关于n维情形的Menelaus定理与Ceva定理

第２８卷第１期　太原科技大学学报　Ｖｏ１．２８№１　２００７年２月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＡＩＹＵＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｆｅｂ．２００７　文章编号：１６７３－２０５７（２００７）０１－００５７－０３　关于　维情形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理　杨世国　，余静　（１．安徽教育学院数学系，合肥２３００６１；２．安徽师范大学数学系，安徽芜湖２４１０００）　摘要：利用度量几何的理论与方法，研究了ｎ维欧氏空间　中ｎ维单形的Ｍｅ—　ｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理问题，建立了ｎ维情形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理，作为其特例　得到三角形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理。　关键词：单形；超平面；重心坐标　中图分类号：Ｏ１８４　文献标识码：Ａ　＝１引言及主要结果　０，１，２），其中约定Ａ，毒Ａ。，众所熟知在欧氏平面　几何中成立著名的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理…．　设三角形Ａ０Ａ。Ａ２的边Ａ　Ａ…（　＝０，１，２）上点　Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理　三点Ａ　０，Ａ　ｌ，Ａ　２共线的充　或其延长线上的点Ａ　分有向线段Ａ　Ａ　的比为ｋ　（ｉ　分必要必要条件是ｋｏｋ。ｋ　：一１．　收稿日期：２００６－０１－２２　基金项目：安徽省学术技术带头人科研项目（２００５　ＨＢＺ０５），安徽省高校省级重点科研项目（２００６ＫＪ０６７Ａ）　作者简介：杨世国（１９５２一），男，教授，主要从事度量几何研究。　［７］　ＹＯＵ・ＰＥＮＧ　ＣＨＥＮＧ，ＣＨＵＮ—ＨＯＮＧ　ＸＩＥ．Ｂｌｏｗｕｐ　ｆｏｒ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ａｎｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａ－ｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｓｏｕｒｃｅ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　Ｓｉｎｉｃａ　２００４，４７（１）：４１－５０．　［８］ＳＵＮ　ＲＥＮ・ＢＩＮ．Ｑｕｅｎｃｈｉｎｇ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｕｒｅ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．１９９９，１５（４）：９５－９８．　［９］　ＹＥ　ＱＩ－ＸＩＡＯ，ＬＩ　ＺＨＥＮＧ・ＹＵＡＮ．Ｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１　９９０．　［１０］ＦＲＩＥＤＭＡＮ　Ａ，（夏宗伟译）．Ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｔｙｐｅ［Ｍ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１９８４．　Ｔｈｅ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｂｌｏｗｕｐ　ｏｆ　ａ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｉ－ｙｕａｎ．ＬＩ　Ｊｕｎ－ｌｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｎ　ｆｒｏｍ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｕｎｄｅｒ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ　ｂｌｏｗｕｐ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｎ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｉｍｅ　Ｔ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，　ｈｔｅ　ｕｐｐｅｒ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　Ｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　０　Ａｕ　ｌ　ｌａＹｅ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｉｎｉｔｉｌａ—ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｂｌｏｗｕｐ　维普资讯 http://www.cqvip.com ５８　太原科技大学学报　２００７年　Ｃｅｖａ定理…　三条直线Ａ０Ａ　Ｉ，ＡＩＡ　２，Ａ２Ａ　０，交　于一点的充分必要条件是ｋｏｋ，ｋｓ＝１．　设，ｌ维欧氏空间　中，ｌ维单形　的顶点为Ａ。，　Ａ。，…，Ａ　，记Ａ川；Ａ。。本文讨论了，ｌ维单形的　Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理，建立了　中，ｌ维情形的　Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理。　定理ｌ设／ｔ＇维单形　的棱Ａ　Ａ　上或其延长　Ａ　＝　（　０＇ｌ，…，ｎ）（４）　引理３　设Ｅ　中点Ｐ　关于坐标单形　的规　范重心坐标为（Ａ　，Ａ　…，Ａ　）（ｉ＝１，２，…，，１），那　么过点Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ　的，ｌ一１维超平面的重心坐标　方程为：　‰　０　线上的点Ａ　分线段ＡｉＡ　的比为ｋ　（　＝０，ｌ，…，　，１），那么，ｌ＋１个点Ａ　。，Ａ　。，…，Ａ　共，ｌ—ｌ维超平　面的充分必要条件是：　Ｈ　ｋ　＝（一１）”。　（１）　特别，ｌ＝２时，定理ｌ即为三角形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ　定理，因此定理ｌ可视为，ｌ维情形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定　理。　定理２设，ｌ维单形　的棱Ａ　Ａ　上或其延长　线上的点Ａ　分线段Ａ　Ａ　的比为　（ｉ＝０，ｌ，…，　，１），过，１个点Ａ０，…，Ａｆ－ｌ，Ａｆ＋ｌ，…，Ａ　，Ａ　‘的，ｌ—ｌ维　超平面为　（ｆ＝０，ｌ，…，，１），那么这，ｌ＋１个，ｌ—ｌ维　平面　，仃。，…，仃　交于一点的充分必要条件是：　一　～　～　一　Ｈ　ｋ　＝ｌ　（２）　‰　特别当ｔ／，＝２时，定理２即为三角形的Ｃｅｖａ定理，因　此定理２可视为，ｌ维情形的Ｃｅｖａ定理。　２引理与定理的证明　为了证明上面的定理ｌ与定理２，需引用下面　几个定理。　引理ｌ［２】设点　关于坐标单形ｔｒ　的重心坐　标为（　，胁Ｉ，…，　）（ｉ＝０，ｌ，…，，１），那么，ｌ＋１个　点　。，　。，…，　在某个，ｌ—ｌ维超平面上的充分必　要条件是：　∞　Ｉｔｏｌ　１０　ＩＩ　＝０　（３）　哪　Ｉ　引理２　设Ｅ“中两点Ａ，　关于坐标单形ｔｉｔ　的规范重心坐标分别为（ａｏ，ａ。，…，　）与（　，卢。，　…，　），点Ｐ为线段或其延长线上的点，点Ｐ分线段　ＡＢ的比为后，点Ｐ关于坐标单形ｔｉｔ　的规范重心坐标　为（Ａ。，Ａ　一，Ａ　），则有：　Ａ１０　ＡＩＩ　＝０　（５）　Ａ加　Ａ　Ｉ　定理１的证明　坐标单形　的诸顶点关于坐标　单形　的规范重心坐标依次为Ａ。（１，０，０，…，０），　ＡＩ（０，１，０，…，０），…，Ａ　（０，…，０，ｌ，０，…，０），…，　Ａ　（０，０，０，…，１）由引理２可知棱Ａ　Ａ　或其延长线上　的点　关于坐标单形　的规范重心坐标为：　ｆ（０，…，０，　，　，０，…，０）　（ｉ＝０，１，…，，ｌ一１），　（　，０，…，０，　）　由引理１可知，ｌ＋１个点Ａ　。，Ａ　。，…，Ａ　在同一个，ｌ　一１维超平面上的充分必要条件是：　０　０…０　０　０　０…０　０　ｏ　０　…ｏ　ｏ　＝０　；　；　；　；　；　；　；　０　０　０　０…　ｏ　ｏ　ｏ…ｏ　１　０　０　…０　０　０　１　ｋ１　０　…０　０　即：　＿Ｌ＿　０　０　１　…０　０　兀（ｉ　１＋　）　０　０　０　０　…　１　—Ｉ　０　０　０　…０　１　［（一１）　Ｈｋｉ＝０　　＋（一１）　］＝０　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第１期　杨世国，等：关于凡维情形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理　的充分必要条件是齐次线性方程组：　ｋｏｘｏ一　Ｊ＝０　ｋｌ　ｌ一　２　０　５９　由此可得凡＋１个点Ａ　。，Ａ　。，Ａ　，…，Ａ　在同一个凡　一ｌ维超平面上的充分必要条件是：　Ｈ　ｋ　＝（一１）　．　ｉ＝０　后２　２一　３＝０　（６）　定理２的证明　由引理３可知，过凡个点Ａ　，　Ａ，，…，Ａ　，Ａ　。的凡一ｌ维超平面仃。的方程为：　Ｏ　ｌ　２　…　ｎ—Ｉ　ｎ　ｋｎｉ　一ｌ一　－＝０　ｋｎｘ　一　ｏ＝０　１＋ｋｏ　１＋ｋｏ　０　０　０ｌ　……　０　０　０　＝有非零解，由线性方程组理论可知　引，齐次线性方　０　０　程组（６）有非零解的充分必要条件是：　０　０　０　…　０　ｌ　＝或　即　南。鬈。一　－南－－ｏ刈　　ｑｌ＂ｏ：ｋｏｘｏ一　ｌ＝０　－　０　０　０；０　０；０　０　同理可求过凡个点Ａ。，Ａ，，…，Ａ　，Ａ　。的凡一ｌ维超平　面仃。的重心坐标方程为：　仃ｌ：ｋｌ　ｌ一　２＝０　０　（４）　即：　．　也；；０　０　０　０　兀ｋ　＋（一１）　”　＝０　Ｉ＝０　过凡个点Ａｏ，Ａ。，Ａ　，…，Ａ　，Ａ　２的凡一ｌ维超平面仃２　的重心坐标方程为：　仃２：ｋ２ｘ２一　３　……０　０　亦即：　　—兀ｋ　＝ｌ　０　０　０　０众所熟知，三角形的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定　理在欧氏平面几何中有着广泛的应用，同样本文所　；后０　建立的凡维Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理与Ｃｅｖａ定理在凡维欧氏　一　，　－过点Ａ。，…，Ａ　，Ａ　的凡一ｌ维超平面仃　的重心　坐标方程为：仃　：ｋｎ－Ｉ　一　＝０　０　０　０几何中有广泛的应用，；　一有兴趣的读者可探讨它们的　ｌ　过点Ａ。，Ａ　，…，Ａ　，Ａ　的凡一ｌ维超平面仃　的重心　坐标方程为：仃　：ｋｎｘ　一　ｏ＝０　凡＋１个凡一ｌ维超平面ｑｌ＂ｏ，仃　一，仃　交于一点　应用，此不赘述。另外，文献［４］中曾建立另一种形　式的凡维Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理。　参考文献：　［１］　Ｃｏｘｅｔｅｒ　Ｈ　Ｓ　Ｍ．几何学的新探索［Ｍ］．陈维桓译，北京：北京大学出版社，１９８６．６－７４．　［２］　沈文选．单形论导引［Ｍ］．长沙：湖南大学出版社，２０００．１２６－１４４．　［３］　张远达．线性代数原理［Ｍ］．上海：上海教育出版社，１９８０．９７－１０３．　［４］　张晗方．Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理的高维推广［Ｊ］．数学通报，１９８３，（６）：２７＿２．　，ｌ－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｍｅｎｅｌａｕｓ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　Ｃｅｖａ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ＹＡＮＧ　Ｓｈｉ－ｇｕｏ　．ＹＵ　Ｊｉｎｇ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈａｍａｔｉｃｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｈｅｆｅｉ　２３００６１，Ｃｈｉｎａ；　２　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈａｍａｔｉｃｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｈｕｉ　Ｗｕｈｕ　２４１０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｍｅｔｒｉｃ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｎ　Ｍｅｎｅｌａｕｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　Ｃｅｖａ　ｈｅｏ－ｔ　ｅｍ　ｆｒｏｒ凡・ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｉｍｐｌｅｘ　ｉｎ　ｈｅ凡・ｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｓｐａｃｅ　Ｊ酽．Ｔｈｅ凡・ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｍｅｎｅｌａｕｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　Ｃｅｖａ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｒｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ａｓ　ａ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅ，ｔｈｅ　Ｍｅｎｅｌａｕｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　Ｃｅｖａ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｒ　ｆａ　ｔｒｉａｎｇｌｅ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｉｍｐｌｅｘ，ｈｙｐｅｒｐｌａｎｅ，ｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ