四川省成都市树德中学2016_2017学年高一数学上学期期末考试试题

满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1.设全集UR，Ax|x30，Bx|x2，则(CUA)B x1（A）{x|1x2} （B）{x|1x2} （C）x|x2 （D）x|x1 2.下列函数既是偶函数，又在(0,)上是增函数的是 （A）yx（B）y

3.下列说法正确的是

21x3|x|y|x1||x1| （C）y2 （D）

（A）若f(x)是奇函数，则f(0)0 （B）若是锐角，则2是一象限或二象限角

（C）若a//b,b//c，则a//c （D）集合A{P|P{1,2}}有4个元素

4.将函数ysinx的图像沿x轴伸长到横坐标为原来的2倍，再向左平移1个单位，得到的图像对应的解析式是 （A）ysin(x21)（B）ysin(2x1)（C）ycos

x2ycos （D）

x2

5.若G是ABC的重心，且满足GAGBGC，则

（A）1 （B） 1 （C）2 （D）2

6.如图，向一个圆台型容器（下底比上底口径宽）匀速注水（单位时间注水体积相同），注 满为止，设已注入的水体积为v，高度为h,时间为t,则下列反应变化趋势的图像正确的是

7.平面直角坐标系xOy中，角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点A(,)，将其终边绕O点逆时针旋转

34553后与单位圆交于点B,则B的横坐标为 47223242（A） （B） （C） （D）105 104

8.函数yf(x)满足对任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2，

1

若g(x)是f(x)的反函数（注：互为反函数的函数图像关于直线yx对称），则g(8) （A）3 （B）4 （C）16 （D）

1 2569.函数f(x)3tanx

13tanx（A）定义域是{x|xk6,(kZ)} （B）值域是R

（C）在其定义域上是增函数 （D）最小正周期是

10.过x轴上一点P作x轴的垂线，分别交函数ysinx,ycosx,ytanx的图像于P1,P2,P3，若

3PP3PP2，则|PP1|

8（A）

32211 （B） （C） （D） 32331,x011.定义符号函数为sgn(x)0,x0，则下列命题： ①|x|xsgn(x)；

1,x0②关于x的方程lnxsgn(lnx)sinxsgn(sinx)有5个实数根；

③若lnasgn(lna)lnbsgn(lnb)(ab)，则ab的取值范围是(2,)；

2④设f(x)(x21)sgn(x21),若函数g(x)f(x)af(x)1有6个零点，则a2.

正确的有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 12.已知函数f(x)3aa1xasinx,那么下列命题正确的是

（A）若a0，则yf(x)与y3是同一函数

1log33]f(log35)f() （B）若0a1，则f()f(2log32)f[()232（C）若a2，则对任意使得f(m)0的实数m，都有f(m)1 （D）若a3，则f(cos2)f(cos3)

二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上）

2 2

13.若函数f(x)x2，则函数yf(2x)的定义域是___________. 14.若函数f(x)(12a)x3a,(x1)的值域为R，那么a的取值范围是_________.

lnx, (x1)15.若(0,),(0,),sin245,cos(),则sin__________.

1cos231316.已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fx+gxex(e是自然对数的底数)，又

SPABx0PABPAC，其中，则与的面积比的最小值是________. APf(x)ABg(2x)ACSPAC

三、解答题（共6个小题，共计70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）（I）求值：log23log34log20.125（II）求值：sin15cos15.

18.（本题满分12分）已知函数f(x)3sinxcosxsin(（I）求函数f(x)对称轴方程和单调递增区间； （II）对任意x[

2273；

x)sin(x). 44,]，f(x)m0恒成立，求实数m的取值范围.

6619.（本题满分12分）根据平面向量基本定理，若e1,e2为一组基底，同一平面的向量a可以被唯一

确定地表示为axe1ye2，则向量a与有序实数对(x,y)一一对应，称(x,y)为向



量a在基底e1,e2下的坐标；特别地，若e1,e2分别为x,y轴正方向的单位向量i,j，

(x,y)则称为向量a的直角坐标.

（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab(x； 1x2,y1y2)（II）如图，直角OAB中，AOB90,|OA|1,|OB|3，C点在AB上，且OCAB，求

向量OC在基底OA,OB下的坐标.

3

20.（本题满分12分）某企业一天中不同时刻的用电量y（万千瓦时）关于时间t（小时,0t24）的函数yf(t)近似满足f(t)Asin(t)B，(A0,0,0)．右图是函数yf(t)的部分图象（t0对应凌晨0点）． （Ⅰ）根据图象，求A，，，B的值；

（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g(t)（万千瓦时）与时间t（小时）的关系可用线性函数模型g(t)2t25(0t12)模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．

21.（本题满分12分）已知函数f(x)lg(x1)lg(x1).

（Ⅰ）求f(x)的定义域，判断并用定义证明其在定义域上的单调性；

2xx（Ⅱ）若a0，解关于x的不等式f(a2a)lg2.

22.（本题满分12分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意xR，都有f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2.

（I）当2x0时，求f(x)的解析式；

（II）设向量a(2sin,1),b(9,16cos)，若a,b同向，求f(2017)的值；

sincos（III）定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高”. 求f(x)在区间[t,t1](2t0)上的“界高”h(t)的解析式；在上述区间变化的过程中，“界高”h(t)的某个值h0共出现了四次，求h0的取值范围.

4

树德中学高2016级第一期期末考试数学参考答案

一、选择题

1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6. D 7. B 8. A 9. D 10.A 11.D 12. C 二、填空题

13. [1,) 14.116 [1,2) 15. 65 16. 22 三、解答题

lg3117. 解：（I）原式lg2lg4lg3log1282732log22332332 （5分） （II）原式2(2sin152cos15)2(cos45sin15sin4522cos15) 2sin(1545)2sin6062 （10分）

（直接算出sin15,cos15的值也可） 18.解：（I）法一：f(x)32sin2xsin(314x)cos(4x)2sin2x2sin(22x) 32sin2x12cos2xsin(2x6). 法二：f(x)32sin2x22(cosxsinx)22(cosxsinx) 32sin2x12(cos2xsin2x)32sin2x12cos2xsin(2x6) （3分）

由2x6k2xk26(kZ)， 由2k22x62k2k3xk6(kZ),

所以对称轴是xk26(kZ)，单调增区间是[k3,k6](kZ). （6分） （II）由x[6,6]得2x6[6,2]，从而sin(2x6)[12,1]， （11分） f(x)m0恒成立等价于mf(x)1min，m2. （12分）

19.（I）证明：根据题意：a(xx

1,y1),b(2,y2)ax1iy1j,bx2iy2j，（2分）

5

ab(x1x2)i(y1y2)j，（4分）ab(x1x2,y1y2). （6分）

13OAB60|CA|,|CB|. （II）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知

221114从而ACCB，所以AOOC(COOB)OCOAOB,3333 3131

化简得：OCOAOB.所以OC在基底OA,OB下的坐标为(,).44441131法二（向量法）：同上可得：ACAB，所以AOOC(AOOB)OCOAOB.4444

1131上法也可直接从OC开始OCOAACOAABOA(OBOA)OAOB.4444

法三（向量法）：设OCxOAyOB,则BCOCOBxOA(y1)OB,BAOAOB，利用：以O为坐标原点，OA,OB方向为x,y轴正方向建立直角BC,BA共线可解得. 法四（坐标法）

坐标系（以下坐标法建系同），则A(1,0),B(0,3). 由几何意义易得C的直角坐标为(,33). 4433xx3344)x(1,0)y(0,3)(x,3y)，设OCxOAyOB,则(,.

14433yy44法五（坐标法）：设OCxOAyOBx(1,0)y(0,3)(x,3y)，又知A(1,0),B(0,3)，则由

A,B,C三点共线易解得x,y. 法六（坐标法）：完全参照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答

过程，此处略. 法七（几何图形法）：将OC分解在OA,OB方向,利用平几知识算出边的关系亦可.

法八（向量法）（已经学过数量积的同学可以选用此法）：设OCxOAyOB,则xy1①；



由OCABOCAB0,(xOAyOB)(OBOA)02231yOBxOA(xy)OAOB03yx0②, 由①，②解得x,y.

44 31所以OC在基底OA,OB下的坐标为(,).（12分，还有其它方法，各方法酌情分两到三段给分）

4420. 解：（Ⅰ）由图知T122，6． （1分）

Aymaxymin2.51.51yymin2.51.5，Bmax2． （3分） 2222212k，又0，∴． （5分） ∴ysin(x)2．代入(0,2.5)，得

2226 6

综上，A11，，，B2． 即f(t)sin(t)2． （6分）

22626211sin(t)2cost2．令h(t)f(t)g(t)， 26226（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(t)设h(t0)0，则t0为该企业的停产时间．易知h(t)在(11,12)上是单调递增函数. 由h(11)f(11)g(11)0，h(12)f(12)g(12)0， 又h(11.5)f(11.5)g(11.5)1231cos22cos()0，则t0(11,11.5)． 21221214511cos22.510.50.50， 22422即11点到11点30分之间(大于15分钟) 又h(11.25)f(11.25)g(11.25)则t0(11.25,11.5)．即11点15分到11点30分之间(正好15分钟). （11分） 答：估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产. （12分） 21. 解：（Ⅰ）由题意x10x1，所以定义域为(1,). （2分）

x10(x11)(x21)xx1x2x1， lg12(x11)(x21)x1x21x2x1任取1x1x2，则f(x1)f(x2)lg1x1x2，(x1x21x2x1)(x1x21x2x1)2(x2x1)0，

且x1x21x2x1(x11)(x21)0，x1x21x2x11，

x1x21x2x1

lgx1x21x2x10，f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(1,)上单调递减 （6分）

x1x21x2x1注：令f(x)lgx1x1(x(1,))，(x)，先判断(x1),(x2)大小，再判断f(x1),f(x2)x1x1大小的酌情给分. （Ⅱ）由f(x)lgx131(x1)知，f(3)lglg2，（可直接看出或设未知数解出）， x131于是原不等式等价于f(a2x2ax)f(3). （7分）

由（Ⅰ）知函数f(x)在区间(1,)上单调递减，于是上不等式等价于：a2x2ax31， 即a2x2ax30(ax3)(ax1)0ax3. （9分）

于是：①若a1，不等式的解集是{x|xloga3}；②若0a1，不等式的解集是{x|xloga3}；③若a1，不等式的解集是. （12分，每少一种情况扣1分） 22. 解：（I）设2x1，则0x21，f(x2)(x2)2f(x)，f(x)(x2)2； 设1x0，则0x1，f(x)(x)2f(x)，f(x)x2.

7

2(x2),(2x1)综上：当2x0时， f(x). （2分） 2x, (1x0)（II）由题：32sincos9sincos所以sincos259，(sincos)212sincos，

16325.sincos0，可能在一、三象限， 4

若在三象限，则a,b反向，与题意矛盾；若在一象限，则a,b同向. 综上,只能在一象限.

520174448sincos,f()f(2017)f(20152)f(4034)，(※)

4sincos5555由f(x2)f(x)得f(x4)f(x2)[f(x)]f(x)，

2所以(※)式f()f(2)f()f()()85852525254（或0.16）. （6分） 25（III）先说明对称性（以下方法均可，未说明对称性扣1分）： 法一：由（II）：fx(4)f()x，再由已知：f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得

f(x2)f(x)f(x)，令x为x，得f(2x)f(x),f(x)的图像关x1对称.

法二：由（I）：x[0],1时，f(2x)(2x)2(x2)2f(x)；

x[2,1]时，f(2x)(2x2)2x2f(x)，

综上：f(x)在[1,0]和[2,1]上的图像关于x1对称.

法三：由画出图像说明f(x)在[2,1]和[1,0]上的图像关于x1对称也可. 设f(x)在区间[t,t1]上的最大值为

M(t)，最小值为m(t)，则h(t)M(t)m(t).

显然：区间[t,t1]的中点为t（i）当t2且t1. 所以，如图： 2131，即2t时，M(t)(t2)2，m(t)1， 22h(t)M(t)m(t)(t2)21；

（ii）当t10且t131，即t1时，M(t)(t1)2，m(t)1， 22h(t)M(t)m(t)(t1)21；

（iii）当1t0时，M(t)(t1)2，m(t)t2，

h(t)M(t)m(t)(t1)2t22t22t1.

8

32(t2)1, (2t)23综上：h(t). （10分）

(t1)21, (t1)222t2t1, (1t0)根据解析式分段画出图像，并求出每段最值（如图），由图像可得：

9 题号 6 8 题目改编或创作的课本来源 题号 《必修1》P112 A组4 《必修1》P75 B组5 P82 A组7 P73 正文 《必修4》P130-P131 例4（3） 的解答过程（改稿后加了系数3，比例4（3）容易看出是两角和正切公式，降低难度）. P45 练习5，P42-45正文 12 函数源自《必修1》P83B组3. 12（3） 方法类似《必修1》P44 A组8 15 《必修4》P142练习1， P146 A组1，原题 22（2） 《必修4》 P119 A组8 P147 B组5，将 B组5参数 改成具体数 16 《必修1》P83 B组4 22(3) 编创思路源自成都市2015-2016高一上期期末调研考试22（2） 22(1) 21 《必修1》P75 B组4及P82 A组8 《必修1》P39 A组6 19 20 17（1） 17（2） 3h01.（12分） 4题目改编或创作的课本来源 《必修1》P75 A组 11 《必修4》P126 例1原题 （改稿前为P146 5（1）） 《必修4》P94-96正文， P102 B组4, P99例8(2). 改编自《必修4》P62 例4 借鉴15届成都市一诊命题思路. 9