一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个相交平面的交线是一条线段
2．若某个扇形的半径为3cm，弧长为πcm，则该扇形的面积为（ ） A．πcm2
B．
cm2
C．3πcm2 D．6πcm2
3．﹣1060o的终边落在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 5．函数A．周期为
是（ ）
的奇函数 B．周期为
的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数y=tan（）在一个周期内的图象是（ ）
A． B． C．
D．
8．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ） A．4π B．
C．6π D．
9．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当A．
B． C．
时，f（x）=sinx，则 D．
的值为（ ）
10．在（0，2π）内，使得|sinx|＞|cosx|成立的x的取值范围是（ ） A．C．
B． D．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
）在一个周期内的
12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
图象如图所示，若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的数解x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．
B． C． D．或
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．直线则
与函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相交的相邻两点间距离为的值是 ．
，
14．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为 ．
15．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为 ．
16．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题： ①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心； ③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心． 请把正确命题的序号填在横线上： ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．求值：18．已知函数
，x∈R．
．
（1）用五点作图法画出函数f（x）在（2）若
，
，求α．
上的简图；
19．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移
个
单位长度，得到g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．
20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD
的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36
，求a的值．
21．PD=PC=4，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，
BC=3．G分别在线段AB、BC上，CG=2GB．点E是CD边的中点，点F、且AF=2FB，
（1）证明：BC∥平面PDA； （2）求二面角P﹣AD﹣C的大小；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
22．若函数y=cos2x+asinx﹣a﹣的最大值是1，求a的值．
2016-2017学年广西南宁三中高一（下）第一次月考数学
试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个相交平面的交线是一条线段 【考点】平面的基本性质及推论． 【分析】利用排除法，即可得出结论．
【解答】解：当这两条直线异面时不能确定平面，A错误． 两条直线异面，则不能确定平面，B错误． 两个相交平面的交线是一条直线，D错误． 故选C．
2．若某个扇形的半径为3cm，弧长为πcm，则该扇形的面积为（ ） A．πcm2
B．
cm2
C．3πcm2 D．6πcm2
【考点】扇形面积公式．
【分析】根据扇形的面积=lr进行计算即可． 【解答】解：扇形面积计算公式故选：B．
3．﹣1060o的终边落在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
=
=πcm2．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】由﹣1060o=﹣3×360o+20o可知﹣1060o的终边所在象限． 【解答】解：∵﹣1060o=﹣3×360o+20o， ∴﹣1060o的终边落在第一象限． 故选：A．
4．等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】余弦定理；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】在等腰直角三角形ABC中，由AB=BC=1，M为AC中点，知AM=CM=BM=
，AM⊥BM，CM⊥BM，所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC
就是二面角的平面角，由此能求出二面角C﹣BM﹣A的大小． 【解答】解：在等腰直角三角形ABC中， ∵AB=BC=1，M为AC中点， ∴AM=CM=BM=
，AM⊥BM，CM⊥BM，
所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC就是二面角的平面角． 在△AMC中，∵AM=CM=
，AC=1，
由余弦定理，知cos∠AMC==0，
∴∠AMC=90°． 故选C． 5．函数A．周期为
是（ ）
的奇函数 B．周期为
的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数 【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的奇偶性以及周期性，得出结论．
【解答】解：∵函数C；
再根据它的周期为故选：D．
6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
=π，故排除B，
=3cos2x，故该函数为偶函数，故排除A、
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1） ∴
=（﹣2，0，1），
，
＞═
=（﹣2，2，0），=
．
且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．
7．函数y=tan（
）在一个周期内的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】正切函数的图象． 【分析】先令tan（数y=tan（
）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函
）的最小正周期为2π，排除B．
）=0，解得x=kπ+，排除C，D
=2π，故排除B
，可知函数y=tan（
）
【解答】解：令tan（与x轴的一个交点不是∵y=tan（故选A
）的周期T=
8．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ） A．4π B．
C．6π D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r=又由AA1=3，
=2，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为， 此时V的最大值故选：B
9．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当A．
B． C．
时，f（x）=sinx，则 D．
=，
的值为（ ）
【考点】函数的周期性．
【分析】由已知可函数f（x）既是奇函数又是周期函数，且f（x）的最小正周期为π，可得：f（
π）=f（﹣
π）=﹣f（
），进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）既是奇函数又是周期函数，且f（x）的最小正周期为π， ∴f（∵当∴﹣f（
）=f（
﹣2π）=f（﹣时，f（x）=sinx，
）=﹣sin
=﹣
，
）=﹣f（
），
故选：D．
10．在（0，2π）内，使得|sinx|＞|cosx|成立的x的取值范围是（ ） A．C．
【考点】三角函数线．
【分析】在同一坐标系中画出正弦曲线和余弦曲线观察即可
【解答】解：在同一坐标系中画出y=|sin2x|和y=|cos2x|的图象，如图所示；
B． D．
观察在（0，2π）内的图象知， 阴影部分中|sinx|≥|cosx|， 所以满足题意的x的取值范围是（故选：C．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
，
）∪（
，
）．
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4， 故选：D
12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）在一个周期内的
图象如图所示，若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的数解x1、x2，则
x1+x2的值为（ ）
A． B． C． D．或
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象可得函数的解析式，由三角函数图象的对称性可得． 【解答】解：由图象可得A=2， T=解得周期T=π=
，∴ω=2，
﹣
，
∴f（x）=2sin（2x+φ）， 代入（
，2）可得
+φ=）， ∈[
，+2x2+
]， =π或2x1+
+2x2+
=3π
，解得φ=
，
∴f（x）=2sin（2x+∵x∈[0，π]，∴2x+
结合三角函数图象可得2x1+∴x1+x2=故选：D
，或x1+x2=
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．直线则
与函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相交的相邻两点间距离为的值是 0 ．
，
【考点】正切函数的图象．
【分析】先根据函数f（x）=tanωx 的图象结合题意求出其最小正周期，求出ω的值确定函数f（x）的解析式，最后将x=【解答】解：类比正切函数的图象知，
f（x）=tanωx被平行于x轴的直线所截得的长度为一个周期长度，
代入即可求出答案．
由此可得则
，那么ω=4，
，
故答案为：0．
14．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为 ．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由于SA与PD是异面直线，所以需要平移为相交直线才可以找到异面直线SA与PD所成角，因此连接OP在利用中位线可达到这一目的． 【解答】解：连接OP则OP ∵SO=OB=2∴SA=
∴OP=
SA，故∠OPD即为SA与PD的夹角．
又在△PCD中PO⊥CD∴在Rt△POD中OD=2，OP=∴tan＜SA，PD＞=故答案为：
=
15．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为
．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】设点C到平面GEF的距离为h，由题意利用等体积法可得 VC﹣GEF=VG﹣CEF，由此求得h的值．
【解答】解：设点C到平面GEF的距离为h，由题意可得CE=CF=∴GE=GF=
=
=2
． =3
，∴GM=
=
=2
，
取EF的中点为M，则CM=AC=•4=
=
．
∵VC﹣GEF=VG﹣CEF，∴•（•EF•GM）•h=•（•EF•CM）•CG， 即 GM•h=CM•CG，即
•h=3
•2，求得 h=，
，
即点C到平面GEF的距离为故答案为：
．
16．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题： ①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心； ③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心．
请把正确命题的序号填在横线上： ①②③ ． 【考点】棱锥的结构特征．
【分析】根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可．
【解答】解：①因为PH⊥底面ABC，所以PH⊥BC，又PA⊥BC，所以BC⊥平面
PAH，所以AH⊥BC．同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，由此推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若PA=PB=PC，由此推出AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确． 故答案为①②③．
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．求值：
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式求得tan15°、cos210°、sin420°、sin1050°、cos（﹣600°）的值，可得要求式子的值． 【解答】解：由诱导公式可得：
，
，
，
，
，
．
∴原式=．
18．已知函数
，x∈R．
（1）用五点作图法画出函数f（x）在（2）若
，
，求α．
上的简图；
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【分析】（1）利用描点法画函数图象，第一步列表，令函数解析式中的角分别为0，
，π，
，2π，求出x的值，且代入函数解析式求出对应的函数值y的值，
找出函数图象上五点坐标，在平面直角坐标系中描出五个点，用平滑的曲线画出函数图象即可；
（2）由题意可求sin（α﹣
）的值，进而结合范围可求α的值．
【解答】解：（1）由“五点作图法”列表如下：
x x﹣3sin（x﹣图象如下：
0 ） 0 3 π 0 2π 0 ﹣3
19．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移
个
单位长度，得到g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）利用图象，求出相应参数，即可求函数f（x）的解析式与单调递减区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=2sin（x+π]得x+
∈[
，
），由x∈[0，
]，利用正弦函数的图象即可解得函数y=g（x）在x∈[0，
π]上的最大值及最小值．
【解答】解：（1）由图知，函数的最大值，最小值为2，﹣2，知A=2； 从最高点到最低点，自变量增加由五点法作图知所以
，则
，
，T=π，
，
，则
函数的周期为π，且由图知函数的一个单调递减区间为
因此f（x）的单调递减区间为（2）由题意，g（x）=2sin（x+∵x∈[0，π]， ∴x+
∈[
，
]，
），
；
∴函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值为2，最小值为﹣1．
20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=AD=a，E是AD
的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．
，求a的值．
【解答】解：
（I）在图1中， 因为AB=BC=
=a，E是AD的中点，
∠BAD=，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而BE⊥面A1OC， 由CD∥BE， 所以CD⊥面A1OC，
（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高， 根据图1得出A1O=
AB=
a，
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2， V=由a=
21．PD=PC=4，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
，
a3=36
=
a=
，得出a=6．
a3，
BC=3．G分别在线段AB、BC上，CG=2GB．点E是CD边的中点，点F、且AF=2FB，
（1）证明：BC∥平面PDA； （2）求二面角P﹣AD﹣C的大小；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）由四边形ABCD是长方形，知BC∥AD，由此能证明BC∥平面PDA．
（2）推导出AD⊥DC，AD⊥平面PCD，从而AD⊥DC，AD⊥PD，进而∠PDC即为二面角P﹣AD﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AD﹣C的大小．
（3）连接AC，推导出AC∥FG，从而∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补
角，由此能求出直线PA与直线FG所成角的余弦值． 【解答】证明：（1）因为四边形 A BCD是长方形， 所以 BC∥AD，
因为 BC⊄平面 PD A，AD⊂平面 PD A， 所以 BC∥平面 PD A
解：（2）∵△ABCD是矩形，∴AD⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD， 且平面PDC∩平面ABCD=CD，AD⊂平面ABCD， ∴AD⊥平面PCD，又CD、PD⊂平面PDC，
∴AD⊥DC，AD⊥PD，∴∠PDC即为二面角P﹣AD﹣C的平面角， 在Rt△PDE中，PD=4，∴
，
．
即二面角P﹣AD﹣C的大小为45°．
（3）如下图所示，连接AC，∵AF=2FB，CG=2GB， 即
，∴AC∥FG，
∴∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角， 在△PAC中，PA=∴PA2+PC2=AC2， ∴PA2+PC2=AC2， ∴cos∠PAC=
=
，
．
=5，AC=
=
，
∴直线PA与直线FG所成角的余弦值为
22．若函数y=cos2x+asinx﹣a﹣的最大值是1，求a的值．
【考点】三角函数的最值．
【分析】化简可得y=﹣（sinx﹣）2+讨论可得．
【解答】解：化简可得y=cos2x+asinx﹣a﹣=1﹣sin2x+asinx﹣a﹣=﹣（sinx﹣）2+
﹣a﹣，
a﹣=1，
﹣a﹣，由二次函数区间的最值分类
当≤﹣1即a≤﹣2时，由二次函数可知sinx=﹣1时，上式取最大值解得a=
不满足a≤﹣2，应舍去；
当﹣1＜＜1即﹣2＜a＜2时，由二次函数可知sinx=时，上式取最大值a﹣=1，解得a=1﹣经检验a=1﹣
或a=1+
﹣
满足﹣2＜a＜2，而a=1+不满足，应舍去；
当≥1即a≥2时，由二次函数可知sinx=1时，上式取最大值a﹣=1，解得a=5满足a≥2，符合题意． 综上可知a的值为1﹣
或5
2017年5月6日
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