2018年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 1+2𝑖
1−2𝑖=( ) A.−4
35−5𝑖 B.−43
34
5+5𝑖
C.−34
5−5𝑖
D.−5+5𝑖
2. 已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2≤3，𝑥∈𝐙，𝑦∈𝐙}，则𝐴中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4
3. 函数𝑓(𝑥)=
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑥2的图像大致为( )
A. B.
C. D.
4. 已知向量𝑎→
，𝑏→
满足|𝑎→|=1，𝑎→
⋅𝑏→
=−1，则𝑎→⋅(2𝑎→
−𝑏→
)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0
5. 双曲线𝑥2
𝑦2
𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( ) A.𝑦=±√3𝑥 B.𝑦=±√2𝑥 C.𝑦=±
√22
𝑥 D.𝑦=±
√32
𝑥
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6. 在△𝐴𝐵𝐶中，cos=
2𝐶
√5，𝐵𝐶5
=1，𝐴𝐶=5，则𝐴𝐵=（ ）
C.√29 D.2√5 A.4√2
B.√30
7. 为计算𝑆=1−+−+...+
2
3
4
111199
−
1
100
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填
入( )
A.𝑖=𝑖+1
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A.12
9. 在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，𝐴𝐴1=√3，则异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角的余弦值为（ ） A.5
10. 若𝑓(𝑥)=cos𝑥−sin𝑥在[−𝑎, 𝑎]是减函数，则𝑎的最大值是（ ） A. 4𝜋11
B.𝑖=𝑖+2 C.𝑖=𝑖+3 D.𝑖=𝑖+4
B.14
1
C.15
1
D.18
1
B.6
√5C.5
√5D.2 √2B.
2
𝜋
C.
4
3𝜋
D.𝜋
11. 已知𝑓(𝑥)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)，若𝑓(1)=2，则𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+...+𝑓(50)=( ) A.−50
B.0
C.2
D.50
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12. 已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝐶:𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，𝐴是𝐶的左顶点，点𝑃在过𝐴且斜率为的直线上，△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形，∠𝐹1𝐹2𝑃=120∘，则𝐶的离心率为（ ） A.3
2
√36
𝑥2
𝑦2
B.2 1
C.3 1
D.4 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线𝑦＝2ln(𝑥+1)在点(0, 0)处的切线方程为________．
𝑥+2𝑦−5≥0
14. 若𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥−2𝑦+3≥0，则𝑧=𝑥+𝑦的最大值为________．
𝑥−5≤0
15. 已知sin𝛼+cos𝛽=1，cos𝛼+sin𝛽=0，则sin(𝛼+𝛽)=________．
16. 已知圆锥的顶点为𝑆，母线𝑆𝐴，𝑆𝐵所成角的余弦值为8，𝑆𝐴与圆锥底面所成角为45∘．若△𝑆𝐴𝐵的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
17. 记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=−7，𝑆3=−15． (1)求{𝑎𝑛}的通项公式；
(2)求𝑆𝑛，并求𝑆𝑛的最小值．
18. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额𝑦（单位：亿元）的折线图．
7
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了𝑦与时间变量𝑡的两个线性回归
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模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量𝑡的值依次为1，2，⋯，17）建立模型①：𝑦̂=−30.4+13.5𝑡；根据2010年至2016年的数据（时间变量𝑡的值依次为1，2，⋯，7）建立模型②：𝑦̂=99+17.5𝑡． (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值．
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19. 设抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘(𝑘>0)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，|𝐴𝐵|=8． (1)求𝑙的方程；
(2)求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程．
20. 如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐴𝐶=4，𝑂为𝐴𝐶的中点．
(1)证明：𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶；
(2)若点𝑀在棱𝐵𝐶上，且二面角𝑀−𝑃𝐴−𝐶为30∘，求𝑃𝐶与平面𝑃𝐴𝑀所成角的正弦值．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥2．
(1)若𝑎=1，证明：当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)≥1；
(2)若𝑓(𝑥)在(0, +∞)只有一个零点，求𝑎．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
𝑥=2cos𝜃，22. 在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为{（𝜃为参数），直线𝑙的参数
𝑦=4sin𝜃𝑥=1+𝑡cos𝛼，方程为{（𝑡为参数）． 𝑦=2+𝑡sin𝛼
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(1)求𝐶和𝑙的直角坐标方程；
(2)若曲线𝐶截直线𝑙所得线段的中点坐标为(1, 2)，求𝑙的斜率． [选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数𝑓(𝑥)＝5−|𝑥+𝑎|−|𝑥−2|． （1）当𝑎＝1时，求不等式𝑓(𝑥)≥0的解集；
（2）若𝑓(𝑥)≤1，求𝑎的取值范围．
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参考答案与试题解析
2018年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.
【答案】 D 2. 【答案】 A 3. 【答案】 B 4. 【答案】 B 5. 【答案】 B 6. 【答案】 A 7. 【答案】 B 8. 【答案】 C 9. 【答案】 C 10. 【答案】 A 11. 【答案】 C 12. 【答案】 D
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 【答案】 𝑦＝2𝑥 14. 【答案】 9 15. 【答案】 1− 216. 【答案】
40√2𝜋
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
17.
【答案】
解：(1)∵ 等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=−7，𝑆3=−15， ∴ 𝑎1=−7，3𝑎1+3𝑑=−15，解得𝑎1=−7，𝑑=2， ∴ 𝑎𝑛=−7+2(𝑛−1)=2𝑛−9； (2)∵ 𝑎1=−7，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−9，
∴ 𝑆𝑛=2(𝑎1+𝑎𝑛)=2(2𝑛2−16𝑛)=𝑛2−8𝑛=(𝑛−4)2−16， ∴ 当𝑛=4时，前𝑛项的和𝑆𝑛取得最小值为−16． 18.
【答案】
解：(1)根据模型①：𝑦̂=−30.4+13.5𝑡， 计算𝑡=19时，𝑦̂=−30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元， 根据模型②：𝑦̂=99+17.5𝑡， 计算𝑡=9时，𝑦̂=99+17.5×9=256.5；
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元. (2)模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以利用模型②的预测值更可靠些． 19.
【答案】
解：(1)抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹(1, 0)， 当直线的斜率不存在时，|𝐴𝐵|=4，不满足；
设直线𝐴𝐵的方程为：𝑦=𝑘(𝑥−1)，设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，
𝑛
1
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𝑦=𝑘(𝑥−1)，则{
𝑦2=4𝑥，整理得：𝑘2𝑥2−2(𝑘2+2)𝑥+𝑘2=0， 则𝑥1+𝑥2=
2(𝑘2+2)𝑘2，𝑥1𝑥2=1，
2(𝑘2+2)𝑘2
由|𝐴𝐵|=𝑥1+𝑥2+𝑝=
+2=8，
解得：𝑘2=1，则𝑘=1，𝑘=−1（舍去）. ∴ 直线𝑙的方程𝑦=𝑥−1. (2)
由(1)可得𝐴𝐵的中点坐标为𝐷(3, 2)，
则直线𝐴𝐵的垂直平分线方程为𝑦−2=−(𝑥−3)，即𝑦=−𝑥+5， 设所求圆的圆心坐标为(𝑥0, 𝑦0)，则{𝑥0=3，𝑥0=11，解得：{或{
𝑦0=2，𝑦0=−6，因此，所求圆的方程为(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=16或(𝑥−11)2+(𝑦+6)2=144． 20.
【答案】
解：(1)证明：连接𝐵𝑂，如图：
𝑦0=−𝑥0+5，(𝑥0+1)2=
(𝑦0−𝑥0+1)2
2
+16，
∵ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2，𝑂是𝐴𝐶的中点， ∴ 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，且𝐵𝑂=2， 又𝑃𝐴=𝑃𝐶=𝑃𝐵=𝐴𝐶=4，
∴ 𝑃𝑂⊥𝐴𝐶，𝑃𝑂=2√3， 则𝑃𝐵2=𝑃𝑂2+𝐵𝑂2， 则𝑃𝑂⊥𝑂𝐵，
∵ 𝑂𝐵∩𝐴𝐶=𝑂， ∴ 𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶；
(2)建立以𝑂为坐标原点，𝑂𝐵，𝑂𝐶，𝑂𝑃分别为𝑥，𝑦，𝑧轴的空间直角坐标系如图：
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𝐴(0, −2, 0)，𝑃(0, 0, 2√3)，𝐶(0, 2, 0)，𝐵(2, 0, 0)， 𝐵𝐶=(−2, 2, 0)，
设𝐵𝑀=𝜆𝐵𝐶=(−2𝜆, 2𝜆, 0)，0<𝜆<1， 则𝐴𝑀=𝐵𝑀−𝐵𝐴
=(−2𝜆, 2𝜆, 0)−(−2, −2, 0)=(2−2𝜆, 2𝜆+2, 0)， 则平面𝑃𝐴𝐶的法向量为𝑚=(1, 0, 0)， 设平面𝑀𝑃𝐴的法向量为𝑛=(𝑥, 𝑦, 𝑧)， 则𝑃𝐴=(0, −2, −2√3)，
则𝑛⋅𝑃𝐴=−2𝑦−2√3𝑧=0，𝑛⋅𝐴𝑀=(2−2𝜆)𝑥+(2𝜆+2)𝑦=0 令𝑧=1，则𝑦=−√3，𝑥=即𝑛=(
→
(𝜆+1)√3
, −√3, 1)， 1−𝜆
(𝜆+1)√3
， 1−𝜆
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
∵ 二面角𝑀−𝑃𝐴−𝐶为30∘， ∴ cos30=
∘
|𝑚||𝑛|
→→
𝑚⋅𝑛
→→
==
√3
， 2√3， 2
即(𝜆+1)√3
1−𝜆√(
𝜆+1⋅√3)2+1+3×11−𝜆
解得𝜆=或𝜆=3（舍），
3
1
则平面𝑀𝑃𝐴的法向量𝑛=(2√3, −√3, 1)， 𝑃𝐶=(0, 2, −2√3)，
𝑃𝐶与平面𝑃𝐴𝑀所成角的正弦值 sin𝜃=|cos<𝑃𝐶，𝑛>| =|
−2√3−2√3
|4×4
→
→
→
→
=
4√316
=
√3． 4
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21.
【答案】
(1)证明：当𝑎=1时，
𝑓(𝑥)≥1等价于(𝑥2+1)𝑒−𝑥−1≤0， 设函数𝑔(𝑥)=(𝑥2+1)𝑒−𝑥−1，
则𝑔′(𝑥)=−(𝑥2−2𝑥+1)𝑒−𝑥=−(𝑥−1)2𝑒−𝑥． 当𝑥≠1时，𝑔′(𝑥)<0，
所以𝑔(𝑥)在(0,+∞)单调递减， 而𝑔(0)=0，
故当𝑥≥0时，𝑔(𝑥)≤0， 即𝑓(𝑥)≥1．
(2)解：设函数ℎ(𝑥)=1−𝑎𝑥2𝑒−𝑥． 𝑓(𝑥)在(0,+∞)只有一个零点
当且仅当ℎ(𝑥)在(0,+∞)只有一个零点． (i）当𝑎≤0时，ℎ(𝑥)>0，ℎ(𝑥)没有零点． (ⅱ)当𝑎>0时，ℎ′(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥−2)𝑒−𝑥． 当𝑥∈(0,2)时，ℎ′(𝑥)<0； 当𝑥∈(2,+∞)时，ℎ′(𝑥)>0． 所以ℎ(𝑥)在(0,2)单调递减， 在(2,+∞)单调递增．
故ℎ(2)=1−𝑒2是ℎ(𝑥)在[0,+∞)的最小值． ①若ℎ(2)>0，即𝑎<
𝑒24
4𝑎
，
ℎ(𝑥)在(0,+∞)没有零点； ②若ℎ(2)=0，即𝑎=
𝑒24
，
ℎ(𝑥)在(0,+∞)只有一个零点； ③若ℎ(2)<0，即𝑎>
𝑒24
，
由于ℎ(0)=1，
所以ℎ(𝑥)在(0,2)有一个零点， 由(1)知，
当𝑥>0时，𝑒𝑥>𝑥2， 所以ℎ(4𝑎)=1−
16𝑎3𝑒4𝑎
=1−
16𝑎3(𝑒2𝑎)2
>1−
16𝑎3(2𝑎)4
=1−>0，
𝑎
1
故ℎ(𝑥)在(2,4𝑎)有一个零点， 因此ℎ(𝑥)在(0,+∞)有两个零点．
综上，𝑓(𝑥)在(0,+∞)只有一个零点时，𝑎=
𝑒24
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.
【答案】
解：(1)曲线𝐶的参数方程为{
𝑥=2cos𝜃，（𝜃为参数）
𝑦=4sin𝜃
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转换为直角坐标方程为：16+直线𝑙的参数方程为{
𝑦2
𝑥24
=1．
𝑥=1+𝑡cos𝛼，（𝑡为参数） 𝑦=2+𝑡sin𝛼
当cos𝛼≠0时，𝑙的直角坐标方程为𝑦=tan𝛼⋅𝑥+2−tan𝛼， 当cos𝛼=0时，𝑙的直角坐标方程为𝑥=1. (2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
(2+𝑡sin𝛼)2
16
+
(1+𝑡cos𝛼)2
4
=1，
整理得：(4cos2𝛼+sin2𝛼)𝑡2+(8cos𝛼+4sin𝛼)𝑡−8=0， 则：𝑡1+𝑡2=−
8cos𝛼+4sin𝛼4cos2𝛼+sin2𝛼
，
由于(1, 2)为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，𝑥=1． ②当直线的斜率存在时，则：8cos𝛼+4sin𝛼=0， 解得：tan𝛼=−2，
即：直线𝑙的斜率为−2． [选修4-5：不等式选讲] 23.
【答案】
2𝑥+4,𝑥≤−1
当𝑎＝1时，𝑓(𝑥)＝5−|𝑥+1|−|𝑥−2|={2,−1<𝑥<2 ．
−2𝑥+6,𝑥≥2当𝑥≤−1时，𝑓(𝑥)＝2𝑥+4≥0，解得−2≤𝑥≤−1， 当−1<𝑥<2时，𝑓(𝑥)＝2≥0恒成立，即−1<𝑥<2， 当𝑥≥2时，𝑓(𝑥)＝−2𝑥+6≥0，解得2≤𝑥≤3， 综上所述不等式𝑓(𝑥)≥0的解集为[−2, 3]， ∵ 𝑓(𝑥)≤1，
∴ 5−|𝑥+𝑎|−|𝑥−2|≤1， ∴ |𝑥+𝑎|+|𝑥−2|≥4，
∴ |𝑥+𝑎|+|𝑥−2|＝|𝑥+𝑎|+|2−𝑥|≥|𝑥+𝑎+2−𝑥|＝|𝑎+2|， ∴ |𝑎+2|≥4，
解得𝑎≤−6或𝑎≥2，
故𝑎的取值范围(−∞, −6]∪[2, +∞)．
𝑡1+𝑡22
=0，
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