数列求和的常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： na1＋annn－1Sn＝＝na1＋d；

22(2)等比数列的前n项和公式：

na1，q＝1，n

Sn＝a1－anqa11－q

1－q＝1－q，q≠1.

2．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 三个公式 (1)1111111＝－；(2)＝－

nn＋1nn＋12n－12n＋122n－12n＋11

；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n. 1．(2011·北京海淀模拟)等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列

Sn

的前n

10项的和为( )．

A．120 B．70 C．75 D．100

2．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，„)”是“{an}为递增数列”的( )． A．必要不充分条件 C．必要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．(2011·绵阳模拟)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是

B.

C.

( )．

865

8

825

8

A．103 D．108

4．(2011·四川)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )． A．0

B．3

C．8

D．11

115．(2011·合肥三检)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.

2an6．(2011·温州模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为

( )． D．44

A．12 B．18 C．22

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )． A．6

B．7

C．8

D．9

7．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9等于( )． A．66

B．99

C．144

D．297

8．(★)(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )． A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XY

B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

2

9．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝

( )．

A．52 B．7 C．6 D．42

10．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于

( )．

A．31 B．32 C．33 D．34

11．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )．

A．1 B．9 C．10 D．55

112已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为( )．

5A．4

B．5

4

C. 5

1D. 5

13．(2011·重庆)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. (2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．

14已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝________. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为( )．

15．(★)(11分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围．

16．(★)(10分)在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23. (1)求an；

(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．

1117．(12分)(2011·全国新课标)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.

331－an

(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；

2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

3

18．(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式． 119►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. 2(1)求证：

1

是等差数列； Sn

(2)求an的表达式．

20. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足： 1

Sn＝(an＋2)2.

8

(1)求证：{an}为等差数列．

1

(2)若bn＝an－30.求数列{bn}的前n项和的最小值．

2

32

21.等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．

9(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

an＋an＋1

22.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.

2(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．

23.►在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足(1)求Sn的表达式； (2)设bn＝

Sn

，求{bn}的前n项和Tn. 2n＋1

12

Sn＝anSn－.



224．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列

an

n－1的前n项和． 2

4