AMOS中如何求自由度df

问：怎么数自由度?

(1) 此处只有observed variables。如果现在的情况是有12个observed variables，对应于3个latent variables，那么k=? 不知道k是否包括latent variables? 度量模型的系数 (因子负荷)应该算是parameters of being

estimated吧。那么现在degrees of freedom required应该是多少呢? 如下图所示,我想应该是15。

(2) 运行LISREL的结果是df = 51。不知道这个51是指什么? 是怎么算出来的?

(3) SEM中的变量可以是定类变量吗? 因为在define variable时, 只提供了ordinal 跟continuous可选。 答：

先答问题3：SEM不可用定类变量。如果一定要用，方法一是将其转换成 dummy variable (零一变量)，比较容易；方法二是将其当作 grouping variable（分组变量）, 然后每一组为一个样本，做multigroup comparisons（多组比较模型），比较麻烦；方法三是改用Latent Classification Model，那是全新的另一世界。

回到如何计算自由度 (degrees of freedom, df)。记得很久前小彭问过类似问题，我答应要写个贴，但一直忘了。估计小彭现在已知道答案了，但大概还有其他庄员有兴趣。

用我自己的语言来说，自由度是指“原有数据中所提供的信息与验证模型所需的信息之间的剩余信息”。为了便于说明，我在你的图上加了一些符号。

这里的“数据提供的信息”有两种算法。一种是计算数据中observed variables indicators (变量) 之间的相关系数（correlations）的个数，一般用k来表示变量的个数，其相关系数的个数则为 k X (k – 1) / 2。如你的例子中有12个变量，它们之间的相关系数应该有12 X 11 / 2 = 66。

另一种是计算数据所有变量之间的variance-covariance (方差－协方差) 的个数，公式为 k X (k + 1) / 2。在本例中，共有 12 X 13 /2 = 78。

“模型所需的信息”也有两种对应的算法。与相关系数对应的算法是模型中所需估计的parameters (参数)，包括factor loadings (因子负荷，即λ，本例中有12个)、coefficients of exogenous factors (自变量因子对因变量因子的影响系数，即γ,本例中有2个)、 coefficients of endogenous factors (因变量因子对因变量因子的影响系数，即в,本例中有1个)，三者相加共有 12 + 2 + 1 = 15个参数需要被估计。

如果按方差-协方差计算的话，那么需要被估计的参数，除了以上的λ、γ和в以外，还需要加上每个errors of indicators（变量的残差，即δ和ε，本例中有12个），四者相加为 12 + 2 + 1 + 12 = 27。

好了，我一开始说的“自由度是数据提供的信息与模型所需的信息之差”就是 66 – 15 ＝ 51 或者 78 – 27 ＝ 51。这就是你用LISREL算出的结果。不管用相关系数还是方差-协方差来算，结果都一样（一定而且必须一样，不然不就乱套了吗？）。

再讲几句题外话。一个模型的自由度多好还是少好？这有点象“我们应该把钱藏在枕头底下好、还是消费享受”的问题。前者为了将来幸福而眼下受苦，而后者眼下痛快、将来痛苦。统计中的自由度当然有不同的含义，但有些道理大概是相通的。从理论上讲，一个模型用的参数越少、其自由度就越大，因此越符合parsimony（简约性)的原则。但是，参数越少，模型的goodness of fit(拟合

度)就越差，这时，自由度再多有什么用（不就成了把钱压在枕头下了吗）？ 当然，乱用自由度也是会受到惩罚的，如果估计的参数大于数据的信息，就会碰到Over-fit（“过度拟合”）的问题，如果严重到“自由度透支”，LISREL或其它软件会自动罢工，拒绝执行。