巧添平行线解题试题-八年级数学上册专题讲练突破

巧添平行线解题

一、平行线的性质与判定

对比理解：

二、拐角处巧添平行线

在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角。

如（1）如图所示，直线AE//CD，EBF=135°，BFD=60°，则D等于（ ）

A. 75°

B. 45°

C. 30°

D. 15°

解析：由图形可看出，在两条平行线AE、CD之间出现了一个转折角，即BFD，因此我们可以过点F作与AE、CD平行的直线GH，则EBF+HFB=180°，HFD=D。

因为EBF=135°，所以BFH=45°

又因为BFD=60°，所以HFD=15°，所以D=15° 答案：D

（2）如图所示，AB//CD，若ABE=120°，DCE=35°，则BEC=_____________度。

解析：题中出现转折角，即BEC，可过点E作与AB、CD平行的直线FG，则ABE +BEF=180°，

FEC=ECD。

∵ABE=120°，DCE=35° ∴BEF=60°，FEC=35°

所以BEC=BEF+FEC=60°+35°=95° 答案：95°

例题1 如图所示。AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C。

解析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB。若能将∠1、∠2、∠C“集中”到一个顶点处，则有∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1－∠2=2∠2=50°。

答案：解：过F到FG∥CB，交AB于G

∴∠C=∠AFG（同位角相等） ∴∠2=∠BFG（内错角相等） ∵AE∥BD

∴∠1=∠BFA（内错角相等） ∴∠C=∠AFG=∠BFA－∠BFG =∠1－∠2=3∠2－∠2 =2∠2=50°。

故答案为50°。

点拨：运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧。角的等量代换的运用是正确解答本题的关键。

例题2 一块四边形的地（如图）（EO∥FK，OH∥KG）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的。（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时。那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明。

解析：①延长EO和FK，即得所求新渠；②连接EH，FG。过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。比较两种作法，即可求出最节省工时的方法。

答案：解：由下图知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠。这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同。即新渠占地面积与原渠面积相等。而且只挖了△KGM这么大的一块地。

我们再看另一种方法，如下图，作法：①连接EH，FG。 ②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。 ③连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。 又EH∥ON，

∴△EOH面积=△FNH面积。

从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多。即新渠面积与原渠的面积相等。

由图可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）。 故应选第一种方法。

点拨：本题考查了平行线的性质及三角形的面积求法，难度较大，注意平行线性质的熟练运用。

学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。

满分训练 如图，直线a∥b，直线AB交a与b于A、B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°。

解析：由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=180°， 那么

1(12)90°， 2过C点作直线l，使l∥a（或b）即可通过平行线的性质得到

1112与C相等， 22从而实现等角转移。 答案：

证明：过C点作直线l，使l∥a ∵a∥b ∴b∥l

∴∠1+∠2=180°（同旁内角互补） ∵AC平分∠1，BC平分∠2 ∴CAE111,CBF2 22又∵3CAE,4CBF（内错角相等） ∴34CAECBF∴C3490°。

1(12)90° 2

点拨：灵活添加平行线，熟悉平行线的性质和角平分线的性质的应用。两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

*1. 如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ）

A. 45°

B. 55°

C. 65°

D. 75°

*2. 如图，∠1与∠2互补，∠3=130°，则∠4的度数是（ ）

A. 40°

B. 45°

C. 50°

D. 55°

**3. 如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC=130°，那么当∠CDE等于（ ）时，BC∥DE。

A. 40°

B. 50°

C. 70°

D. 130°

**4. 如图，在△ABC和△DBC中，∠A=50°，∠2=∠1，则∠ACD的度数是（ ）

A. 50°

二、填空题

*5. 如图，一束平行光线AB与DE射向一水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4，则反射光

B. 120°

C. 130°

D. 无法确定

线BC与EF的位置关系是 ________。

*6. 如图，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠4=________。

**7. 如图CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=________。

三、解答题

8. 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B=60°，

（1）求∠C的度数；

（2）试问能否求得∠A的度数（只答“能”或“不能”）

（3）若要证明AD∥BC，还需要补充一个条件，请你补充一个条件并加以证明。 9. 如图，AB∥DC，∠B=55°，∠2=40°，∠3=85°。

（1）求∠D的度数； （2）求∠1的度数；

（3）能否得到DA∥CB，请说明理由。

*10. 如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°。

（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由； （2）试求∠AFE的度数。

**11. 如图所示。AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF、EG三等分∠AEC。问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

**12. 如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°。

1. A 解析：∵∠1与∠2互补，∴a∥b，∵∠3=∠5，∴∠5=135°，∵a∥b，∴∠4与∠5互补， ∴∠4=180°－135°=45°。故选A。

2. C 解析：∵∠1与∠2互补，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），∴∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）；又∵∠3=∠5（对顶角相等），∠3=130°（已知），∴∠4=50°。

故选C。

3. B 解析：∵AB∥CD，且∠ABC=130°，∴∠BCD=∠ABC=130°，∵当∠BCD+∠CDE =180°时BC∥DE，∴∠CDE=180°－∠BCD=180°－130°=50°，故选B。

4. C 解析：∵∠2=∠1，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180，∴∠ACD=180°－50°=130°。 故选：C。

5. 平行 解析：∵AB∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠4，∴BC∥EF（同位角相等，两直线平行），故填平行。

6. 150° 解析：∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠5=∠2，∴b∥c，∴∠3+∠6=180°，∵∠3=50°，∴∠6=150°，

∴∠4=150°。故答案为：150°。

7. 180° 解析：∵∠DGC=105°，∠BCG=75°（已知），∴∠DGC+∠BCG=180°， ∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）， ∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），CD∥EF（平面内，垂直于同一直线的两直线平行）， ∴∠DCB+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1+∠2=180°（等量代换）， 故答案为：180°。

8. 解：（1）∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠C=180°－∠B=120°。

（2）不能。

（3）答案不唯一，如：补充∠A=120°，

证明：∵∠B=60°，∠A=120°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC。

9. 解：（1）∵∠D+∠2+∠3=180°（三角形内角和为180°），∴∠D=180°－∠2－∠3=180°－40°－85°=55°；

（2）∵AB∥DC，∴∠2+∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）； ∴∠1=180°－∠B－∠2=180°－55°－40°=85°； （3）能。

∵∠3=85°，∠1=85°，∴∠3=∠1；∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 10. 解：（1）AB∥DE。理由如下：

延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，∴∠CDE+∠G=180°。∵∠CDE=∠BAF， ∴∠BAF+∠G=180°，∴AB∥DE；（2）延长BC、ED相交于点H。∵AB⊥BC， ∴∠B=90°。∵AB∥DE，∴∠H+∠B=180°，∴∠H=90°。∵∠BCD=124°， ∴∠DCH=56°，∴∠CDH=34°，∴∠G=∠CDH=34°。∵∠DEF=80°， ∴∠EFG=80°－34°=46°，∴∠AFE=180°－∠EFG=180°－46°=134°。

11. 解：有与AB平行的直线。理由：

连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAE=30°，∠DCE=60°， ∴∠EAC+∠ECA=90°，∴∠AEC=90°，∵EF、EG三等分∠AEC，∴∠AEF=30°， ∴∠AEF=∠A，∴EF∥AB。

12. 证明：过G作GH∥EB，∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK，∴∠1=∠EGK， ∴∠2=∠FGK，∴GH∥CF，∴BE∥CF，∵∠A+∠B=∠BMD，∠C+∠D=∠ANC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC，∵BE∥CF， ∴∠BMD+∠ANC=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC=180°。