一、选择题（每小题3分，共15分）
1． 设函数f(x,y)=|xy|，则f(x,y)在(0,0)点 【 】
(A) 连续，且可偏导. (B) 沿任何方向的方向导数都存在. (C) 可微，且df
(0,0)
=0. (D) (fxx,y)和fy(x,y)在(0,0)点连续.
2． 曲线x=t,y=−t2,z=t3在参数t=1的点处的切线到原点的距离为【 】
(A)
21314. (C)3. (D)14. . (B)
77
3． 设二元函数f(x,y)=x3+y3−3xy+2, 则下列结论正确的是 【 】
(A) f(0,0)为极大值. (B) f(1,1)为极大值. (C) f(0,0)为极小值. (D) f(1,1)为极小值.
4． 设f(x)为连续函数, F(t)=∫dy∫f(x)dx, 则F'(2)等于 【 】
1
y
t
t
(A)2f(2). (B)f(2). (C)−f(2). (D) 0. 5． 极限lim+
r→0
1r2
x2+y2≤r2
∫∫
ex
2
+y2
cos(x+y)dxdy等于 【 】
(A) 0. (B)
1
. (C) 1. (D)π. π
二、填空题（第6～9小题请将答案直接填在横线上；每小题3分，共12分） 6． 函数z=(1+xy)y在点(1,1)处的全微分dz(1,1)= . 7． 若曲面z=x2+y2在P点的切平面与平面x−y−2z=2和2x−y−3=0都
垂直，则该切平面的方程为 . 8． 交换二次积分次序：∫dx∫12
xxf(x,y)dy+∫dx∫2
42xf(x,y)dy= .
9． 设Ω:x2+y2+z2≤R2(z≥0)，则∫∫∫[1+xln(1+x2+y2+z2)]dxdydz= . Ω
三、计算各题（每小题8分，共24分） 10． 计算lim
y→1
ln(1+xy)
.
x→0x
1
11． 已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，又z(x,y)=sin
x
+f(xy,x+y)，求y
∂z∂2z,. ∂x∂x∂y
12． 设z=z(x,y)是由方程2x2+2y2+z2+8yz−z+8=0确定的，并满足
∂z∂2z
z(0,−2)=1的隐函数. 求及
∂x(0,−2)∂x2
.
(0,−2)
四、计算下列重积分（每小题8分，共24分） 13． ∫∫x−ydxdy，其中D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0.
D
14． ∫∫∫(z−1+y)dxdydz，其中Ω是以A(0,0,1)，B(1,0,2)，C(0,1,2)和D(0,0,2)为
Ω
顶点的棱锥.
22⎛(x−a)2
(ybz−c)⎞2−⎟dxdydz. ⎜−+15． ∫∫∫222
⎟⎜abcx2y2z2⎝⎠+2+2≤12c
b
a
()五、（本题共9分）
16． 试求定义在全平面上的函数f(x,y)=x2+2y2−2x−8y+5在有界闭区域
D:x2+2y2≤1上的最大值和最小值，并问该最值是否同时也为f(x,y)的极值？
六、应用题（本题8分）
17． 曲面z=13−x2−y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分，求这三部分曲面
的面积之比. 七、（本题共8分）
x2y218． 设一大剧院的顶部是一个半椭球面S,其方程为z=41−−.
1636(1) 设M(x,y)为S在xOy面投影区域内一点,问函数z在M点沿平面上什么方向的方向导数最小?
(2) 求下雨时过剧院房顶上点P(1,3,11)处的雨水流下的轨迹方程(假设雨水沿着z下降最快的方向下流).
2
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