联络，船A,B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆上，船A,B,C,D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外（如图）.设小岛O到AB的距离为x，

AOB,D船到小岛O的距离为d.

（1）请分别求d关于x,的函数关系式dg(x),df()；并分别写出定义域； （2）当A,B两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d最大）.

18．（本小题满分15分）

x2y22已知椭圆221(ab0)的右焦点F(1,0)，离心率为，过F作两条互相垂直的

ab2弦AB,CD，设AB,CD的中点分别为M,N.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦AB,CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值.

19．（本小题满分16分）

已知函数

f(x)4x2x，实数s,t满足f(s)f(t)0，设a2s2t,b2st.

（1）当函数f(x)的定义域为1,1时，求f(x)的值域； （2）求函数关系式bg(a)，并求函数g(a)的定义域； （3）求88的取值范围.

st 20．（本小题满分16分）

已知数列an中，a11，在a1,a2之间插入1个数，在a2,a3之间插入2个数，在a3,a4之间插入3个数，…，在an,an1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列an中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列bn. （1）若a419，求bn的通项公式；

（2）设数列bn的前n项和为Sn，且满足2Snbn(,为常数），求an的通项公式.

江苏省镇江市高三数学期末试题

第Ⅱ卷（理科附加卷）

21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4-1：几何证明选讲)

如图，圆O与圆P相交于A,B两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B,CP及其延长线交圆P于D,E两点，过点E作EFCE交CB延长线于点F.若

CD2,CB22，求EF的长.

B.(选修4-2：矩阵与变换)

1010，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式. ,N2已知矩阵M0201

C.(选修4-4：坐标系与参数方程)

ìpïx=10cosq已知直线l的极坐标方程为rsin(q-)=6，圆C的参数方程为í(q为参数）.

3ïîy=10sinq（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线l被圆截得的弦长.

D.(选修4-5：不等式选讲)

已知函数f(x)=x-1+x-2，若不等式a+b+a-b?af(x)对任意a,bÎR恒成立，求实数x的取值范围.

【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10分）

TM，求动点T的轨已知A为曲线C:4x-y+1=0上的动点，定点M(-2,0)，若AT=22迹方程.

23.（本小题满分10分）

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//CD,?DAB90癪,PA底面ABCD,且

1AB=1,M是PB的中点. 2（1）证明：平面PAD平面PCD； （2）求AC与PB所成角的余弦值； （3）求平面AMC与平面BMC所成二面角（锐PA=AD=DC=角）的余弦值.

PMABDC

江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案

第Ⅰ卷

一、填空题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 试题出处 知识点 能力 运算 运算 运算 运算 运算 识图 空间想象 运算 运算 运算 难度 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 34i 2,1,0 75 y3x 3模考题改编 复数的运算，共轭复数 教材改编 教材改编 教材改编 教材改编 教材改编 教材改编 原创 教材改编 教材改编 集合的交集与补集 分层抽样 双曲线的几何性质 向量的数量积 算法流程图 立体几何的判定和性质定理 概率问题，向量的夹角 等比数列的性质，求和 直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式 1 5 16④ 5 12448 x10，3x4y50 (2,) (,e) 模考题改编 正弦定理，角度范围的确定 原创题 模考题改编 函数的奇偶性，函数求导，函数单调性 函数求导，构造函数及画新函数图像 直觉，图形分析 较难 图象分析 转化，运算 转化 难 难 难 1 25 模考题改编 基本不等式求最值 二、解答题

15. 解：（1） ∵△ABC的面积为S，且ABAC2S，

1 ∴bccosA2bcsinA， ……2分

2 ∴sinA2cosA，

……3分

13 ∴A为锐角，且sin2Acos2Asin2Asin2Asin2A1， ……5分

22

∴sinA6． ……6分 3 （2）设△ABC中角A,B,C对边分别为a,b,c

∵|AB|c3，|ABAC|CBa23，

由正弦定理得：

……7分

323ca，即 ……9分 sinCsinCsinA63……10分

∴sinC ∴C2，又∵ca,则C锐角， 2π， ……11分 4……12分

πππ ∴sinBsin(A)sinAcoscosAsin

444=6232236 ． ……14分 32326【说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.

16．解：（1）因为 △BCD是正三角形，且ABBCa，所以SBCD因为AB⊥平面BCD，

32a，……2分 41VDABCVABCDABS△BCD13a2a3a3. ……5分

31234（2）在底面ABC中，（以下运用的定理不交代在同一平面中，扣1分）

取AC的中点H，连接BH，ABBCBHAC, 

EFAC6分AF3FC,F为CH的中点，  EF∥BHE为BC的中点， 

△BCD是正三角形,DEBC．

AB面BCD, ABDE,(7分)DE面BCD,DE面ABC,(8分)DE AC,(9分)ABBCB,AC面ABC,ACEF,AB,BC面ABC,DEEFE,DE,EF面DEF,

AC面DEF.……10分

（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣1分，扣满该逻辑段得分为止）

3（3）当CNCA时，连CM，设CMDEO，连OF．

822 O为△BCD的重心,COCM，当CFCN时,MN∥OF,(11分)33OF面DEF, MN面DEF,MN∥面DEF.……14分

【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力. 17. 解：设x的单位为百海里

（1）由OAB，AB2OAcosA=2cosA，ADAB2cos， π 在△AOD中，ODf()OA2OB22OAOBcos() 2……2分 ……3分

π 14cos24cossin；(0,)（定义域1分） ……5分

2 若小岛O到AB的距离为x，AB212x2， ODg(x)(xAD2AB2)() 22……6分 ……8分 ……10分

x22x1x22，x(0,1) （定义域1分）

π （2）OD24cos214cossin；(0,)

241cos2sin22(sin2cos2)3 1422ππ22sin(2)3,(0,). ……11分

42πππ5πππ当2(,)，则2时，即，OD取得最大值， ……12分

444428此时AB2cosπ281cos2π422（百海里）. ……13分

答：当AB间距离10022海里时，搜救范围最大. ……14分

【说明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力，选择合适的模型求最值的问题.

18. 解：（1）由题意：c1,c2，则a2,b1,c1，（每个1分） ……3分 a2x2椭圆的方程为y21 ……4分

2（2）AB,CD斜率均存在，设直线AB方程为：yk(x1)，

A(x1,y1),B(x2,y2),M(x1x2xx,k(121))， 22……5分

yk(x1), 得(12k2)x24k2x2k220， 22x2y20,4k2xx22k2k112k2，故M(,)， ……6分 22212k12kxx2k21212k212k将上式中的k换成，则同理可得：N(,)， ……8分

k2k22k22k22如，得k1，则直线MN斜率不存在， 212k2k222此时直线MN过点(,0)，下证动直线MN过定点P(,0). ……9分

33（法一）若直线MN斜率存在，则 kMNkk22k(3k23)3k12k2k， 2k222k422k2112k22k2……11分

直线MN为yk3k2(x)， 2k22k212k222k2123k212令y0，得x，

2k232k232k232

综上，直线MN过定点(,0). ……12分

3

（法二）动直线MN最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x轴上，设x2与x轴交322点为P(,0)，下证动直线MN过定点P(,0).

33当k1时，kPMk23k12k， 2k2221k212k231()3k3k， 21121k2k2……10分

1同理将上式中的k换成，可得kPMk……11分

2则kPMkPN，直线MN过定点P(,0).

32（3）由第（2）问可知直线MN过定点P(,0)，

3 故S△FMN=S△FPM+S△FPN11|k2|11|k2|

232k2312k……12分

1|k|(33k2)1|k|(k21)  ……13分

6(2k2)(12k2)22k45k221)1|k| ，

22k252k2(|k|令t|k|11t ……14分 [2,)，S△FMNf(t)12t2|k|22(t2)522t1112t2f'(t)0，则f(t)在t[2,)单调递减， ……15分

2(2t21)21，此时k1. ……16分 9当t2时f(t)取得最大值，此时S△FMN取得最大值

【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力.

k(k21) 本题可以不妨设k0，可直接对4求导，判断单调性.

2k5k22

119. 解：（1）若x[1,1]，令m2x[,2]， ……1分

2111 f(x)l(m)m2m(m)2在[,2]上为增函数

224……2分 ……3分 ……4分

11f(x)minl(m)minl()；f(x)maxl(m)maxl(2)2，

241f(x)值域为[,2].

4（2）实数s,t满足f(s)f(t)0，则4s2s4t2t0， 则(2s2t)222st(2s2t)0，

……6分

1 而a2s2t，b2st，故a22ba0， bg(a)(a2a)， ……7分

21 由题意，b0,a0，则(a2a)0，故a1， ……8分

22s2t2 又22442()，

2a2即a，故a2，当且仅当st时取得等号， ……9分

2stst综上：1a2.

（3）8s8t(2s2t)(4s2s2t4t)a(ab)

……10分

11132a(1,2] ……12分 a(aa2a)a3a，

222213 令h(a)a3a2,a(1,2]，

223a23 h'(a)3aa(a2)0当a(1,2]恒成立， ……14分

22故h(a)在a(1,2]单调递增，h(a)(h(1),h(2)]，故8s8t(1,2]. ……16分

【说明】本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考查换元法、划归思想；考查运算变形能力. 20. 解：（1）设{bn}的公差为d，由题意：数列{bn}的前几项为：

b1a11,b2,b3a2,b4,b5,b6a3,b7,b8,b9,b10a419 ……2分

a4为{bn}的第10项，则b10b19d， ……4分 d2，而b11，

……5分

故数列{bn}的通项公式为bn12(n1)2n1. ……6分 （2）由2Snbn（,为常数），

得2Sn(bn)2bn22bn2，……① ……7分 当n1得：2122，……②

当n2时，2Sn1bn122bn12， ……③

①-③得2bnbn2bn122(bnbn1)， ……8分

则2bnd(bnbn1)2dd(2bnd)2d， ……9分 若d0，则bnb11，代入④式，得20，不成立； ……10分

（法一）当n2，(22d)bn2dd2常数……④恒成立，又{bn}为正项等差数列，

22d0,1当d0时，bn不为常数，则得， ……11分 d1,22dd0,2代入②式，得

1

. ……12分 4

（法二）2bnd(2bnd)2d,(22d)bn2dd2，即(22d)[b1(n1)d]2dd2，

则2d(1d)n2(1d)22dd2对n≥2恒成立，

d1,4d(1d)2(1d)22dd2,令n2,3，得 解得1 ……11分 22,6d(1d)2(1d)2dd,2【或者:2d(1d)n2(1d)22dd2常数，则2d(1d)0，得d1，

1 当d1时，代入上式得,】

2代入②式，得

1

. ……12分 4

（法三）由2bnd(bnbn1)2d(n2)，……④

得2bn1d(bn1bn2)2d(n3)，……⑤

1④-⑤，得2d2d2，d1， 代入上式得,

2代入②式，得

……11分

1

. ……12分 4

所以等差数列{bn}的首项为b11，公差为d1，则bnn. ……13分

设{an}中的第n项为数列{bn}中的第k项，则an前面共有{an}的n1项，又插入了

n(n1)n2nn(n1)项，则：k(n1)…15分 1123(n1)222n2n故anbkk. ……16分

2【说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力.

第Ⅱ卷理科附加卷

11021.B解：MN =202010=2100， ……4分 210xx2， ……6分 1xx 即在矩阵MN变换下2yy02y2y x12x,y2y， 代入得：

12ysin2x， 即曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin2x．21.C解：（1）由 sin(π3)6 ，得:(132sin3cos)6

y3x12，即3xy120. 圆的方程为x2y2100. （2）d6,r10，

弦长l21003616. 22. 解：设T(x,y),A(x20,y0)，则4x0y010，① 又M(2,0)，由AT2TM得(xx0,yy0)2(2x,0y)， x03x4,y03y， 代入①式得4(3x4)23y10，即为所求轨迹方程. 23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0),M(0,1,12)， （1）证明：因为AP(0,0,1),DC(0,1,0)，故APDC0,所以APDC，由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD，又DC面PCD，故平面PAD面PCD. （2）因AC(1,1,0),PB(0,2,1),|AC|2,|PB|5,ACPB2,

cosAC,PBACPB|AC||PB|105. ……8分

……10分

……4分 ……6分

……10分

……2分

……5分

……7分

……10分 ……1分

……4分

……7分

（3）设平面AMC的一个法向量为n1(x1,y1,z1)，

则n,y111AM，n1AM(x11,z1)(0,1,2)y12z10，

又n1AC，n1AC(x1,y1,z1)(1,1,0)x1y10， 取x1，得yz111,12，故n1(1,1,2)， 同理可得面BMC的一个法向量为n2(1,1,2)，

cosnn1n211421,n2n， 1n2663 平面AMC与平面BMC所成二面角（锐角）的余弦值为

23.

10分 ……