2020年成教、电大《应用数学》第四章 导数与微分 练习题

第三章 导数与微分 第一节 导数的概念

思考题：

1. 思考下列命题是否正确？如不正确举出反例.

（1）若函数y=f(x)在点x0处不可导，则f(x)在点x0处一定不连续. （2）若曲线y=f(x)处处有切线，则y=f(x)必处处可导. 2. 若limxaf(x)f(a)，试判断下列命题是否正确. A（A为常数）

xa（1）f(x)在点xa 处可导, （2）f(x)在点xa 处连续, （3）f(x)f(a)= A(xa)o(xa).

3. 试举出至少5个能用导数描述变化率的有实际意义的变量（写成小短文）.

习作题：

1. 利用幂函数的求导公式(x)'x（1）x

2. 若曲线y= x在(x0,y0)处切线斜率等于 3 ，求点(x0,y0)的坐标.

3. 抛物线y = x在何处切线与Ox轴正向夹角为

23100381分别求出下列函数的导数:

3, （2）x, （3）xx.

π，并且求该处切线的方程. 4πsin(x)124. 已知(sinx)'cosx，利用导数定义求极限lim.

x0x

第二节 求导法则

思考题：

1. 思考下列命题是否成立？

(1)若f(x)，g(x)在点x0处都不可导，则f(x)g(x)点x0处也一定不可导. （2）若f(x)在点x0处可导，g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导.

2. f'(x0)与[f(x0)]'有无区别？为什么？

3. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？

习作题：

1. 求下列函数的导数

（1）y= 4x+3x+ 1, (2) y= 4e+3e +1,

2x (3) y=x+lnx+ 1, (4) y =sinx+x+ 1,

(5) y= 2cosx + 3x, (6) y = 23,

(7) y= log2xx.

2. 求下列函数的导数:

x（1）y= 4(x1)(3x1), (2) y=xe+10

222xx

(3) y= sinxcosx, (4) y= arctan2x,

(5) y= cos8x, (6) y= esin2x.

3. 求y= 

4. 求曲线

5. 求由方程xye

6.设f(x)ln(1x),yf(f(x))，求

2xx(x1)(x2)(x3)dy的导数 3dxx(x4)23xt,在点（1，1）处切线的斜率. 3yt,ey0所确定的隐函数的导数

dy. dxdy dx

7. 设f(x)x，求f'(x).

exdyd2y8. 设yf(u),usinx,求和.

dxdx22

9. 若yx，求y'.

10. yxe, 求y

4xy(4).

第三节 微分及其在近似计算中的应用

思考题：

1.设yf(x)在点x0的某邻域有定义，且f(x0x)f(x0)=axb(x)，其中

2a,b为常数，下列命题哪个正确？

（1）fx在点x0处可导，且fx0a,

（2）fx在点x0处可微，且dfx|xx0adx, （3）fx0xfx0ax （ |x|很小时）. 2.可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？ 3. 用微分进行近似计算的理论依据是什么？ 4. fx在一点可微，可导，连续间有何关系？

习作题：

1. d(e)edx; dln1x2x2x12dx12lnx; d(lnx)dx. 1x2x

2. 求31.02，sin29的近似值.

3. 求下列函数的微分:

（1）yxsinx, （2）ytanx,

x（3）yxe, （4）y3x11002.

4. 设fxln1x，求df(x)x2

x0.01.