1．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝＝2OH2，正确的有 ．（填序号）
OF；⑤FH2+HG2
2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△
OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是1，其中正确结论有 ．
3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，
并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段
BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
5．如图，以△ABC的边AC、BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCGF，连接AG、BD相交于点O，连接CO、
DG，取AB中点M，连接MC并延长交DG于点N．下列结论：①AG＝BD；②MN⊥DG；③CO平分∠DCG；④S△ABC＝S△CDG；⑤∠AOC＝45°．其中正确的结论有 （填写编号）．
6．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，
∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF的值为 ．
7．如图，正方形ABCD的边长是a，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG．则下列结论：①四边形EFCG是矩形；②四边形EFCG的周长是2a；③S△BEF+S△DEG＝2S△CFG；④FG的最小值是
a．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
8．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝ ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝ ．
．过点F作FG⊥DF
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交DE于点G，则
＝ ．
11．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，且△ABC的面积为m，如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围是 ．
12．如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°． （1）BD的长为 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 ； （3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ ．
14．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线
CF于点F，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H．若AB＝4，BE＝BC，则CH＝ ．
15．如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝2⊥DE交BC于点F，连接DF，则
，点E为对角线AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF的值等于 ．
16．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为 ．
17．如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC＝120°，点M是矩形CDEF的对角线DF的中点，连接MB，若AB＝6
，AC＝6，则MB的最小值为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则下述结论：①AE⊥BF；②tan∠DAP＝
；③DA＝DP；④FD＝FP中，一定成立的有 ．
19．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论： ①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝
，则AB＝8；
④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有 ．（填序号即可）
20．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是 ．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°＝∠ABE+∠BAG， ∴∠CBF＝∠BAG，
又∵∠AGB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABG≌△BCF（AAS）， ∴AG＝BF，BG＝CF，故①正确； ∴CF﹣BF＝BG﹣BF＝FG，故③错误；
如图，连接GO，延长GO交CF于N，作OM⊥EB于M，
∵点O是AC中点， ∴AO＝CO， ∵AG⊥BE，CF⊥BE， ∴AG∥CF， ∴∠GAO＝∠NCO， 又∵∠AOG＝∠CON， ∴△AOG≌△CON（ASA）， ∴GO＝NO，AG＝CN， ∴BF＝CN， ∴GF＝FN，
又∵∠GFN＝90°，GO＝ON，
∴∠GFO＝∠NFO＝45°，OF⊥GO，OF＝GO＝ON， ∴OF平分∠GFC，FG＝
OF，故②，④正确；
∵OF⊥GO，OF＝GO，OM⊥FG，
∴FM＝MG＝OM，
∵FH2+HG2＝（FM+HM）2+（MG﹣HM）2＝2OM2+2MH2，OM2+MH2＝OH2， ∴FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤．
2．解：在正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°， ∴∠BCN+∠DCN＝90°， 又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°， ∴∠BCN＝∠CDM， 又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确； ∵△CNB≌△DMC， ∴CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON， 又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确； ∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°， ∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴△OMN∽△OAD，故③正确； ∵AB＝BC，CM＝BN， ∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2， ∴AN2+CM2＝MN2，故④正确； ∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1， ∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x， ∴△MNB的面积＝
x（2﹣x）＝﹣x2+x，
，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值此时S△OMN的最小值是1﹣故答案为①②③④．
＝
，故⑤错误，
3．解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6
，
∵点M，N分别是边AB，AD的中点， ∴AN＝DN＝∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE， ∵点E是CM的中点， ∴ME＝CE，
在△MEB和△CEG中，
，
∴△MEB≌△CEG（AAS）， ∴BE＝GE，BM＝GC＝3∴DG＝CD﹣GC＝3
，
，
AD＝7，BM＝AB＝3，
∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN， ∴DH＝GH＝
DG＝3，
∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4， ∴GN＝
＝5，
∵BF＝FN，BE＝EG， ∴EF是△BGN的中位线， ∴EF＝
GN＝．
．
故答案为：
4．解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H， 则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF， ∵BP＝BC， ∴∠BCP＝∠BPC， ∴∠BPC＝∠MHP， ∴PM＝MH， ∵PM＝CN， ∴CN＝MH， ∵ME⊥CP， ∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS）， ∴CF＝FH， ∴EF＝EH+FH＝
CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， ∴BP＝BC＝10， 在Rt△ABP中，AP＝∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4， 在Rt△CPD中，CP＝∴EF＝
＝
＝2
．
＝4
，
＝
＝6，
CP＝×4
．
故答案为：2
5．解：如图，连接AD，延长CM至H，使MH＝CM，连接AH，
∵四边形ACDE是正方形，四边形BCGF是正方形， ∴AC＝CD，BC＝CG，∠ACD＝∠BCG＝90°，∠ADC＝45°， ∴∠ACG＝∠BCD， ∴△ACG≌△DCB（SAS），
∴AG＝BD，∠CAG＝∠CDB，∠DBC＝∠AGC，故①正确； ∵∠CAG＝∠CDB，
∴点D，点A，点C，点O四点共圆，
∴∠DOA＝∠ACD＝90°，∠ADC＝∠AOC＝45°，故⑤正确； ∴∠BOC＝45°＝∠AOC， ∴∠AGC+∠OCG＝∠DCO+∠ODC， ∵△ACB是任意三角形，
∴AC不一定等于BC，即DC与BC不一定相等， ∴∠CDB与∠AGC不一定相等， ∴∠DCO与∠GCO不一定相等， ∴CO不一定平分∠DCG，故③错误； ∵点M是AB的中点， ∴AM＝BM，
又∵CM＝MH，∠CMB＝∠AMH， ∴△BCM≌△AHM（SAS），
∴AH＝BC＝CG，∠H＝∠BCH，∠ABC＝∠HAM，S△BCM＝S△AMH， ∴S△ABC＝S△ACH，
∵∠DCG+∠ACM+∠BCM＝180°，∠H+∠CAH+∠ACM＝180°， ∴∠CAH＝∠DCG， 又∵AC＝DC，CG＝AH， ∴△ACH≌△CDG（SAS）， ∴S△ACH＝S△CDG，∠ACH＝∠CDG， ∴S△ABC＝S△CDG，故④正确； ∵∠ACD＝90°， ∴∠DCN+∠ACM＝90°， ∴∠CDN+∠DCN＝90°， ∴MN⊥DG，故②正确， 故答案为①②④⑤．
6．解：如图，延长AE交BC的延长线于G， ∵E为CD中点， ∴CE＝DE， ∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°， 在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS）， ∴CG＝AD＝
，AE＝EG＝2
+2
＝4
， ，
∴AG＝AE+EG＝2∵AE⊥AF，
∴AF＝AGtan30°＝4×÷
＝4， ＝8，
GF＝AG÷cos30°＝4
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N， 则MN＝AD＝
，
∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴BM＝CN， ∵MG＝AG•cos30°＝4∴CN＝MG﹣MN﹣CG＝6﹣∵AF⊥AE，AM⊥BC， ∴∠FAM＝∠G＝30°， ∴FM＝AF•sin30°＝4×∴BF＝BM﹣MF＝6﹣2故答案为：4﹣2
．
＝2， ﹣2＝4﹣2
．
×﹣
＝6， ＝6﹣2
，
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝a，∠CBD＝∠CDB＝45°，BD＝∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠C＝90°， ∴四边形EFCG是矩形，故①正确； ∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠DBC＝∠BEF＝45°，∠CDB＝∠DEG＝45°， ∴BF＝EF，DG＝EG，
∴四边形EFCG的周长＝EG+FC+EF+GC＝BF+FC+CG+DG＝BC+DC＝2a，故②正确； ∵S△BEF+S△DEG＝
BC＝a，
EF2+EG2，2S△CFG＝2×CF×CG＝EG×EF，
∴当EF＝EG时，S△BEF+S△DEG＝2S△CFG， ∴S△BEF+S△DEG不一定等于2S△CFG，故③错误； 如图，连接EC，
∵四边形EFCG是矩形， ∴FG＝EC，
∴当EC取最小值时，FG有最小值， ∴当EC⊥BD时，EC有最小值， 此时EC＝
BD＝a，
a，故④正确，
∴FG的最小值是故答案为①②④．
8．解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，
由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠BAF＝45°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠GAF＝45°， 在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF， ∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6， 故答案为6．
9．解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形， ∵BF＝3
，BE＝4
，
，
∴EF＝BE﹣BF＝∴EN＝NF＝1， ∴DE＝2，DN＝3，
∴AN＝BM＝FM＝DN＝3， ∵∠DFG＝∠DNF＝90°， ∴∠FDN＝∠GFM， 在△FDN和△GFM中，
，
∴△FDN≌△GFM（ASA）， ∴NF＝MG＝1， 由勾股定理得：FG＝FD＝∵QN∥BC，
，
∴∴
＝＝
＝＝
， ， ， ﹣x，
∴FQ＝，QN＝
设GH＝x，则FH＝∵QD∥BG， ∴
＝
，
∴＝，
∴x＝即GH＝故答案为：
． ．
．
10．解：如图，过点G作AD的垂线，分别交AD，BC于点N，M，
则四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝AB＝3，CM＝DN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝4，
∵DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F， ∴∠DAG＝∠ADG＝∠GEF＝∠GFE＝45°， ∴△AGD和△GEF均为等腰直角三角形， ∴GN＝DN＝
AD＝2，
∴GM＝MN﹣GN＝AB﹣GN＝3﹣2＝1，
MC＝DN＝2，
∴MF＝GM＝1，
∴CG＝∴GF＝∴
＝
， ＝
＝＝，
． ．
故答案为：
11．解：∵△ABC的面积为m， ∴△ABC的BC边上的为高
，
如图：当高取最小值时，△ABC为等边三角形， 点A与M或N重合，
如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC，BC＝4，
∴∠ABC＝60°，BC＝4，∠BAD＝30°． ∴BD＝2， ∴AD＝∴
＝2
，即
＝2
， ．
如图：
当高取取最大值时，菱形为正方形． ∴点A在MN的中点，
∴∴4
，
≤m≤8，
≤m≤8．
故答案为：4
12．解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°，PF＝
AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2， ∴由勾股定理得FB＝2∴PD＝2
，
．
，
故答案为：2
13．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，∠A＝90°， ∴BD＝故答案为：3
＝；
＝3
，
（2）解：当BD平分∠PBQ时， ∵∠PBQ＝45°，
∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°， ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°， 在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（ASA）， ∴BP＝BQ，
在△QBD和△PBD中，
，
∴△QBD≌△PBD（SAS）， ∴PD＝QD， 故答案为：PD＝QD； （3）当BD不平分∠PBQ时， ∵AB∥CQ， ∴∠ABQ＝∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°， ∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，
∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°， ∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°， ∴∠BDQ＝∠BDP， ∴△BQD∽△PBD， ∴
，
∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18， 故答案为：18．
14．解：过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N， ∴∠FNC＝∠FMC＝90°， ∵CF是∠NCM的角平分线， ∴FM＝FN，
则四边形CMFN是正方形， ∴CN＝CM＝FM＝NF，
在AB上截取BG＝BE，连接GE，如图所示：则△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴AG＝CE，
∴∠AGE＝135°，∵∠BGE＝45°， ∴∠BAE+∠GEA＝45°，
由题意知，CF为正方形外角的角平分线， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠GEA＝45°， ∴∠GAE＝∠CEF， 在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF （ASA） ∴AE＝EF，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF （AAS）， ∴BE＝FM，AB＝EM＝4， ∵BE＝∴FM＝
BC＝AB＝， BC＝NF＝，
，
∴DN＝DC﹣NC＝BC﹣BE＝CE＝∴DF＝∵CH⊥DF，
＝
，
∴∠DNF＝∠H＝90°， ∵∠FDN＝∠CDH， ∴△DNF∽△DHC， ∴
＝
，
即＝，
∴CH＝故答案为：
．
．
15．解：过点E作EM⊥BC，EN⊥DC于点M和N， ∴EM∥AB，EN∥AD，
∴∴∴
＝＝＝
，， ＝
＝，
，
∵∠MEN＝∠FED＝90°， ∴∠MEF＝∠NED， ∵∠EMF＝∠END＝90°， ∴△END∽△EMF， ∴
＝
，
∴＝． ．
故答案为：
16．解：根据题意可知：
MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6， ∴MF⊥AD，MN＝6， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∵AB＝6， ∴AD＝
AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点， ∴FM＝
AD＝3，FN为△BCH的中位线，
，FN＝． ．
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3∴CH＝2FN＝12﹣6故答案为：12﹣6
CH，
17．解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．
∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点， ∴点M是对角线DF，EC的交点， ∴MD＝MC， ∵MJ⊥CD， ∴DJ＝JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小， ∵DA＝DC，∠ADC＝120°，AC＝6， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴CD＝∴CJ＝DJ＝
＝2，
，
∴CT＝CJ÷cos30°＝2， ∵AB＝6
，AC＝6，
﹣6）+2＝6
﹣4，
∴BT＝BC+CT＝（6
∵∠CJT＝90°，∠JCT＝30°， ∴∠BTM＝60°， ∴BM＝BT•sin60°＝（6∴BM的最小值为9﹣2故答案为：9﹣218．解：连接AF，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF＝BE，
＝2， ．
﹣4）×．
＝9﹣2
，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BPE＝∠APF＝90°， ∴AE⊥BF，故①正确； ∵∠ADF＝90°， ∴∠ADF+∠APF＝180°， ∴A、P、F、D四点共圆， ∴∠AFD＝∠DPA，∠DAF＝∠DPF，
∵∠DAB＝∠APF＝90°，∠BAE＝∠DAF， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴DA＝DP，故③正确； ∵∠DAP＝∠DPA＝∠AFD， ∴tan∠DAP＝tan∠AFD＝
＝2，故②错误；
∵DA＝DP，只有当DA＝AP时，FD＝FP，故④不一定正确． 故①③． 故答案为：①③．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC， ∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC＝2AB，点E是边BC的中点， ∴BE＝EC＝AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∵∠AEB＝∠ACB＝∠EAC，∠DEC＝∠DBC+∠BDE， ∴∠EAC＝∠EDB，故①正确； ∵PF⊥AE，
∴∠PFE＝∠PEF＝45°， ∴PE＝PF， ∵AD∥BC， ∴△ADP∽△EBP， ∴
＝2，
∴AP＝2PE＝2PF，故②正确； ∵AD∥BC， ∴△ADQ∽△CEQ，
∴＝2，
∴AQ＝2QC， ∵S△DQC＝
，
∴S△ADC＝16， ∴
×AD×DC＝16，
∴DC＝4，
∴AB＝4，故③错误，
∵AB＝BE，DC＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴AE＝DE，
∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ， ∴∴∴
＝， ，
，
＝
∴PE＝EQ，
∵∠AEB＝∠DEC＝45°，∠EPF＝∠ECD＝90°， ∴△PEF∽△CDE， ∴
，
∴CE•EF＝EQ•DE．故④正确； 故答案为：①②④．
20．解：如图，点N在以AO的中点Q为圆心，AO为直径的圆上，连接CQ与圆Q的交点即为点N，此时线段CN的值最小，
∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2， ∴AO＝∴QN＝
＝
＝2
，
AO＝，
过Q作QH∥AB，交OB于H， ∴QH＝∴CQ＝∴CN＝CQ﹣QN＝
AB＝2，BH＝OB＝1，
＝﹣
， ﹣．
． ＝
，
则线段CN的最小值是故答案为：
﹣
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