一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.
下列几何图形中，一定是轴对称图形的有( )
A. 2个
B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.
若关于𝑥的方程𝑥2+5𝑥+𝑎=0有一个根为−1，则另一个根为( )
A. −4
B. 5 C. 4 D. −3
3.
若𝑘>4，则一次函数𝑦=(4−𝑘)𝑥+𝑘−4的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列事件中，是不可能事件的是( )
A. 任取一个有理数，其相反数为0 B. 任取一个有理数，其倒数为0 C. 任取一个有理数，其算术平方根为0 D. 任取一个有理数，其立方根为0
5.
从1、2、3、4这四个数中任取两个不同的数，则这两个数之和小于6的概率为( )
A. 1
1
2
B. 3
C. 2
3
D. 5
6
6.
在△ 𝐴𝐵𝐶中，若三边满足𝐵𝐶∶ 𝐶𝐴∶ 𝐴𝐵=5∶12∶13，则cos 𝐵 ( )
A.
B.
C.
D.
7.
已知点𝑃(𝑎,𝑎+3)在抛物线𝑦=𝑥2−7𝑥+19图象上，则点𝑃关于原点𝑂的对称点𝑃′的坐标是( A. (4,7) B. (−4,−7) C. (4,−7) D. (−4,7)
)
8. 下列关于𝑥的方程一定有实数解的是( )
A. 𝑥2=2
C. 2𝑥2−√2𝑥+1=0
9.
B. 𝑥2−(𝑘+1)𝑥+(𝑘+1)=0 D. 1+𝑥−1=𝑥−1
𝑥
1
如图，点𝑃从点𝐴出发，按逆时针方向沿着正六边形(各边均相等)的边循环运动，当运动280𝑐𝑚后恰好停在点𝐶，则该正六边形的边长可能是( )
A. 4𝑐𝑚 B. 5𝑐𝑚 C. 6𝑐𝑚 D. 7𝑐𝑚
10. 将抛物线𝑦=−2(𝑥−1)2+3向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为
( )
A. 𝑦=−2(𝑥+1)3+1 C. 𝑦=−2(𝑥+1)2+5
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
B. 𝑦=−2(𝑥−3)2+1 D. 𝑦=−2(𝑥−3)2+5
11. 教师节期间，某校数学组老师向本组其他老师各发了一条祝福短信，据统计，全组共发了210条
祝福短信，如果设全组有𝑥名老师，依题意可列方程______ ．
12. 已知𝑎、𝑏为一元二次方程𝑥2+3𝑥−2017=0的两个根，那么𝑎2+2𝑎−𝑏的值为______． 13. 函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,𝑏,𝑐为常数，且𝑎≠0)经过点(−1,0)，(𝑚,0)，且1<𝑚<2，当𝑥<−1
时，𝑦随𝑥增大而减小，下列结论： ①𝑎𝑏𝑐>0； ②𝑎+𝑏<0；
③若点𝐴(−3,𝑦1)，𝐵(3,𝑦2)在抛物线上，则𝑦1<𝑦2； ④𝑎(𝑚−1)+𝑏=0；
⑤𝑐≤−1时，则𝑏2−4𝑎𝑐≤4𝑎． 其中结论正确的有______．
14. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=8，𝐴𝐷=12，过𝐴，𝐷两点的⊙𝑂与𝐵𝐶边相
切于点𝐸，则⊙𝑂的半径为______ ．
15. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象经过𝐴(0,3)，𝐵(2,3)两点．请你写出一组满足条件
的𝑎，𝑏的对应值．𝑎=______，𝑏=______．
∠𝐷=∠𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐶𝐷=4，𝐴𝐶=8，16. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
𝑅分别是𝐴𝐵、𝐴𝐷上的动点，设𝑄、则△𝐶𝑄𝑅的周长的最小值为______．
17. 如图分别表示某个几何体三个方向的视图，那么这个几何体的名称是 ．
18. 已知：二次函数𝑦=𝑚𝑥2+(2𝑚−1)𝑥−1与𝑥轴交点的横坐标为𝑥1、𝑥2(𝑥1<𝑥2)，则对于下列
结论：①当𝑥=−2时，𝑦=1；②当𝑥>𝑥2时，𝑦>0；③方程𝑚𝑥2+(2𝑚−1)𝑥−1=0有两个不相等的实数根𝑥1、𝑥2；④𝑥1<−1，𝑥2>−1；⑤𝑥2−𝑥1=是______ (只填序号)．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 阅读下列例题： 解方程𝑥2−|𝑥|−2=0．
解：(1)当𝑥≥0时，原方程化为𝑥2−𝑥−2=0． 解这个方程，𝑥1=2，𝑥2=−1(不合题意，舍去)． (2)当𝑥<0时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0． 解这个方程，𝑥1=−2，𝑥2=1(不合题意，舍去)． ∴原方程的根为𝑥1=2，𝑥2=−2． 请参照例题解方程𝑥2−|𝑥−5|−7=0．
⃗⃗⃗ =⃗ 20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐹是𝐵𝐶边上的点，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=𝑎⃗ ，⃗⃗𝐴𝐹𝑏． ⃗ 、⃗ (1)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐹=______；(用含𝑎𝑏的式子表示)
√1+4𝑚2
|𝑚|
，其中所有正确的结论
⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ；(不要求写出作法，但保留作图痕迹，且说明结果) (2)求作：𝑐⃗ =⃗𝐹𝐴𝐹𝐶(3)若𝐵𝐹=𝐹𝐶，写出图中所有与第(2)小题中的𝑐⃗ 互为相反向量的向量：______．
21. 元旦期间，九年级某班六位同学进行跳圈游戏，具体过程如下：图1所示是一枚质地均匀的正方
体骰子，骰子的六个面上的点数分别是1，2，3，4.5，6，如图2，正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每投掷一次骰子，假骰子向上的一面上的点数是几，就沿着正六边形的边逆时针方向连续跳几个边长．如：若从圈𝐴起跳，第一次掷得3，就逆时针连续跳3个边长，落到圈𝐷；若第二次掷得2.就从图𝐷开始逆时针连续起跳2个边长，落到圈𝐹…，设游戏者从圈𝐴起跳
(1)小明随机掷一次骰子，求落回到圈𝐴的概率𝑃1；
(2)小亮随机掷两次骰子，用列表法或画树状图法求最后落回到圈𝐴的概率𝑃2．
22. 如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛
的半径为𝑟米，面积为𝑆平方米．(注：𝜋的近似值取3) (1)求出𝑆与𝑟的函数关系式，并写出自变量𝑟的取值范围； (2)当半径𝑟为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．
23. 在平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点𝐴(1,1)和点𝐵(−3,5)
(1)求直线𝐴𝐵所对应的函数表达式． (2)判断点(4,−2)是否在直线𝐴𝐵上．
24. 某汽车经销商销售𝐴型汽车，每辆汽车的销售价为43万元，而每辆汽车的进价与月销售量满足
下列关系：若只售出1辆汽车，则𝐴型汽车的进价为42.1万元；当每多售出1辆汽车时，则所有售出的汽车进价每辆均降低0.1万元．设该汽车经销商的𝐴型汽车月销售量为𝑥辆． (1)请完成以下表格：
月销量(辆) 𝑥 每辆售价(万元) 43 每辆进价(万元) ______ 每辆销售利润(万元) ______ 当𝑥=8时，求月销售利润；(销售利润=销售总人数−总进价)
(2)若该经销商计划某月销售𝐴型车获得利润超过43.4万元，那么至少要卖出______ 台𝐴型车．(直接写出答案，参考数据：√2≈1.41)
25. 在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴=90°，∠𝐶=45°.点𝐸在直线𝐴𝐷上，连接𝐵𝐸，过点𝐸作𝐵𝐸的垂
线，交直线𝐶𝐷于点𝐹．
(1)如图，已知：𝐵𝐸=𝐸𝐹，求证：𝐴𝐵=𝐴𝐷； (2)已知：𝐴𝐵=𝐴𝐷．
①当点𝐸在线段𝐴𝐷上，求证：𝐵𝐸=𝐸𝐹；
请写出证明过程；如果不成立，简述理由． ②当点𝐸在射线𝐷𝐴上，①中的结论是否成立？如果成立，
26. 在平面直角坐标系中．抛物线𝑦=−𝑥2+4𝑥+3与𝑦轴交于点𝐴，抛物线的对称轴与𝑥轴交于点𝐵，
连接𝐴𝐵，将△𝑂𝐴𝐵绕着点𝐵顺时针旋转得到△𝑂′𝐴′𝐵． (1)用配方法求抛物线的对称轴并直接写出𝐴，𝐵两点的坐标；
(2)如图1，当点𝐴′第一次落在抛物线上时，∠𝑂′𝐵𝑂=𝑛∠𝑂𝐴𝐵，请直接写出𝑛的值；
(3)如图2，当△𝑂𝐴𝐵绕着点𝐵顺时针旋转60°，直线𝐴′𝑂′交𝑥轴于点𝑀，求△𝐴′𝑀𝐵的面积； (4)在旋转过程中，连接𝑂𝑂′，当∠𝑂′𝑂𝐵=∠𝑂𝐴𝐵时．直线𝐴′𝑂′的函数表达式是______．
参考答案及解析
1.答案：𝐷
解析：解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分都能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有圆弧、角、扇形、菱形和等腰梯形共5个． 故选D．
根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2.答案：𝐴
解析：解：设一元二次方程的另一根为𝑥1，
则根据一元二次方程根与系数的关系得−1+𝑥1=−5， 解得：𝑥1=−4． 故选：𝐴．
根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，即可求出另一个根．
𝑥2，本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为𝑥1，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑎．
𝑐
𝑏
3.答案：𝐷
解析：解：∵𝑘>4， ∴4−𝑘<0，𝑘−4>0，
∴一次函数𝑦=(4−𝑘)𝑥+𝑘−4的图象经过第一、二、四象限， 故选：𝐷．
根据𝑘>4，可以得到4−𝑘和𝑘−4的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数𝑦=(4−𝑘)𝑥+𝑘−4的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4.答案：𝐵
解析：解：𝐴、任取一个有理数，其相反数为0，是可能事件，故本选项错误； B、任取一个有理数，其倒数为0，是不可能事件，正确；
C、任取一个有理数，其算术平方根为0，是可能事件，故本选项错误；
D、任取一个有理数，其立方根为0，是可能事件，故本选项错误． 故选B．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.答案：𝐶
解析：解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，则这两个数之和小于6的结果有8种， ∴则这两个数之和小于6的概率为12=3； 故选：𝐶．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8
2
6.答案：𝐶
解析：此题考查了勾股定理的逆定理，比例的性质，以及锐角三角函数定义，利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是解本题的关键．设比例的每一份为𝑘，由比例式表示出三角形的三边，然后利用勾股定理的逆定理判断出此三角形为直角三角形，根据锐角三角函数定义，用∠𝐵的对边𝐴𝐶比上斜边𝐴𝐵，化简后可得出𝑐𝑜𝑠𝐵的值．
解：由△𝐴𝐵𝐶三边满足𝐵𝐶：𝐶𝐴：𝐴𝐵=5：12：13， 可设𝐵𝐶=5𝑘，𝐶𝐴=12𝑘，𝐴𝐵=13𝑘，
∵𝐵𝐶2+𝐶𝐴2=(5𝑘)2+(12𝑘)2=25𝑘2+144𝑘2=169𝑘2，𝐴𝐵2=(13𝑘)2=169𝑘2，
∴𝐵𝐶2+𝐶𝐴2=𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐶=90°，
则𝑐𝑜𝑠𝐵=．
故选C．
7.答案：𝐵
解析：
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于原点对称的点坐标之间的关系． 将点𝑃(𝑎,𝑎+3)代入函数𝑦=𝑥2−7𝑥+19，先求出点𝑃的坐标，再求出它关于原点的对称点的坐标． 解：把点𝑃(𝑎,𝑎+3)代入函数𝑦=𝑥2−7𝑥+19得：𝑎+3=𝑎2−7𝑎+19， 解得：𝑎=4， ∴点𝑃的坐标是(4,7)，
∴点𝑃关于原点的对称点𝑃′的坐标为(−4,−7)． 故选B．
8.答案：𝐴
解析：解：𝐴、△=0+8=8>0，方程有实数根．故本选项正确；
B、△<0，△=[−(𝑘+1)]2−4(𝑘+1)=(𝑘+1)(𝑘−3)，当−1<𝑘<3时，此时方程没有实数根．故本选项错误；
C、△=2−8=−6<0，方程没有实数根．故本选项错误；
D、将原方程去分母，得𝑥−1+𝑥=1，解得𝑥=1，经检验𝑥=1使分母为0，不符合题意；故本选项错误； 故选A．
先计算判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐的值，再根据判别式的意义对𝐴、𝐵、𝐶进行判断；通过解分式方程对𝐷进行判断．
本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了解分式方程．
9.答案：𝐵
解析：解：设正方形的边长为𝑥，点𝑃运动了𝑛圈，则有6𝑛𝑥+2𝑥=280， 当𝑥=4时，𝑛不是整数，不符合题意， 当𝑥=5时，𝑛=9，符合题意， 当𝑥=6时，𝑛不是整数，不符合题意， 当𝑥=7时，𝑛不是整数，不符合题意， 故选：𝐵．
设正方形的边长为𝑥，点𝑃运动了𝑛圈，则有6𝑛𝑥+2𝑥=280，根据选项中，𝑥的值确定𝑛的值即可判断．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10.答案：𝐵
解析：解：将抛物线𝑦=−2(𝑥−1)2+3向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为：𝑦=−2(𝑥−1−2)2+3−2，即𝑦=−2(𝑥−3)2+1； 故选：𝐵．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
11.答案：𝑥2−𝑥−210=0
解析：解：∵全组共有𝑥名教师，每个老师都要发(𝑥−1)条短信，共发了210条短信． ∴𝑥(𝑥−1)=210． 整理得：𝑥2−𝑥−210=0 故答案为：𝑥2−𝑥−210=0．
每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．
考查列一元二次方程；得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键．
12.答案：2020
解析：解：∵𝑎、𝑏为一元二次方程𝑥2+3𝑥−2017=0的两个根， ∴𝑎2+3𝑎=2017，𝑎+𝑏=−3，
∴𝑎2+2𝑎−𝑏=𝑎2+3𝑎−(𝑎+𝑏)=2017−(−3)=2020． 故答案为：2020．
𝑎+𝑏=−3，根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出𝑎2+3𝑎=2017、将其代入𝑎2+2𝑎−𝑏=𝑎2+3𝑎−(𝑎+𝑏)中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解以及根与系数的关系找出𝑎2+3𝑎=2017、𝑎+𝑏=−3是解题的关键．
13.答案：①④
解析：
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，二次项系数𝑎决定抛物线的开口方向和大小，当𝑎>0时，抛物线向上开口；当𝑎<0时，抛物线向下开口；一次项系数𝑏和二次项系数𝑎共同决定对称轴的位置：当𝑎与𝑏同号时(即𝑎𝑏>0)，对称轴在𝑦轴左；当𝑎与𝑏异号时(即𝑎𝑏<0)，对称轴在𝑦轴右．(简称：左同右异)；常数项𝑐决定抛物线与𝑦轴交点：抛物线与𝑦轴交于(0,𝑐).抛物线与𝑥轴交点个数由△决定：△=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，抛物线与𝑥轴有2个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，抛物线与𝑥轴有1个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，抛物线与𝑥轴没有交点．
根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得𝑎>0，由抛物线的对称轴位置得𝑏<0，由抛物线与𝑦轴的交点位置得𝑐<0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点(−1,0)和(𝑚,0)，且1<𝑚<2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0<−2𝑎<2，变形可得𝑎+𝑏>0，则可对②进行判断；利用点𝐴(−3,𝑦1)和点𝐵(3,𝑦2)到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得𝑎−𝑏+𝑐=0，𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐=0，两式相减得𝑎𝑚2−𝑎+𝑏𝑚+𝑏=0，然后把等式左边分解后即可得到𝑎(𝑚−1)+𝑏=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴𝑎>0，
∵抛物线的对称轴在𝑦轴的右侧， ∴𝑏<0，
∵抛物线与𝑦轴的交点在𝑥轴下方， ∴𝑐<0， ∴𝑎𝑏𝑐>0， 所以①的结论正确；
∵抛物线过点(−1,0)和(𝑚,0)，且1<𝑚<2， ∴0<−2𝑎<2，
𝑏
1
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
𝑏
1
<𝑐≤−1，变形得到𝑏2−4𝑎𝑐>4𝑎，则可对⑤进行判断
∴1𝑏𝑎+𝑏2+2𝑎=
2𝑎
>0，
∴𝑎+𝑏>0， 所以②的结论错误；
∵点𝐴(−3,𝑦1)到对称轴的距离比点𝐵(3,𝑦2)到对称轴的距离远， ∴𝑦1>𝑦2，
所以③的结论错误； ∵抛物线过点(−1,0)，(𝑚,0)， ∴𝑎−𝑏+𝑐=0，𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐=0， ∴𝑎𝑚2−𝑎+𝑏𝑚+𝑏=0， 𝑎(𝑚+1)(𝑚−1)+𝑏(𝑚+1)=0， ∴𝑎(𝑚−1)+𝑏=0， 所以④的结论正确； ∵
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
<𝑐，
而𝑐≤−1， ∴
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
<−1，
∴𝑏2−4𝑎𝑐>4𝑎，所以⑤的结论错误． 故答案为①④．
14.答案：6.25
解析：解：连接𝑂𝐸，并反向延长交𝐴𝐷于点𝐹，连接𝑂𝐴， ∵𝐵𝐶是切线， ∴𝑂𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝑂𝐸𝐶=90°， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形， ∴∠𝐶=∠𝐷=90°， ∴四边形𝐶𝐷𝐹𝐸是矩形，
∴𝐸𝐹=𝐶𝐷=𝐴𝐵=8，𝑂𝐹⊥𝐴𝐷， ∴𝐴𝐹=1
1
2𝐴𝐷=2×12=6，
设⊙𝑂的半径为𝑥，则𝑂𝐹=𝐸𝐹−𝑂𝐸=8−𝑥，
在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐹中，𝑂𝐹2+𝐴𝐹2=𝑂𝐴2， 则(8−𝑥)2+36=𝑥2， 解得：𝑥=6.25， ∴⊙𝑂的半径为：6.25． 故答案为：6.25．
首先连接𝑂𝐸，并反向延长交𝐴𝐷于点𝐹，连接𝑂𝐴，由在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，过𝐴，𝐷两点的⊙𝑂与𝐵𝐶边相切于点𝐸，易得四边形𝐶𝐷𝐹𝐸是矩形，由垂径定理可求得𝐴𝐹的长，然后设⊙𝑂的半径为𝑥，则𝑂𝐸=𝐸𝐹−𝑂𝐸=8−𝑥，利用勾股定理即可得：(8−𝑥)2+36=𝑥2，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
15.答案：1；−2
解析：解：把𝐴(0,3)，𝐵(2,3)两点代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，得 𝑐=3，4𝑎+2𝑏+𝑐=3， 所以𝑏=−2𝑎，
由此可设𝑎=1，𝑏=−2， 故答案为1，−2．
已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过𝐴(0,3)，𝐵(2,3)两点，把经过𝐴(0,3)，𝐵(2,3)两点代入解析式得到：𝑐=3，4𝑎+2𝑏+3=3，所以𝑏=−2𝑎，可以选定满足条件的𝑎，𝑏任意一组值．本题答案不唯一．
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，本题是一个需要熟练掌握的问题．
16.答案：4√2+4√6 解析：
本题考查了轴对称问题，锐角三角函数的定义，圆周角定理，解题关键是根据轴对称的性质和两点之间线段最短解答．
作𝐶关于𝐴𝐵的对称点𝐺，关于𝐴𝐷的对称点𝐹，可得三角形𝐶𝑄𝑅的周长=𝐶𝑄+𝑄𝑅+𝐶𝑅=𝐺𝑄+𝑄𝑅+𝑅𝐹≥𝐺𝐹.根据圆周角定理可得∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐵=45°，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=30°，由于𝐺𝐹=2𝐵𝐷，在三角形𝐶𝐵𝐷中，作𝐶𝐻⊥𝐵𝐷于𝐻，可求𝐵𝐷的长，从而求出△𝐶𝑄𝑅的周长的最小值．
解：作𝐶关于𝐴𝐵的对称点𝐺，关于𝐴𝐷的对称点𝐹，则三角形𝐶𝑄𝑅的周长=𝐶𝑄+𝑄𝑅+𝐶𝑅=𝐺𝑄+𝑄𝑅+𝑅𝐹=𝐺𝐹，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，∵sin∠𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐶=2， ∴∠𝐷𝐴𝐶=30°，
∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°， ∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点共圆，
∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐵=45°，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=30°， 在△𝐶𝐵𝐷中，作𝐶𝐻⊥𝐵𝐷于𝐻，
𝐵𝐷=𝐷𝐻+𝐵𝐻=4×𝑐𝑜𝑠45°+4√2×𝑐𝑜𝑠30°=2√2+2√6， ∵𝐶𝐷=𝐷𝐹，𝐶𝐵=𝐵𝐺， ∴𝐺𝐹=2𝐵𝐷=4√2+4√6，
△𝐶𝑄𝑅的周长的最小值为4√2+4√6， 故答案为：4√2+4√6．
𝐶𝐷1
17.答案：圆锥
解析：试题分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，从而得出答案．
由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 故答案为：圆锥．
18.答案：①③④⑤
解析：解：①当𝑥=−2时，𝑦=4𝑚−2×(2𝑚−1)−1=4𝑚−4𝑚+2−1=1，故本小题正确； ②若𝑚<0，当𝑥>𝑥2时，𝑦<0，故本小题错误；
③∵抛物线𝑥轴交点的横坐标为𝑥1、𝑥2(𝑥1<𝑥2)，所以方程𝑚𝑥2+(2𝑚−1)𝑥−1=0有两个不相等的实数根𝑥1、𝑥2，故本小题正确；
④∵(𝑥1+1)(𝑥2+1)=𝑥1𝑥2+𝑥1+𝑥2+1=−
1𝑚
−
2𝑚−1𝑚
+1=−1<0，又𝑥1<𝑥2，
∴𝑥1+1<𝑥2+1，𝑥1+1<0，𝑥2+1>0，即𝑥1<−1，𝑥2>−1，故本小题正确； ⑤∵二次函数𝑦=𝑚𝑥2+(2𝑚−1)𝑥−1与𝑥轴交点的横坐标为𝑥1、𝑥2(𝑥1<𝑥2)， ∴𝑥1+𝑥2=
1−2𝑚𝑚
，𝑥1⋅𝑥2=−𝑚，
1−2𝑚2
)𝑚
1
∴𝑥2−𝑥1=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√(故答案为①③④⑤．
+4×𝑚=
1√1+4𝑚2|𝑚|
，故本小题正确．
直接根据抛物线与𝑥轴的交点问题、根与系数的关系对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是抛物线与𝑥轴的交点问题，熟知二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
19.答案：解：(1)当𝑥≥5时，原方程化为𝑥2−𝑥−2=0．
解这个方程，𝑥1=2，𝑥2=−1(均不合题意，舍去)． (2)当𝑥<5时，原方程化为𝑥2+𝑥−12=0． 解这个方程，𝑥1=−4，𝑥2=3． ∴原方程的根为𝑥1=−4，𝑥2=3．
解析：分𝑥≥5和𝑥<5两种情况，去掉绝对值号，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
20.答案：⃗ 𝐴𝐵，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐹 𝑏−𝑎⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ， 解析：解：(1)∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐹=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴+⃗⃗𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ ∴𝐵𝐹𝑏−𝑎⃗ ． 故答案为⃗ 𝑏−𝑎⃗ ； =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)如图所示，⃗𝐶𝐹𝑀．
(3)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐹． 故答案为⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐹．
(1)根据三角形法则计算即可；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所(2)作线段𝐴𝐶的垂直平分线垂足为𝐾，连接𝐹𝐾，由此𝐹𝐾到𝑀，速度𝐾𝑀=𝐹𝐾，连接𝐴𝑀，𝐹𝑀求．
(3)根据相反向量的定义即可判断：
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.答案：解：(1)共有6种等可能的结果，落回到圈𝐴的只有1种情况，
∴落回到圈𝐴的概率𝑃1=6； (2)画树状图为：
1
∵共有36种等可能的结果，最后落回到圈𝐴的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,6)， ∴小亮最后落回到圈𝐴的概率𝑃2=36=6． 解析：(1)直接利用概率公式求解；
(2)先画树状图得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，然后根据概率公式计算事件𝐴或事件𝐵的概率．
6
1
22.答案：解：(1)设扇形的弧长为𝑙米．
由题意可知，𝑙+2𝑟=20．
∴𝑙=20−2𝑟．
∴𝑆=(20−2𝑟)𝑟=−𝑟2+10𝑟．
21
其中4<𝑟<10．
(2)∵𝑆=−𝑟2+10𝑟=−(𝑟−5)2+25． ∴当𝑟=5时，𝑆最大值=25．
解析：(1)设扇形的弧长为𝑙米．利用已知条件可求出𝑙和𝑟的关系，再根据扇形的面积公式计算即可得到𝑆与𝑟的函数关系式；
(2)由(1)可知𝑠和𝑟为二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查了函数模型的选择与应用．此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大．
23.答案：解：(1)直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点𝐴(1,1)和点𝐵(−3,5)，
𝑘+𝑏=1
把𝐴(1,1)和点𝐵(−3,5)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏得：{，
−3𝑘+𝑏=5𝑘=−1
解得：{，
𝑏=2
∴直线𝐴𝐵所对应的函数表达式为𝑦=−𝑥+2； (2)把𝑥=4代入𝑦=−𝑥+2得：𝑦=−4+2=−2， ∴点(4,−2)在直线𝐴𝐵上．
解析：(1)把点𝐴、𝐵的坐标代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏求得𝑘，𝑏的值即可；
(2)把𝑥=4代入(1)求出的解析式，通过得出的𝑦值是否为−2判断点(4,−2)是否在直线𝐴𝐵上． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，准确掌握待定系数法是解决本题的关键．
24.答案：42.1−0.1(𝑥−1)；43−[42.1−0.1(𝑥−1)]；18
解析：解：(1)填表如下： 月销量(辆) 𝑥 每辆售价(万元) 43 每辆进价(万元) 42.1−0.1(𝑥−1) 每辆销售利润(万元) 43−[42.1−0.1(𝑥−1)] 当𝑥=8时，8×{43−[42.1−0.1×(8−1)]}=12.8万元； (2)根据题意得：𝑥[43−[42.1−0.1(𝑥−1)]=43.4, 解得𝑥=−4+15√2≈18，或𝑥=−4−15√2(舍去)， 答：至少要卖出18台𝐴型车．
故答案为：42.1−0.1(𝑥−1)，43−[42.1−0.1(𝑥−1)]；18． (1)根据实际进价=原进价−降低的价格列出函数关系式即可； (2)根据销售总利润=(售价−实际进价)×销售量列方程求解即可．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并列出方程．
25.答案：证明：(1)如图1，过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于点𝐻，
∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐶=∠𝐻𝐷𝐹=45°，且𝐹𝐻⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐻𝐷𝐹=∠𝐷𝐹𝐻=45°， ∴𝐷𝐻=𝐻𝐹， ∵𝐵𝐸⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐻𝐸𝐹=90°，且∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐵𝐸=90°， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐸𝐻𝐹中，
∠𝐴=∠𝐻=90°{∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐻𝐸𝐹, 𝐵𝐸=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐻𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆) ∴𝐴𝐵=𝐸𝐻，𝐴𝐸=𝐻𝐹，
∴𝐸𝐻=𝐸𝐷+𝐷𝐻=𝐸𝐷+𝐻𝐹=𝐸𝐷+𝐴𝐸=𝐴𝐷， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷；
(2)①如图2，在𝐴𝐵上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，连接𝐸𝐺，则∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐸𝐺．
∵∠𝐴=90°，∠𝐴+∠𝐴𝐺𝐸+∠𝐴𝐸𝐺=180°， ∴∠𝐴𝐺𝐸=45°． ∴∠𝐵𝐺𝐸=135°． ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐶+∠𝐷=180°． 又∵∠𝐶=45°， ∴∠𝐷=135°， ∴∠𝐵𝐺𝐸=∠𝐷． ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐺=𝐴𝐸， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐸． ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐸𝐹=90°．
又∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴𝐸𝐵=180°， ∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐸𝐹+∠𝐷𝐸𝐹=180°， ∠𝐴=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐸𝐹． 在△𝐵𝐺𝐸与△𝐸𝐷𝐹中，
∴△𝐵𝐺𝐸≌△𝐸𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐹；
②如图3，延长𝐵𝐴到𝐺，使𝐴𝐺=𝐴𝐸，
∵𝐴𝐸=𝐴𝐺，∠𝐸𝐴𝐺=90°，
{∠𝐵𝐺𝐸=∠𝐷𝐵𝐺=𝐷𝐸,∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐸𝐹
∴∠𝐴𝐺𝐸=45°， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐶=∠𝐸𝐷𝐹=45°， ∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐴𝐺𝐸， ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐹𝐸𝐷+∠𝐵𝐸𝐴=90°，且∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐴𝐸𝐵=90°， ∴∠𝐹𝐸𝐷=∠𝐸𝐵𝐴， ∵𝐴𝐸=𝐴𝐺，𝐴𝐵=𝐴𝐷，
∴𝐷𝐸=𝐵𝐺，且∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐴𝐺𝐸，∠𝐹𝐸𝐷=∠𝐸𝐵𝐴， ∴△𝐵𝐺𝐸≌△𝐸𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴) ∴𝐵𝐸=𝐸𝐹．
解析：本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于较难题．
(1)如图1，过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于点𝐻，由平行线的性质可证𝐷𝐻=𝐻𝐹，由“𝐴𝐴𝑆”可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐻𝐸𝐹，可得𝐴𝐵=𝐸𝐻，𝐴𝐸=𝐻𝐹，即可得𝐴𝐵=𝐴𝐷；
(2)①在𝐴𝐵上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，连接𝐸𝐺.由“𝐴𝑆𝐴”可证△𝐵𝐺𝐸≌△𝐸𝐷𝐹，由等三角形的性质即可得出𝐵𝐸=𝐸𝐹；
使𝐴𝐺=𝐴𝐸，由“𝐴𝑆𝐴”可证△𝐵𝐺𝐸≌△𝐸𝐷𝐹，由全等三角形的性质即可得出𝐵𝐸=𝐸𝐹． ②延长𝐵𝐴到𝐺，
26.答案：𝑦=−12𝑥+3
解析：解：(1)𝑦=−𝑥2+4𝑥+3=−(𝑥−2)2+7 所以对称轴为𝑥=2，所以𝐵(2,0) 当𝑥=0时，𝑦=3， 所以𝐴(0,3)；
(2)作𝐴′𝐹⊥𝑥轴于𝐹，由于二次函数的对称性，
5
𝑂𝐵=𝐹𝐵，𝐴𝑂=𝐴′𝐹 ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝐹𝐵=90°， △𝐵𝐹𝐴′≌△𝐵𝑂𝐴，设∠𝑂𝐴𝐵=𝛼，
∠𝑂′𝐵𝑂=𝜋−(∠𝐹𝐵𝐴′+∠𝑂′𝐵𝐴′)=2𝛼，所以𝑛=2 (3)延长𝐴′𝑂′与𝑥轴交于𝑀，
∠𝑀𝐵𝑂′=60°,𝑂′𝐵=𝑂𝐵=2,𝑀𝑂′=2√3
所以𝑆△𝐴′𝑀𝐵=2(𝑀𝑂′+𝑂′𝐴′)⋅𝑂′𝐵
=2√3+3
(4)连接𝑂𝑂′与𝐴𝐵交于𝐶，作𝑂′𝐸⊥𝑥轴于𝐸，
1
所以△𝐴𝑂𝐵∽△𝑂𝐸𝑂′～△𝑂𝐶𝐵，
所以𝑂𝐶=𝑂𝐴,𝑂𝐶=√13，𝑂′𝐸=13,𝑂𝐸=13，
𝑂𝐵
𝐴𝐵
624
36
所以𝑂′(13,13),𝐵(2,0)，
𝑘𝑂′𝐵
所以𝑘𝑂′𝐴′=−𝑘
1
3624
24
−01213== 36513−2
𝑂′𝐵
=−，
12
36
24
5
所以𝐴′𝑂′：𝑦=−12(𝑥−13)+13
=−
5
𝑥+3 12
5
(1)配方写成顶点式即可得到对称轴，从而求出𝐵的坐标；
(2)利用抛物线的对称性易知△𝐵𝐹𝐴′≌△𝐵𝑂𝐴，从而导出∠𝑂′𝐵𝑂与∠𝑂𝐴𝐵的关系；
(3)延长𝐴′𝑂′与𝑥轴交于𝑀，构造特殊的直角三角形，利用边的比值关系，先求出𝑀𝑂′，再求△𝐴′𝑀𝐵的面积；
(4)连接𝑂𝑂′与𝐴𝐵交于𝐶，作𝑂′𝐸⊥𝑥轴于𝐸，可得△𝐴𝑂𝐵∽△𝑂𝐸𝑂′～△𝑂𝐶𝐵，再利用对应边成比例可求出𝑂𝐶，𝑂′𝐸，𝑂𝐸，再求出𝐴′𝑂′的解析式．
本题主要考查相似在直角坐标系中的应用，关键利用旋转中哪些不变的量，再构造相似三角形．
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