人教版九年级下册第27章《相似三角形》导学案

【知识点一】 相似三角形的性质

1、相似三角形的对应角________，对应边________________；

2、相似三角形周长的比等于________，面积的比等于________________。

拓展：相似三角形对应边上的三线的比等于________，相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。

例1、如图所示，已知△ABC∽△ADE，AD = 8 cm，BD = 4 cm，BC = 15 cm，EC = 7 cm。求DE、AE的长。

1、已知△ABC∽△A'B'C'，如果AC = 3，A'C' = 1.8，那么△ABC与△A'B'C'的相似比为________。 2、如图1，在△ABC中，若∠AED = ∠B，DE = 6，AB = 10，AE = 8，则BC的长为（ ）

A、

15 4B、7 C、

15 2D、

24 53、如图2，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE = 60°，BD = 3，CE = 2，则△ABC的边长为（ ）

A、9 B、12 C、15 D、18

4、如图3，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE = 4：3，且BF = 2，则DF =_____。

图1 图2 图3

5、如图，已知DE∥BC，DF∥AC，AD = 4cm，BD = 8cm，DE = 5cm，求线段BF的长。

6、如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB = 10，AC = 2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BF相交于点D，若BD = 8，则AP的长是多少？

例2、已知△ABC∽△A'B'C'，

AB2，且△A'B'C'的周长为30cm，△ABC的面积是40 cm2。 A'B'3求：（1）△ABC的周长；（2）△A'B'C'的面积。

7、已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 。 8、已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 。 9、两个相似菱形的相似比为2：3，周长之差为13 cm，则这两个菱形的周长分别为________和________。 10、如图1所示，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长为（ ） A、5cm

B、10cm

C、12cm

D、15cm

11、如图2，在△ABC中，EF∥BC， A、9 B、10 AE1，S四边形BCFE = 8，则S△ABC = （ ） EB2C、12 D、13 12、如图3，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：（1）DE = 1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）

A、0 个

B、1个

C、2 个

D、3个

13、如图4，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF = 4：25，则DE：EC = （ ）

A、2：5

B、2：3

C、3：5

D、3：2

*14、如图5，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49。则△ABC的面积是________。

图1 图2 图3 图4 图5

15、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE1EC，BD、AE相交于F点。 2（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比；（2）若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD。

【知识点二】 相似三角形的实际应用

1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。

2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。

例3、如图6为了估算河的宽度，我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，记BC与AE的交点为D，测得BD = 120米，DC = 60米，EC = 50米，则AB = ________。

16、如图7，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ）

A、2.7 m

B、1.8 m

C、0.9 m

D、6 m

17、小玉同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图8所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）

A、50cm

B、5000cm

C、60cm

D、600cm

图6 图7 图8 图9 18、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图9），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）米

A、10

B、12

C、15

D、22.5

19、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部 （点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米。

例4、如图所示，小明为了测量一棵松树的高度，找来一根钓竿AB，移动AB的位置， 使自己的眼睛、竹竿顶A、树顶D恰好在一条直线上，已知小明身高为150 cm，量得竹 竿的高度为3 m，MB = 2 m，NB = 6 m，你能帮助小明计算出松树的高度吗？

20、如图，在地面上放一面镜子，一人能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请人协助量了镜子与教学楼的距离EA = 21米，以及他与镜子的距离CE = 2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC = 1.6米，请计算出教学楼的高度。

【知识点三】 位似

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________________。这时的相似比又称为________________。

相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 位似中心的位置：可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形一侧，也可能位于两图形内。 位似中心的确定：根据：“对应点的连线都经过位似中心”的特点确定位似中心的位置。 例5、如图，哪些是位似图形？哪些不是位似图形？如果是位似图形，请找出各自的位似中心。

【知识点四】 位似图形的性质

①、位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质； ②、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。

例6、如图，O是等边三角形△ABC的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）

A、2，点P

B、

1，点P 2C、2，点O D、

1，点O 221、如图1，△ABC与△DEF位似，且A是OD中点，则

BC（ ） EFD、

A、

1 2B、

1 3C、

1 42 322、三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图2所示）。现测得OA20cm，OA50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 。

23、如图3，△ABC与△A′B′C ′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2A A′,S△ABC=8，则S△A′B′C ′=________。 24、如图4，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 。

图1 图2 图3 图4

【知识点五】 利用位似变换作图，放大或缩小图形

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。

画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。

例4、如图，四边形ABCD的个位似图形是四边形A'B'C'D'，且A、B、C、D的对应点分别是A'、B'、C'、D'，图形中给出了AB的对应边A'B'所在的位置，请把四边形A'B'C'D'其余部分补画上。

25、如左下图，已知△ABC与△ABC外一点O，将△ABC以O为位似中心，缩小为原来的一半。

26、如右上图，画出矩形MNPQ以O为位似，相似比为

1的位似图形。 2【知识点六】 图形的变换与坐标

1、平移：

（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标右加，左减； （2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 2、轴对称

（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数； （2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 3、以原点为位似中心的位似变换

在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为m,n，则其位似图形对应点的坐标为________________或________________。

例5、已知E4，2，F1，1，以原点O为位似中心，相似比为1:2，把△EFO缩小，则点E的对应点E’的坐标为__________________。（注意此题不要漏解）

27、已知ABC的三个顶点坐标分别为A（2,2）、B（4,2）、C、（6、4），以原点O为位似中心，试将ABC缩小为ABC，若缩小后的三角形ABC与原三角形ABC的对应边的比为1:2，则A、B、C三点坐标分别可以为（ ）

A、（2,1），（4,1），（6、4）

B、（

13，1），（1,1），（，2） 22

C、（1，

11），（2、），（3,1） 22D、（1、1），（2,1），（3,2）