近世代数试题课程代码：10025
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共15分)1. 设Z是整数集，σ(a)= 则σ是R的( ).
A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换2. 下列法则，哪个是集A的代数运算( ).A. A=N, ab=a+b-2 B. A=Z,ab= C. A=Q, ab= D. A=R, ab=a+b+ab
3. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( ).A. x→-x B. x→ C. x→ D. x→5x
4. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ).A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个5. 剩余类环Z6的子环有( ).A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二、填空题(每小题3分，共27分)
6. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.7. 整数加群Z有__________个生成元.
8. 在4次对称群S4中，(123)(1324)-1=__________.9. 每一个有限群都与一个__________群同构.10. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.11. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.
12. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.13. 设Q是有理数域，则Q()=__________.
14. 2+i在实数域R上的极小多项式是__________.
三、解答题(第15小题10分，第16，17小题各12分，共34分)
15. 在实数集R中定义二元运算“O”如下：aOb=a+b-2(a,b∈R)，问R对运算“O”是否作成群?试说明理由.
16. 找出模16的剩余类加群Z16的所有子群，并找出Z16的全部生成元.17. 设Z是整数环，p、q是两个不同的素数，(p)∩(q)、(p,q)是Z的怎样一个理想?(p)∪(q)是Z的理想吗?为什么?四、证明题(每小题8分，共24分)
18. 设G=，于是G对于方阵的乘法作成群.令H=，证明：H是G的不变子群.
19. 设R是实数域，f(x)∈R［x］,f(x)=a0+a1x+…+anxn,令:f(x)|→a0. 明：是R［x］到R的满同态，ker=?
20. 设A=关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明：U=是A的理想，商环A/U由哪些元组成?
证
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