Maple在高等代数实验教学中的应用探讨——以一种多项式因式分解方法为例

第３２卷第５期　玉林师范学院学报（自然科学）　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．５　兰　生　』　ＮＡＬ　ＯＦ　ＹＵＬＩＮ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｍａｐ　ｌ　ｅ在高等代数实验教学中的应用探讨　——以一种多项式因式分解方法为例　口李治强’，梁燕来　，胡源艳　，易亚利　（１．玉林师范学院计算机科学与工程学院，广西玉林５３７０００；２．玉林师范学院数学与信息　科学学院，广西玉林５３７０００）　［摘　要］结合多项式因式分解实例，基于Ｈａｐ］ｅ软件来求解高等代数实验教学中的问题，如　Ｎｅｗｔｏｎ前差分插值多项式、多项式除法、因式判断、最大公因数等．逐步培养学生利用计算机来　分析和解决代数几何有关问题，提高学生ｍａｐ］ｅ编程能力．　【关键词】Ｍａｐｌｅ；数学实验；多项式；编程能力　［中图分类号］Ｇ６４２．４［文献标识码］Ａ［文章编号］１００４—４６７１（２０１１）０５—００３２—０５　圜　１算法概述　学实验是未来科学不可缺少的方法之一，对数值处理有着非常重要的作用．在培养学生的教学过　调试，会综合利用Ｍａｐｌｅ语言解决科学计算的问题，利用Ｍａｐｌｅ的数值处理功能，培养和提高学　程中，了解Ｍａｐｉｅ语言的数据结构、语法及基本数学运算等基础，学￣Ｍａｐｌｅ语言的函数编写和　生的编程能力．提高学生运用数学工具解决实际问题的能力．本文仅介绍利用数学软件Ｍａｐｌｅ进行多项式处　理的一种方法，并用来辅助高等代数定性分析教学，以及提高学生的Ｍａｐｌｅ编程能力．　本文基于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ因式分解的基本思想ｆ１】：在有理数域内，任何ｎ次多项式都能经有限此算术运算　分解为不可约多项式的乘积．设ｆ（Ｘ）为ｎ次整系数多项式且ｆ（ｘ）＝ｇ（Ｘ）ｑ（Ｘ），则适当调整系数后，可使ｆ（ｘ）　的因式ｇ（Ｘ）、ｑ（Ｘ）也为整系数多项式．对于整数ａ，等式ｆ（ａ）＝ｇ（ａ）ｑ（ａ）中的ｇ（ａ）的数值必为ｆ（ａ）的因数，　由于ｆ（ａ）的因数是有限个，所以只能得到有限个ｇ（ａ）；设ｆ（Ｘ）有ｋ次因式ｇ（Ｘ），ｆ（Ｘ）在某ｋ＋１个点Ｘ　、　Ｘ　、…、ｘ　处的值分别为ｆ（Ｘ。）、ｆ（Ｘ　）、…、ｆ（ｘ　），再对ｆ（Ｘｉ）（其中ｉ：Ｏ，１，…，ｋ）进行因式分解，所得的因　数个数为Ｐｉ（其中ｉ＝Ｏ，１，…，ｋ），从ｆ（ｘｉ）的因数集中取一个因数，一共有　牛顿插值公式构造多项式ｇ（Ｘ），判断所求多项式ｇ（ｘ）是否为ｆ（ｘ）的因式．　若ｇ（ｘ）为整系数多项式且最高项系数不为０，￣１］ｆｌａｇ＝ｌ；否￣ｌＪｆｌａｇ＝Ｏ．若ｆｌａｇ＝ｌ并验证出ｇ（ｘ）是ｆ（ｘ）　・・　种不同的方法，利用　的因式，则输出ｇ（Ｘ），ｆａｅｍｏｎ＝ｌ，ｆ（Ｘ）：ｆ（Ｘ）／ｇ（Ｘ）（即令ｎ＝ｎ—ｋ）；否则继续构造．若构造的ｇ（ｘ）的次数　ｋ＞［ｎ／２］且ｆａｃｍｏｍ＝Ｏ，则ｆ（Ｘ）是不可约多项式：若构造的ｇ（Ｘ）的次数ｋ＞［ｎ／２］且ｆａｅｍｏｍ＝１，则输出ｆ（Ｘ）的最　后一个因式ｆ（ｘ），否则继续构造．其流程图如下：　［ｇｚ稿日期］２０１卜ｏ９—１４　［基金项目］２０１０年新世纪广西高等教育教改工程项目“高等代数与解析几何系列课程仿真模拟实验体系的构建与实　践”，编号２０１０ＪＧＢ０６８。　［作者简介］李治强，男，玉林师范学院计算机科学与工程学院讲师，主要研究方向：算法分析与设计、数据挖掘。　３２　李治强等　Ｍａｐｌｅ在高等代数实验教学中的应用探讨——以一种多项式因式分解方法为例　２算法分析及实现　２．１　Ｎｅｗｔｏｎ向前差分插值算法　在Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ提供的一元多项式因式分解的构造算法中，利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多　项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但计算量大、没有承袭性质，当需要增加差值节点时，　不得不重新计算所有插值基函数，当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生　变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，本文用牛顿向前差分差值算法Ｉ２　代替拉格朗日　算法．　由牛顿插值公式知，为了求得ｋ次因式ｇ（Ｘ），须选取Ｋ＋１个整数点Ｘ。，Ｘ　，…，ｘ　及其函数值。　通常ｆ　ｘｉ　ｌ较小时ｆ（ｘｉ）的值较小，ｇ（ｘｉ）的可取范围较小，于是当ｋ为奇数时取ｘ　＝卜（ｋ＋１）／２，Ｘｌ＝２一　（ｋ＋１）／２，…，Ｘｋ＝（ｋ＋１）／２，当ｋ为偶数时取Ｘ。＝－ｋ／２，Ｘｌ＝卜ｋ／２，…，Ｘｋ＝ｋ／２．　３３　ｆ　２０１１年　玉林师范学院学报　第５期　函数ｆ（ｘｉ）的因数个数为Ｐｉ（其中ｉ＝Ｏ…ｋ），并存放在数组ｂ中，则有ｂ［１］，ｂ［２］，ｂ［曩—■■曩一　ｐ。］；ｂ［Ｐｏ＋１］，　ｂ［ｐ。＋２］，ｂ［ｐ。＋ｐ１］；…；ｂ［ｐＨ＋１］，ｂ［Ｐｋ＿ｌ＋２］，ｂ［ｐｋ＿ｌ＋ｐ　］，则共有　・・　种不同的取法，可用ｋ＋１个循　环遍历每种可能．　牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：　＾　）＝，（Ｘｏ）＋厂（Ｘｏ，Ｘ１）（　—　）＋，（Ｘｏ，．　１，Ｘ２）（　—‰）　—　１）＋…＋，（ｘ０，Ｘ１，…，Ｘｋ）（　—粕）（　＿　１）…（　＿　一１）　其中每一项的系数表示为：ｆ（ｘｏ，　…，　）＝　娶　．　根据公式需计算的步骤如下：　ｆ　１、计算，（Ｘｏ），ｆ（ｘ　），…，ｆ（ｘｋ）　｛．Ｉ　２．、计算ｆ．…　（Ｘｏ　），，（　１，Ｘ２），…，ｆ（ｘｋ－ｌ，Ｘｋ）　ｌ　计算ｆ（ｘｏ，　一，　一１），，（　…，ｘｋ一１Ｘｋ）　【ｎ＋ｌ、计算，（ｘ０，　一，　）　牛顿差值公式ｍａｐｌｅ代码如下：　＞Ｎｅｗｔｏｎｉｎｓｅｒｔ：　ｐｒ０ｃ（ｘ：：ｐｏｓｉｎｔ，ｆ：：ｐｏｓｉｎｔ，ｎ：：ｐｏｓｉｎｔ，ｔ：：ｐｏｓｉｎｔ）　ｌｏｃａｌ　ｚ：＝ｑ０】，ｓ：　１；　ｌｏｃａｌｉ，ｊ，ｋ；　ｆｏｒ　ｉ　ｆｒｏｍ　１ｔｏ　ｎ一１　ｄｏ　ｏｆｒｊ　ｆｒｏｍ　ｎ－１　ｔｏ　ｉ　ｄｏ　ｆＩｊ】：＝㈣一１卜ｆＩｊ】）／（ＸＤ一１卜ｘＤ】）ｏｄ；／／计算每一项项系数　ｓ：　１：　ｏｆｒ　ｋ　ｒｆｏｍ　０　ｔｏ　ｉ－１　ｄｏ　ｓ：＝ｓ　（ｔ—ｘ［ｋ】）ｏｄ；　／／各项相加　ｚ：＝ｚ＋ｓ　删；　ｏｄ；　ｃｏｌｌｅｃｔ（ｚ，Ｘ，ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ）；　／／合并多项式系数　ｅｎｄ　ｐｒｏｃ；　２．２多项式除法与因式判断　计算ｆ除以ｇ的余式，将商式赋值给ｑ的命令格式为：ｒｅｍ（ｆ，Ｐ，Ｘ，’ｑ’）：　计算ｆ除以Ｐ的商式，将余式赋值给ｒ的命令格式为：ｑｕｏ（ｆ，Ｐ，ｘ，’ｒ’）：　余式和商式满足：ｆ＝ｐ　ｑ＋ｒ，其中ｄｅｇｒｅｅ（ｒ，ｘ）＜ｄｅｇｒｅｅ（Ｐ，Ｘ）　＞　＝ｘ　５＋ｘ　３＋ｘ：／／多项式由名称、整数和其他Ｍａｐｌｅ值，通过＋、一、木和　等组合而成．　＞ｒｅｍ（ｆ，ｘ＋ｌ，Ｘ，　ｑ）；　＞ｑｕｏ（ｘ　３＋ｘ　２＋ｘ＋１，ｘ一１，Ｘ，’　＞ｉｆｒｅｍ（ｆ，ｇ，Ｘ，’ｑ’）＝０　ｔｈｅｎ　ｐｒｉｎｔｆ（ｇ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆｔｈｅ　ｆａｃｔｏｒｓ”）　ｅｌｓｅ　ｐｒｉｎｆｆ（ｉｆｎｄ　ｃｏｎｔｉｎｕｅ）　ｅｎｄ　ｉｔ２　２．３提取公因数　求系数的最大公因数，使其系数互质，减小因式分解的复杂度．提ｌ￣ｆｑｂ变量ｘ的所有系数并将相应的　ｘ幂存于变量ｔ中：ｃｏｅｆｆｓ（ｐ，Ｘ，’ｔ’）；　＞ａ：＝ｃｏｅｆｆｓ（ｆ，Ｘ，’ｔ’）；　口：＝５，２，３，２，１　＞ｔ＝ａ［１】　ｔ［１］＋ａ［２】　ｔ［２］＋ａ［３】　ｔ［３】＋ａ［４】　ｔ［４］＋ａ［５】　ｔ［５］；　，：＝　＋　＋　十　２．４求多项式系数的最小值　李治强等　Ｍａｐｌｅ；￣Ｅ高等代数实验教学中的应用探讨一以一种多项式因式分解方法为例　＞Ｍｉｎｉｍｕｍ：　ｐｒｏｃ（）　ｌｏｃａｌ　ｒ，ｉ；　ｒ：＝ａｒｇｓ［１］；　ｆｏｒ　ｉ　ｆｒｏｍ　２　ｔｏ　ｎａｒｇｓ　ｄｏ　ｉｆａｒｇｓ［ｉ］＜ｒ　ｔｈｅｎ　ｒ：　ａｒｇｓ［ｉ】　ｅｎｄ　ｉｉｆ　ｏｄ；　ｒ：　ｅｎｄ　ｐｒｏｃ；　＞ｂ：＝Ｍｉｎｉｍｕｍ（ａ）　／／调用过程函数Ｍｉｎｉｍｕｍ　２．５定义数组和求数的因子　求一个数的所有因子，并存在一维数组ｂ中．假设ｂ：＝Ａｒｒａｙ（１．．１００００），ｍａｐｌｅ程序如下：　＞ｐ：　０　＞ｃｏｕｎｔ：　Ｕ：　＞Ｎｕｍｂｅｒｆａｃｔｏｒ：　ｐｒｏｃ（ｘ）　ｌｏｃａｌｉ，ｊ；　ｂ：＝Ａｒｒａｙ（１．．１００００）；　ｏｒｆ　ｉ　ｆｒｏｍ　１　ｔｏ　ｌｆｏｏｒ（ｓｑｒｔ（ｘ））ｄｏ　ｉｆｒｅｍ（ｘ，ｉ）＝０　ｔｈｅｎ　ｄｏ　／／寻找Ｘ的所有因子　／／对数组的第Ｐ个元素赋值为ｉ　ｂ［ｐ】：　ｉ；　ｂ【ｐ＋１】：　一ｉ；　ｂ［ｐ＋２】：　ｘ／ｉ；　ｂ【ｐ＋３】：　一ｘ／ｉ；　ｐ：　ｐ＋４；　ｊ：＿ｊ＋４；　ｅｎｄ　ｄｏ；　ｅｎｄ　ｉｉｆ　ｅｎｄｄｏ；　ｐｃｏｕｎｔ：－＿ｊ；　ｃｏｕｎｔ：＝ｃｏｕｎｔ＋１：　ｅｎｄ　ｐｒｏｃ；　／／记录第ｉ个数的因子个数　３结束语　探讨了利用ｍａｐｌｅ软件进行高等代数实验教学的一个新尝试．在实验教学过程中，了解Ｍａｐｌｅ语言的语　法、函数、程序编写及其调试过程，会综合利用Ｍａｐｌｅ数值处理功能解决高等代数问题．本文仅以一种多　项式因式分解方法为例，探讨了利用Ｍａｐｌｅ进行多项式处理一种方法，并用来辅助高等代数定性分析教　学，逐步培养和提高学生利用ｍａｐｌｅ语言编程能力，以及分析和解决代数几何有关问题的能力．　■　Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍａｐｌｅ　Ｓ　ｏｆｔｗａｒｅ　ｉｎ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ａｌｇｅｂｒａ　Ｅｘｐ　ｅｒｉｍｅｎｔ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　——Ｔａｋｅ　Ａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｓ　ａｎ　Ｅｘａｍｐｌｅ　ＬＩ　Ｚｈｉ—ｑｉａｎｇ　，ＬＩＡＮＧ　Ｙａｎ—ｌａｉ　，ＨＵ　Ｙｕａｎ—ｙａｎ　。ＹＩ　Ｙａ—ｌｉ　ｊ　２０１１年　玉林师范学院学报　第５期　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｙｕｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｕｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５３７０００；２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙｕｆｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｙｕｆｔｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５３７０００）　曩　■■量，　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｆａｃｔｏｒｉｎｇ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅｓｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍａｐｌｅ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｉｎ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　Ａｎａｌｙ　ｔｉｃ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ｓｕｃｈ　ａｓ　Ｎｅｗｔｏｎ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ，　，ｆａｃｔｏｒｉｎｇ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｍｏｓｔ　ｃｏｍｍｏｎ　ｆａｃｔｏｒ．Ｈｏｗ　ｔｏ　ｕｓｅ　ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ｔｏ　ｔｒａｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ａｎｄ　ｐｒｏｂｌｅｍ－　ｓｏｌｖｉｎｇ　ａｂｉｌｉｙ　ｔｇｒａｄｕａｌｌｙ　ｉｓ　ｌｓａｏ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｐｌｅ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｃａｐａｂｉｌｉｔｉｅｓ　【参考文献】　［１］赵振威．中学数学教材教法（第二分册），初等代数研　究［Ｍ］．华东师范大学出版社，１９９０，８３￣８４．法［Ｊ］．西南师范大学学报（自然科学版），２０００，２５（３）：　Ｌ２２１￣２２４．　［２］关冶．数值计算方法［Ｍ］．清华大学出版社，１９８９．　［３］王绍恒，许明春．判断一类最值问题可解性的计算机算　［４］陈志杰．高等代数与解析几何［Ｍ］．北京：高等教育出　版社，２０００．　【责任编辑　谢文海】　（上接第３１页）　养统计学创新型人才的教学改革，提出了建立统计学科教学与科研团队、修正不合理的课程设置、以灵　活的方式设置实验时数的建议．教学实践表明这些建议有利于培养统计学创新型人才．　一　Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　Ｔａｌｅｎｔｓ　ｏＵ　Ｓｈｉ－ｄｅ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙｕｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｙｕｌｔｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５３７０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｃａｒｒｙ　ｍｏｒｅ　ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ　ｓｔａｔｉｓｉｔｃｓ　ｔａｌｅｎｔｓ　ｔｏ　ｓｏｃｉｅｔｙ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｉｔｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｓ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｃｕｌｔｉｖａｔｉｎｇ　ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ｔａｌｅｎｔｓ．　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｕｇｇｅｓｉｔｏｎｓ　ｉｇｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ａｒｅ　ｈｅｌｐｆｕｌ　ｔｏ　ｃｕｌｔｉｖａｔｅ　ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ｔｌａｅｎｕ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ；ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ　ｔｌａｅｎｔ；ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｆｏｒｍ　【参考文献】　［１］吕洁华，姜钰．基于创新型人才培养的统计学教学模式　［５］邹永红．统计学本科教育中的创新人才培养［Ｊ］．统计教　育，２００７，（４）：３１—３２．　构建［Ｊ］．统计与咨询，２０１０，（２）：２９—３０．　［２］孙亚静．创新型人才培养模式下实践教学改革研究［Ｊ］．　统计教育，２００７，（１Ｏ）：２９—３０．　［６］曲波，郭海强，任继萍，等．有利于科研创新能力培　养的卫生统计教学方法探讨［Ｊ］．中国高等医学教育，　２００６，（６）：６５—６６．　［３］余华银，宋马林．互动式教学：培养统计创新型人才的　有效途径［－Ｉ］．安徽职业技术学院学报，２００８，７（３）：７３—７７．　『４１王文博．面向２１世纪中国高等统计教育发展的基本趋势　与战略选择［Ｊ］．统计与信息论坛，２０００，１５（２）：１０—１３．　［７］吴喜之．统计学：从数据到结论［Ｍ］．北京：中国统计出　版社，２００８．　【责任编辑　潘琰佩】　３６