史上最全直线与直线方程题型归纳

直线与直线方程之勘阻及广创作

时间：二O二一年七月二十九日 一、知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中,对一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,经常使用k暗示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2.斜率公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：

ky2y1x2x1(x1x2)

3.直线方程的五种形式

直线形式 点斜式 直线方程 局限性 不能暗示与x轴垂直的直线 选择条件 ①已知斜率 ②已知一点 y—y1kx—x1 斜截式 ykxb不能暗示与x轴垂直的直线 不能暗示与x轴、y轴垂直的直线 ①已知斜率 ②已知在y轴上的截距 ①已知两个定点 ②已知两个截距 两点式 y—y1x—x1y2—y1x2—x1x1x2，y1y2 截距式 xy1ab不能暗示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 已知两个截距（截距可以为负） （a、b分别为直线在x轴和y轴上的截时间：二O二一年七月二十九日

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距） 一般式 暗示所有的直线 求直线方程的结果均可化为一般式方程 AxByC0 A、B不全为0 7．斜率存在时两直线的平行：l1//l2k1=k2且b1b2. 8．斜率存在时两直线的垂直：l1l2k1k21．

9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直． 二、典例精析题型一：倾斜角与斜率

【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角； ②倾斜角为300的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为tan,则倾斜角为； ④如果两直线平行,则它们的斜率相等

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 【练习】如果AC0且BC0,那么直线AxByC0欠亨过（ ）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【例2】如图,直线l经过二、三、四象限,l的倾斜角为α,斜率为k,则( )

A．ksinα>0 B．kcosα>0C．ksinα≤0 D．kcosα≤0 【练习】图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()．

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

—1,B4,1的线段【例3】经过点P1,2作直线l,若直线l与连接A0，时间：二O二一年七月二十九日

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总有公共点,求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围.

-1的直线l与线段AB有公【练习】已知两点A-3,4,B3,2,过点P2，共点,求直线l的斜率k的取值范围.

【例4】若直线l的方程为yxtan2,则（ ）

A.一定是直线l的倾斜角 B.一定不是直线l的倾斜角

C.π—一定是直线l的倾斜角 D.纷歧定是直线l的倾斜角 【练习】设直线axbyc0的倾斜角为,且sincos0,则a、b满足（ ）

A.ab1 B.a—b1 C.ab0 D.a—b0

题型二：斜率的应用

【例5】若点A2,2，Ba,0,C0,4共线则a的值为_________________. 【练习】若三点A2,2，Ba,0,C0,bab0共线,则_____________.

【例6】已知实数x、y满足2xy8,那时2x3,求的最年夜值为_______,最小值为_________________ 【练习】1、若aln2ln3ln5,则（ ） ,b,c124yx1a1b的值为

A.abc B.cba C.cab D.bac

2x—12、求函数yx的值域.

21题型三：两直线位置关系的判断

已知,两直线l1,l2斜率存在且分别为k1,k2,若两直线平行或重合则有

k1__________k2,若两直线垂直则有k1__________k2.

【例7】已知直线l1的倾斜角为60,直线l2经过点

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—23,判断直线l1与l2的位置关系. A1，,3,B—2，【练习】1、已知点P2,3,Q4,5,A—1，a,B2a,2当a为何值时,直线PQ与直线AB相互垂直？

2、已知直线m1经过点A3，a，Ba—2,3,直线m2经过点M3，a,N6,5,

若m1m2,求a的值. 【例

8】在平面直角坐标系中,对aR,直线

l1:x—2ay10和l2:2axy—10（ ）

A.互相平行 B.互相垂直 C.关于原点对称 D.关于直线y—x对称

【练习】直线3a2x1—4ay80与5a—2xa4y—70垂直,求a的值.

题型四：求直线方程

（一）点斜式

【例9】根据条件写出下列直线的方程：

（1）经过点（2）经过点（3）经过点（4）经过点

A(1,2),斜率为2；

B（—1,4）,倾斜角为135； C（4,2）,倾斜角为90； D（—3,—2）,且与x轴平行.

已知直线过一点,可设点斜式

—4，B2,6，C—2,0,ADBC于D,求AD【练习】已知ABC中,A1，的直线方程.

（二）斜截式

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【例10】根据条件写出下列直线的方程：

（1）斜率为

2,在y轴上的截距是5；

（2）倾斜角为150（3）倾斜角为45,在y轴的截距为—2；

,在y轴上的截距为0.

已知斜率时,可设斜截式：

【练习】求斜率为,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程.

（三）截距式

34【例12】根据条件写出下列直线的方程：

（1)在（2)在

x轴上的截距为—3,在y轴上的截距为2； x轴上的截距为1,在y轴上的截距为—4；

与截距相关的问题,可设截距式

【练习】直线l过点P4,3,且在x轴、y轴上的截距之比为1:2,求直线

l的方程.

（四）两点式

【例11】求经过下列两点的直线方程： （

1)A(2,5),B(4,3)

(2)A(2,5),B(4,5)

(3)A(2,5),B(2,7)

适时应用“两点确定一条直线”

【练习】过点M0,1作直线l,使他被两条已知直线

l1:x—3y10和l2:xy40所截得的线段AB被点M平分.求直线l的

方程.

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【例12】1、已知点A（3,3）和直线l：yx—.求：

（1）经过点（2）经过点

3452A且与直线l平行的直线方程； A且与直线l垂直的直线方程.

2、已知三角形三个极点的坐标分别为A（—1,0）,B（2,0）,C（2,3）,试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）

【例13】已知直线l的斜率为2,且l和两坐标轴围成面积为4的三角形,则直线l的方程为________________．

【练习】已知,直线l经过点（—5,—4）,且与两坐标轴所围成的三角形面积为5,则直线l的方程为________________

【例14】直线l不经过第三象限,其斜率为k,在y轴上的截距为b（b0）,则（ ）

A.k0且b0 B.k0且b0 C.k0且b0

D.k0且b0

【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ） A． B． C． D．

三、课后练习

<一>选择题：

1、若直线l：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围（ ）

A．[

ππ,63) B．(,) C．(,) D．[,]

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ππ62ππ32ππ62时间：二O二一年七月二十九日

2、已知直线

l1：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0

垂直,则K的值是（ ）

A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2

3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单元,所获得的直线为（ ） A．y—x1313 B．y—x1 C．y3x—3 D．y3x1

13<二>填空题：

1、在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点（x,y）为整点,下列命题中正确的是 _________________（写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个分歧的整点 ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充沛需要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线．

，—2在直线l2、若点P1上的射影为Q—1,1,则直线l的方程为

__________________.

3、在平面直角坐标系

xOy中,过坐标原点的一条直线与函数

f(x)=

2x的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是

________________. <三>解答题：

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1、设直线l1：yk1x1,l2：yk2x—1,其中实数k1,k2满足k1•k220,

证明l1与l2相交.

2、已知直线方程为ykxb,当x—3,4时,y—8,13,求此直线的方

程.

3、那时0a2,直线l1：ax—2y2a—4与l2:2xa2y2a24和两坐标轴围成一个四边形,问a取何值时,这个四边形的面积最小?并求出最小面积.

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