2020届安徽省滁州市定远县重点中学高三5月模拟数学(理)试题(解析版)

理科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷 选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.集合A.

B.

，

,则

D.

C. ，其中为虚数单位，则

2.若复数满足

A. B. C. 1 D. 2

3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是

A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 C. 两班的英语平均分分差最大 4.已知各项均不相等的等比数列等于

B. 甲班的文科综合成绩强于乙班 D. 两班的语文平均分分差最小

成等差数列，设为数列

的前n项和，则

A. B. C. 3 D. 1 5.执行如图所示的程序框图，令

，若

，则实数a的取值范围是

- 1 -

A. C.

B. D.

6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是

A.

D.

uuuvuuuvuuuvuuuv7.设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足ABAC0， ACAD0，

B.

C.

uuuvuuuvADAB0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1S2S3的最大值是 A.

1 B. 2 C. 4 D. 8 28.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以

为直径的

圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若

，则双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

9.已知函数

的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的

- 2 -

距离为，且A. 要得到函数B. 函数C. 当D. 函数

的图象关于点的图象只将

对称，则下列判断正确的是

的图象向右平移个单位 对称

的图象关于直线时，函数在

的最小值为

上单调递增

，则

的大致图象为

10.已知函数

A. B.

C. D.

111.已知定义在R上的偶函数fx（函数f(x)的导函数为fx）满足fxfx10，

2e3f(2018)＝1，若fxfx，则关于x的不等式fx21的解集为 exA. ,3 B. 3, C. ,0 D. 0, 12.已知函数fxx31,gx2log2x2log2xt4，若函数Fxfgx1在区间

21,22上恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围 5A. ,4 B.

259, C. 2294, D. 294, 2第II卷 非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.代数式

的展开式的常数项是________（用数字作答）

- 3 -

14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列

则

为“斐波那契”数列，为数列

的前项和，若

__________．(用M表示)

2y215.已知点F1,F2分别是双曲线C:x21b0的左、右焦点， O为坐标原点，点P在双

b曲线C的右支上，且满足F1F22OP， tanPF2F14，则双曲线C的离心率的取值范围为__________．

yx16.若变量x,y满足约束条件{xy6 ，且z3xy的最小值为8，则k__________．

yk三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. （本小题满分12分）

已知函数(I)求函数(II)在

的最小正周期和最小值； 中，A，B，C的对边分别为

，已知

，求a，b的值．

．

18. （本小题满分12分）

我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

- 4 -

（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；

（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为

和

之间选取7户居民作为

议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在家庭数，记随机变量19. （本小题满分12分）

如图，四边形面

为

为等腰梯形

（如图2）.

沿

折起，使得平面

平

中的获奖的家庭数，为用水量吨数在

中的获奖

，求的分布列和数学期望．

的中点，连接

图1 图2

（Ⅰ）求证： （Ⅱ）求直线

； 与平面

所成的角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知点F是拋物线C:y22px(p0)的焦点, 若点Mx0,1在C上,且MF（1）求p的值；

（2）若直线l经过点Q3,1且与C交于A,B（异于M）两点, 证明: 直线AM与直线BM的

- 5 -

5x0． 4斜率之积为常数．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 21. （本小题满分12分）

已知求证：讨论函数

，函数

；

零点的个数．

，

．

22.选修4—4:坐标系与参数方程

x4t2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{ (其中t为参数）.以坐标原点

y4tO为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为

2. cos42（1）把曲线C1的方程化为普通方程， C2的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C1， C2相交于A,B两点， AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于

E,F两点，求PEPF.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数fxx1． （Ⅰ）解不等式fxfx48；

b（Ⅱ）若a1,b1，且a0，求证： fabaf．

a - 6 -

参考答案

1.B

【解析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到交集的概念得到结果.

，

2.C

【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：则3.D

【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果. 由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得： 乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确， 甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确， 两班的英语平均分分差最大，即选项正确， 两班地理平均分分差最小，即选项错误，故选D. 4.A

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3

,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．

，

.本题选择C选项.

，则

=

.故答案为：B.

，

，最后由

设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列， ∴2×2a3=3a2+a4， ∴4a2q=3

，化为q2﹣4q+3=0，

- 7 -

解得q=1或3． q=1时，q=2时，5.D

,

.故选：A．

【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数当当当

时，时，时，

，解得

，解得，无解.

，则实数a的取值范围是

.故选D.

； ；

.

综上，6.C

【解析】详解：根据几何体的三视图，得；

，

∴

， 底面

，

的外接圆的圆心为斜边

的中点

该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高且侧面

底面

，设该几何体的外接球的球心为设则解得

外接球的半径为

- 8 -

，∴外接球的表面积

7.B

【解析】设ABa， ACb， ADc

．故选C．

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv∵ABAC0， ACAD0， ADAB0

∴AB， AC， AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即

a2b2c24R24

∵S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积 ∴S1S2S311abacbca2b2c22，当且仅当abc时取等号 22∴S1S2S3的最大值是2。故选B 8.D

【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为直径的圆的方程为

．

，以

为

由

，解得

，故点P的坐标为

；

由∵∴∴

，解得，

，

，整理得

，

，故点Q的坐标为．

- 9 -

∴9.A

，故得，解得．选D．

【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的. 因为以令因

，则，故

，

的最大值为，故

， 即

.

，故向右平移个单位后可以得到

，故A正确；

，故函数图像的对称中心为

当当10.A

【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用结果. 因为所以函数又因为11.B

【解析】Qfx是偶函数， fxfx， f'xfx'f'x，

，

是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；

，可排除选项

.故选A.

，可排除选项

，从而可得

时，时，

，故，

，故B错；

，

，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故

即

，所

，故C错； 在

为减函数，故D错.综上，选A.

f'xfx， fxf'xf'x，即fxf'x0，设gxexfx，则

1xxfx， 在上递增，由gx,efx'efxf'x0fx10，得2 - 10 -

3ftft0,23ftft30，相减可得ftft3， fx的周期为3， 211e3f2018e3f21， g2e2f2， fx2x，结合fx的周期为3可化为

ee1ex1fx1e2f2， gx1g2,x12,x3， 不等式解集为3,，故选B.

e12.C

【解析】设ugx，则Fxfu10，即fu10，则u1，所以问题转化为gx1上恰有两个不同的零点，即2log2x2log2xt41在区间1,22上恰有1,22在区间233两个不同的零点，设vlog2x，则v0,，则问题转化为2v22vt40在区间0,上

22有两个不同的零点，结合二次函数图像可知，应满足{9t40，解得4t，

29322t404248t40故选择C. 13.3 【解析】令∴常数项为14.

的通项公式为，得

；令

，得

.

.

。故答案为.

【解析】详解：由“斐波那契”数列可知

所以 所以

1715.1,3



- 11 -

。 ，

【解析】由F1F22OP，可得OPc， 故PF1F2为直角三角形，且PF1PF2， ∴PF1|2PF2|2|F1F2|2．

由双曲线定义可得PF1PF22a． ∵tanPF2F1PF1PF4，

2∴PF2a14PF2，可得PF23． 又2aPF22|PF2|24c2，

整理得PF22a2c2a2． 2∴PF2a22c2a22a25a23a9． ∴e2c217a29，

又e1，

∴1e17173，即双曲线C的离心率的取值范围为1,3．答案：16.2

【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，

∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1， 则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8， 作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，

则目标函数经过点Ak,k时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，代入得到84k,k2. 故答案为：-2. 17.(Ⅰ)

的最小正周期

,最小值为-4; (Ⅱ)

.

【解析】(Ⅰ)

- 12 -

1,173 所以

的最小正周期

，

,最小值为

.

(Ⅱ)因为又

，由余弦定理得，又c=a，所以

.

所以所以

. ，得

.因为

，

，由正弦定理得

18.（Ⅰ）30万；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为所以假设全市的人数为（万人），则有所以估计全市人数为30万.

（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 所以用水量在

之间的户数为

，得

户，而用水量在

，

吨之间的户数为

之间

，

，解得

户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在

应抽取的户数为

户，而用水量在

吨之间的户数为

户．

据题意可知随机变量的取值为0,2,4．

，

，

，

其分布列为：

0 2 - 13 -

4 期望为：19. （Ⅰ）平面

,，所以

．

则,

平面

，从而

，又因为平面．

平面且平面

（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC.，设E点到平面BCD的距离为，

，

DE与平面BCD所成角为，则

20. 解析：（1）由抛物线定义知MFx0, .

pp5,则x0x0,解得x02p,又点Mx0,1在C上, 2241代入C:y22px,得2px01,解得x01,p．

2（2）由（1）得M1,1,C:y2x,当直线l经过点Q3,1且垂直于x轴时, 此时

A3,3,B3,3,

则直线AM的斜率kAM3131,直线BM的斜率kBM,所以22kAM·kBM31311．当直线l不垂直于x轴时, 设Ax1,y1,Bx2,y2, 222则直线AM的斜率kAMy11y111,同理直线BM的斜率2x11y11y11kBM1111,kAM?kBM·,设直线l的斜率为kk0,且经过y21y11y21y1y2y1y21Q3,1,则 直线l的方程为y1kx3．联立方程{y1kx3y2x,消x得,

- 14 -

ky2y3k10,

13k11111,y1y23,故kAM·kBM, kkky1y2y1y2131112kk1综上, 直线AM与直线BM的斜率之积为．

2所以y1y221. 证明：

设

，则， ，，

递增， 递减，

，

，

．

解：

，

，， ，方程，且，

当

时，，

，即

．

设当函数

，

，且当当

时，时，，

，

有两个不相等的实根，分别为，，

，递减，当时，，

，递增，

，

，则

，即

时，

，，

是减函数，

只有一个零点，

- 15 -

当，即时，，

函数没有零点， 当，即

时，

，且

，

由知

，

，

若

，则有

， ， 函数有且只有一个大于的零点，

又，即函数在区间

有且只有一个零点，

综上，当时，函数

有两个零点；当

时，函数

只有一个零点，

当

时，函数没有零点．

22.（1）y24x， xy10（2）16

解析：（1）曲线Cx4t21的参数方程为{y4t （其中t为参数）

，消去参数可得y24x. 曲线C222的极坐标方程为cos42，展开为2cossin22xy10..

（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，且中点为Px0,y0，

联立{y24xxy10 ，

解得x26x10， ∴x1x26,x1x21. ∴xx20x123,y02. 线段AB的中垂线的参数方程为

- 16 -

化为，2t2{ （t为参数）， 2y2t2x3代入y24x，可得t282t160， ∴t1t216， ∴PEPFt1t216.

2x2,x3,23.解析：（1）fxfx4x1x3{4,3x1,

2x2,x1.当x3时，则2x28，解得x5； 当3x1时，则fx8不成立； 当x1时，由2x28，解得x3. 所以原不等式的解集为{x|x5或x3}.

b（2）fabaf即ab1ab.

a因为a1,b1,

所以ab1aba2b22ab1a22abb2a21b210, 所以ab1ab.故所证不等式成立.

22 - 17 -