一题三解,易懂简捷——对2008年辽宁高考题(理)22题审题与解答探索

２．黝　援＇　皇　荡　．绣　中学数学杂志２００８年第１１期　一　±　．　±　一　￣／　ｎ＋３　２ｎ＋１　！　±１　２　、　注：证法１用的是放缩法，证法２用的是均值不　ａ　ｖ／４ｎ　＋８　＋３　—　＝ｌ，故口　＞。　，即数列｛口　｝单调　等式法，证法３、４用的是综合分析法，证法５用的是　数学归纳法，证法６、７用的是构造法，分别用到了数　列的单调性和恒等变形及放缩．　４　启发　０４／ｇ＇。　８ｎ　４　递增，Ｙ．ａ２＝　吾，所以Ⅱ　＞口２＞１，即（１＋１）（１＋　ｊ　４５　从上述对不等式①的渊源分析及解法分析来　看，今年福建的这个题目的命制的确是推陈出新，别　１（１＋　１）…（１＋　）＞　具一格，综合很多数学知识点不说，还横跨两个世纪　证法７　令Ｓ　＝、　，则Ｓ　＝　，　中的三十个年代，这样的命题风格不仅彰显了命题　而　Ｓｎ人的智慧，而且还警示我们用题海战术处理高考复　＝—　ｖ／￣　＋ｌ＜　＝１＋　，从而ｓ　＝　习是徒劳的，教师必须高瞻远瞩地研究和探讨历年　Ｓ３Ｓ２高考经典试题，分析这些题目的背景及更深层次的　Ｓ　・　Ｓ　…　・　ｎ　１’　东西，挖掘其数学思想和方法，从内涵和外延两个角　ｌ　ｎ一２　Ｊｓ２　Ｓｌ　＜（１＋２　‘　‘　’　一　）（１＋　）．．．（１＋　１）（１＋　）（１＋１），ＵＰ（１＋　１＋　度去认识和理解，这样我们的高考复习既高效，又省　力．　了１）（１＋　１）…（１＋　）＞　一题三解，易懂简捷　——对２００８年辽宁高考题（理）２２题审题与解答探索　大连开发区大治学校　ｌ１６６００　张治中　对于２００８年辽宁高考题（理）２２题，在（（２００８全　集为（０，＋∞），则是在增减过程的基础上，实质是　国高考试题全编（理）》北京教育出版社，２００８年６　对函数变化趋势的定量考察．试题体现了从有限进　月第三版、及各网站提供的答案教条笨拙以至于出　入无限思想方法的核心价值．但是，对参考答案采　现错误，给后继学习者带来困惑，现将易懂的四种方　用静止的思想与方法，有悖于试题的过程与趋势主　法献给大家的同时，对导数最有核心价值的思想方　旨．因为定义域　∈（０，＋∞），只要证明　）在Ｙ　法在中学数学中如何运用，给予可行的方法探索．　ｒ—－ａ直线的上方，以它为渐近线（包括个别点相交）　１一　，　原题与审题：设函数　）＝　一ｌｎｘ＋ｌｎ（ｘ　即可．　１十　＋ｌ、　解法１（１　（　）＝　一　一÷　（１）求．厂（　）的单调区间和极值；　ｌ　ｌｎｘ　（２）是否存在实数ａ，使得关于　的不等式＿厂（　）　＋　一　≥ａ的解集为（０，＋∞）？若存在，求ａ的取值范围；　当　∈（０，１）时　（　）＞０　）递增；　若不存在，试说明理由．　当　∈（１，＋ｏ。）时　（　）＜０　）递减；　对（１），单调区间实质是函数的变化过程　）　当　＝ｌ时　（　）＝０，所以　）的极大值＝　是由基本函数组成的，但形式复杂，导数是解决这种　，（　）…＝　１）＝ｌｎ２，　形式的有效工具．增减性与极值在定义域内均可由　）的极小值＝　）　ｉ　，当　一＋。。时有极小　ｆ　（　）的数量特征来确定．据以往求导经验，明确对　值（详解见解法２（２））．　函数求导的简洁型态是分离．因此，直接求导，为解　题争取到了充分的时间．对（２），探求厂（　）≥ａ的解　（２）　＝　鲁　５４　中学数学杂志２００８年第１１期　Ｕ．　戳毛＿尼　％　ｌ＋　②设　＝ｅ～，若　一０时，则ｔ一十。。　ｒ（ｔ）　—　）＝　由定义域　＞０，１＋　＞０分子也大于零，所以　）＞０，若口≤０时，在定义域（０，＋∞）上　ｘ）＞　＋ｔ＋Ｉｎ（ｅ　＋１）＝一ｔ＋　＋Ｉｎ（０＋　０，即存在口≤０　（Ｏ，１）时　）的图象在Ｙ＝口的直线上方．　１）＝０，　解法２　（１）同上．（２），①由（１）得，当戈∈　）递增．　综上，在（０，＋∞）上　足　）≥口，即０≤０．　）≥０，若０≤０，则满　但　由１向０的右侧无限接近时　）递减且得　同时，当　一＋∞时，　）得极小值＝　）极　最小极限值．所以当　一０　时，　ｌｎｘ　ｌｎｘ　ｙ　似，　设Ｙ２＝一ｌｎｘ，　Ｙ３＝Ｉｎ（　＋１）＝ｌｎｌ＝０，　厂（　）＝Ｙｌ＋Ｙ２＋Ｙ３＝０．　②当　∈（１，＋∞）时　）为减函数，当　一＋　∞时，　：　＋１（无限的近似就是精确核心理念），所　以，，２＋Ｙ３＝０．　）得最小值＝　）极限值．　Ｙ　＝　的分子、分母都为正值增函数，凸凹　１．ｒ　性不变，且分子起点低于分母的起点．而分子增长　１　率（１ｎ　）　＝　，分子的值虽然趋近正无穷，但是增　长速度却越来越小；分母增长率（１＋　）　＝１，分母　的值一直以１增长速度为正无穷，当　一＋∞时，分　母远大于分子．即当　一＋∞时，Ｙ　＝０．所以　）　＝Ｙ。＋Ｙ２＋Ｙ　＝０．取０≤０，贝０在（０，＋∞）内，（　）　≥０．　同时，当　一＋∞时，　）得极小值＝　）极　限值＝０．这样在过程和趋势中，发现了极小值的　定性存在和确切的数量，原参考答案的错误在于：用　孤立、静止的思想和方法，所以找不到开区间的函数　极值，没有领会从有限进入无限是导数核心价值的　思想方法．　解法３　（１）同上．（２）①当　一＋ｏ。时，ｌｎｘ＝　Ｉｎ（　＋１）．　设　＝ｅ　，若　＿÷＋∞，贝０　ｔ　一　一＋∞．　）＝ｇ（　）：南一　｛　／　／ｙ：Ｈｆ）　＋ｔ　（ｆ）　／　／　ｔ＋ｔ＝——．　１＋ｅ　～　／　Ｄ　ｒｔ　设ｈ（ｔ）＝ｔ；Ｊｊ｝（ｔ）＝１＋ｅ‘．　在同一坐标系的图像中，如图１．　图１　当ｔ一＋　时，ｋ（ｔ）绝大于ｈ（ｔ），所以　）＝　限值＝０．　小结　把过程与趋势结合到底，坚决贯彻直观　与抽象结合的原则（在认识论上，相当于实事求是，　一切从实际发），是中学数学解决从有限到无限问　题最基本的思想和最有效的方法．坚定这种态度和　理念，就可以使解题方法多样又贯通易懂，超越了极　值初级的概念形式约束，进入极值的本质，使形态的　数量过程与整体数量趋势清晰、准确地描述出来，如　图２．　图２　其中解法１，是从极值点　＝１切人，通过增减　过程与趋势和对　）整理，直觉判断函数的极小值　存在（单调有界函数），这种感悟来源于动态直觉，　直达定性存在．这与新教材的基本精神一致，摆脱　了闭区间概念形式的纠缠，得出了函数极小值存在　的正确判断．不过整理采用静止的方法，对极小值　数量和０的上限难于准确判断，然而，从有限到无限　最基本思想方法的过渡，应是中学教师与学生坚实　的数学理性品质．　解法２，坚决把过程与趋势结合到底，采用直观　与抽象、分析与综合的方法，牢固无限近似与精确辩　证关系的理念，把无限趋势的蕴涵，用通俗易懂的方　法得以体现．既超越了概念形式的约束，又真正实　现了易懂、正确、简捷的解题．　解法３，是过程和趋势结合探求中，由试值到换　元的自然构造，加深（顺应）了当前逻辑习惯．但　是，没有过程与趋势结合，抽象也是“言之无文　（理），行之不远”．教学实践表明，上述三种解题案　例的可行性来源于高中学生可接受性，是培养优质　的数学理性品质与能力的尝试．　ＳＳ