1,x11、已知函数f(x)ax2x1,g(x)x,1x1,若函数yf(x)g(x)恰有两个
1,x1零点,则实数a的取值范围为( ) A. (0,) B. (,0)【答案】B
1(0,1) C. (,)(1,) D. (,0)(0,2)
2|log5(1x)|x112、已知函数f(x),则方程f(x2)a(aR)的实数根个2x(x2)2x1数不可能为( )
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A
3、已知函数f(x)2x|xa|1有三个不同的零点,则实数a的取值范围为 【答案】(,2)
11325、已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)f(x)1和f(1x)f(1x)4对任意的
4、设{,,1,2,3},若f(x)x为偶函数,则
xR都成立,若当x[0,1]时,f(x)的值域为[1,2],则当x[100,100]时,函数f(x)的值域为 【答案】[2100,2100] 6、已知函数f(x)22,当x(0,1]时,f(x)x2,若在区间[1,1]内
f(x1)g(x)f(x)t(x1)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是 【答案】0,
217、已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),且3,若向量c满足
|cab|1,则|c|的最大值为
【答案】31
x2y21上运动,F1、F2是双曲线C的左、右焦点,则8、设点M、N均在双曲线C:43
1
MF1MF22MN的最小值为( )
(A)23. (B)4 . (C) 27. (D)以上都不对. 【答案】B
9、魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) (A)16 (B)163 (C)【答案】C
10、如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为4,记ACD11B11F若AEBF,则此棱柱的体积为
,BC116128 (D) 33B1CE,
【答案】322
11、设函数f(x)2x1的反函数为f1(x),g(x)log4(3x1). (1)若f1(x)g(x),求x的取值范围D; (2)在(1)的条件下,设H(x)g(x)11f(x),当xD时,函数H(x)的图像与直线 2ya有公共点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f1(x)log2(x1),(x>–1)
x10不等式为log2(x1)log4(3x1),3x10
(x1)23x1解得0x1,D[0,1]. (2)H(x)log4(3x1)113x1log2(x1)log2(0x1), 22x1H(x)12log2(3), 2x1 2
2单调递增,H(x)单调递增, x111H(x)[0,],因此当a[0,]时满足条件.
22当x[0,1]时,3
12、如图所示,某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为Ai(i1,2,3,4).
(1)记OAia(a0),当A1、A2、A3在同一水平面内时,求OA1与平面A1A2A3所成 角的大小(结果用反三角函数值表示);
2(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为32cm,要用某种线型材料复制100
枚这种“钉”(耗损忽略不计),共需要该种材料多少米?
【解析】(1)根据题意,可知组成该种钉的四条线段长必相等,且两两所成的角相等,A1,A2,A3,A4两两联结,后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体
延长A4O交平面A1A2A3于B,则A4B平面A1A2A3,连接
A1B,
则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影,所以OA1B即为OA1与平 面A1A2A3所成角。 设A1A4l,则A1B2A4O
A3
32l在RTA4A1B中,A1A4A1B2A4B2, 32A1A2B 3即l3l222623a,故ala,所以l33A1B32622aa 33322A1B22(其中0OA1B),所以OA1Barccos 32OA13cosOA1B 3
故OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos22 3(2)
1326272A1A232 ……8分 根据(1)可得A1A2a,所以a4cm
2223
1,共需材料1004a4a24216m…13分.答:复制100枚这种“钉”
10024216米
13、已知数列{an}、{bn}均为各项都不相等的数列,Sn为{an}的前n项和,
an1bnSn1(nN*).
(1)若a11,bnn,求a4的值; 21}为等比数列; 1q(2)若{an}是公比为q(q1)的等比数列,求证:数列{bn(3)若{an}的各项都不为零,{bn}是公差为d的等差数列,求证:a2、a3、、an、 成等差数列的充要条件是d【解析】(1)由a11,bn1
. 2
n,知a24,a36,a48. 2(2)因为an1bnSn1①, 所以当n2时,anbn1Sn11②, ①-②得,当n2时,an1bnanbn1an③, 所以bnana11bn1nbn1, an1an1qq所以bn111bn1, 1qq1q10(否则bn为常数数列与题意不符), 1q又因为bn所以{bn1} 为等比数列。 1q4
(3)因为bn为公差为d的等差数列,所以由③得,当n2时,an1bnanbndan, 即an1anbn1dan,因为an,bn各项均不相等,所以an1an0,1d0,
bnan所以当n2时,④, 1dan1anbn1an1当n3时,⑤, 1danan1由④-⑤,得当n3时
anan1bbdnn1⑥,
an1ananan11d1d先证充分性:即由d因为d
1证明a2,a3,2,an,成等差数列,
anan111, ,由⑥得aaaa2n1nnn1anan11所以当n3时,,
an1ananan1又an0,所以an1ananan1 即a2,a3,,an,成等差数列.
再证必要性:即由a2,a3,因为a2,a3,所以由⑥得,
,an,成等差数列证明d1. 2,an,成等差数列,所以当n3时,an1ananan1,
anan1anan1d1
an1ananan1anan1anan11d所以d1, 2,an,所以
a2,a3,d
成等差数列的充要条件是
12.
x2y214、已知椭圆:221(ab0),B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点,F1ab是椭圆左焦点,P是椭圆上异于点B1、B2的点,△B1F1B2是边长为4的等边三角形.
5
(1)写出椭圆的标准方程;
(3) 当直线PB1的一个方向向量是(1,1)时,求以PB1为直径的圆的标准方程;
(3)设点R满足:RB1PB1,RB2PB2,求证:△PB1B2与△RB1B2面积之比为定值.
x2y21 【解析】(1)
164(2)由题意,得:直线PB1的方程为yx2
16xyx22x10252,由x,得: y1y12y621645故所求圆的圆心为(,),半径为
845582 542128
525(3) 设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k',则直线PB1的方程为ykx2.
所以所求圆的方程为:(x)(y)285 由RB1PB1,直线RB1的方程为xk(y2)0.
2y2x 将ykx2代入1,得4k21x216kx0, 164k. 因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以xP1624k1 所以k'yP21 xP4k 由RB2PB2,所以直线RB2的方程为y4kx2. xk(y2)0k. 由 ,得xR424k1y4kx2k162SPB1B2x4k14. 所以0SRB1B2xR4k4k21
x2y215、 已知双曲线:221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,左、右两顶
ab点分别是A1、A2,弦 AB和CD所在直线分别平行于x轴与 y 轴,线段BA的延长线与线段CD相交于点 P(如图).
6
(1)若d(2,3)是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角; (2)若|PA|1,|PB|5 ,|PC|2,|PD|4,试求双曲线的方程; (3)在(1)的条件下,且|A1A2|4,点C与双曲线的顶点不重合,直线CA1和直线CA2........与直线l:x1分别相交于点M和N,试问:以线段MN为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.
x2y2(1)双曲线221的渐近线方程为: 【解析】
ab即bxay0,所以
b3 ,a2从而tan23tan2,2tan1tan243, 22所以
arctan43.
(2)设 P(xP,yP),则由条件知:
11xP(PBPA)PA(PBPA)3,
22
yP11(PCPD)PC(PDPC)1223.
,即
P(所以A(2,1),C(3,3) ,
41a2b211815代入双曲线方程知:2,2 99a27b27221ab8x25y21 2727x2y2(3)因为Ab3,所以的方程为: 1,1A24,所以a2,由(1)知,
43x02y02令C(x0,y0),所以1,
43CA1:yy03y0(x2),令x1,所以M(1,), x02x02 7
CA2:yy0y0(x2),令x1,所以N(1,), x02x022故以MN为直径的圆的方程为:(x1)(y3y0y0)(y)0, x02x02y03y03y02即(x1)y()y20,
x02x02x0422即(x1)y(22y03y09)y0, x02x024若以MN为直径的圆恒经过定点(x,y)
y03x1于是9222 (x1)y04y0所以圆过x轴上两个定点(,0)和(,0)
16、已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上,依次取点A1,A2,A3,并在第一象限内的抛物线y25212,An(nN*),
3,使得△Ak1BkAkx上依次取点B1,B2,B3,,Bn(nN*)
2(kN*)都为等边三角形,其中A0为坐标原点,设第n个三角形的边长为f(n). (1)求f(1),f(2),并猜想f(n);(不要求证明)
(2)令an9f(n)8,记tm为数列{an}中落在区间(9m,92m)内的项的个数,设数列{tm}
的前m项和为Sm,试问是否存在实数,使得2Sm对任意mN*恒成立?若存在,
求出的取值范围;若不存在,说明理由; (3)已知数列{bn}满足:b121cn1222,bn1,数列{cn}满足: 11bn22c11,cn1cn,求证:bnf(2n1)cn.
【解析】(1)f(1)1,f(2)2 猜想f(n)n (2)an9n8
由9m9n892m9m188n92m1 99n9m11,9m12,,92m1tm92m19m1 Sm(91)(939)(9592)(92m19m1)
8
(9939592m1)(19929m1)9(192m)(19m)92m1109m1 21919802Sm对任意mN*恒成立2(Sm)minS183
(3)b1sin4,记bnsinn,14,则sinn121cosnsinn 22n2n1(nN*)
c1tann4,记cntann,14,则tann1secn1tann
tann22n1(nN*)
当x(0,2)时,sinxxtanx可知: bnsin
2n12n1f(2)cntann12n1,
c、17、若存在常数k(kN*,、使得无穷数列{an}满足an1k2)d,
adncannN*k,
nN*k则称数列{an}为“数列”,已知数列{bn}为“数列”.
(1)若数列{bn}中,b11,k3,d4,c0,试求b2019的值;
(2)若数列{bn}中,b12,k4,d2,c1,记数列{bn}的前n项和为Sn,若不 等式S4n3n对nN*恒成立,求实数的取值范围;
(3)若{bn}为等比数列,且首项为b,试写出所有满足条件的{bn},并说明理由.
【解析】(1)因为数列bn是“数列”,且b11,k3、d4、c0,
所以当n1,nN时,b3n10,
又
2016672N*,即b20170, 3 b2018b2017d044,b2019b2018d448 (2)因为数列bn是“数列”,且b12,k4、d2、c1
9
b4n1b4n3cb4nb4n31b4n1db4n3b4n22db4n3b4n33db4n33d6则数列前4n项中的项b4n3是以2为首项,6为公差的得差数列,
易知b4n中删掉含有b4n3的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列,
S4n(b1b5b4n3)b2b3b4b6b7b82nb4n6b4n5b4n4+b4n2b4n1b4n
n(n1)3n(3n1)6(3n)2212n28n 22nS4n12n28nS4nS4n3,n,设cnn,则cnmax, n33312(n1)28(n1)12n28n24n28n20cn1cn
3n13n3n1当n1时,24n28n200,c1c2;当n2,nN时,24n28n200,
cn1cn,∴c1c2c3即cnmaxc2,∴cnmaxc264, 964 9bn1q,由等比数列的bn(3)因为bn 既是“数列”又是等比数列,设bn的公比为
n1通项公式有bnbq,
km1当mN时,bkm2bkm1d,即bqbqkmbqkmq1d
① q1,则d0,bnb; ② q1,则qn1kmdkm,则q为常数,则q1,k为偶数,d2b,
q1bbn1b;
n1经检验,满足条件的bn的通项公式为bnb或bn1
b.
10
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