蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中地应用

3 蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中的应用

3.1电力系统可靠性评估的内容与意义

可靠性指的是处于某种运行条件下的元件、设备或系统在规定时间内完成预定功能的概率。电力系统可靠性是指电网在各种运行条件下，向用户持续提供符合一定质量要求的电能的能力。电力系统可靠性包括充裕度(Adequacy)和安全性(seeurity)两个方面。充裕度是指在考虑电力元件计划与非计划停运以及负荷波动的静态条件下，电力系统维持连续供应电能的能力，因此又被称为静态可靠性。安全性指的是电力系统能够承受如突然短路或未预料的失去元件等事件引起的扰动并不间断供应电能的能力，安全性又被称为动态可靠性。目前国内外学者对充裕度评估的算法和应用关注较多，且在理论和实践中取得了大量的研究成果，但随着研究的深入也出现了很多函待解决的新课题。电力系统的安全性评估以系统暂态稳定性的概率分析为基础，在原理、建模、算法和应用等方面都处于起步和探索阶段。由于电力系统的规模很大，通常根据功能特点将其分为不同层次的子系统，如发电、输电、发输电组合、配电等子系统，对电力系统的可靠性评估通常也是对上述子系统单独进行。不同层次的子系统的可靠性评估的任务、模型、算法都有较大区别。电力系统在正常运行情况下，系统能够正常供电，不会出现切负荷的事件。如果系统受到某些偶发事件的扰动，如元件停运(包括机组、线路、变压器等电力元件的计划停运与故障停运)、负荷水平变化等，可能会引起系统功率失衡、线路潮流越限和节点电压越限等故障状态，进而导致切负荷。电力系统可靠性研究的主要内容是基于系统偶发故障的概率分布及其后果分析，对系统持续供电能力进行快速和准确的评价，并找出影响系统可靠性水平的薄弱环节以寻求改善可靠性水平的措施，为电力系统规划和运行提供决策支持。

3.2电力系统可靠性评估的基本方法

电力系统可靠性评估方法可分为确定性方法和概率性方法两类。确定性方法

主要是对几种确定的运行方式和故障状态进行分析，校验系统的可靠性水平。在电源规划中，典型的确定性的可靠性判据有百分备用指标和最大机组备用指标;电网规划

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中，确定性的可靠性判据主要是校验负荷的最小供电回路数。电力系统是一个具有随机特性的系统，负荷水平的波动、元件故障等都具有随机性，确定性方法难以考虑各种状态的概率分布特性，评估结果存在较大偏差，因此概率性方法在电力系统的可靠性评估领域得到更加广泛应用，并在理论和实践方面取得很大的进展。概率性可靠性评估方法主要有解析法和模拟法两大类，后者一般又被称作蒙特卡洛法。两者的共同点是都以系统随机状态发生的概率对随机状态的后果(切负荷功率)进行加权，即不仅考虑故障的严重性，同时考虑其概率性，且对随机状态的分析方法是一致的。两者的根本区别在于获取系统随机状态及其概率值的方法不同，解析法通过故障枚举来获得系统随机状态，通过解析计算获得系统随机状态发生的概率;蒙特卡洛法通过随机抽样的方法获得系统随机状态，采用统计的方法以随机状态的频率来估算概率。

解析法的数学模型精确，得到的可靠性指标计算精度高，但该方法的缺点也非常突出。首先，采用解析法要分析的系统状态数目随着系统元件数目的增长呈指数规律增长，因此难以应用于大规模电力系统可靠性评估的场合。采用忽略多重故障状态的“故障筛选技术”来解决这一问题，但显然会在一定程度上削弱解析法在计算精度方面的优势。其次，采用解析法难以获得频率和持续时间指标，而这些又是非常重要的可靠性信息。最后，解析法难以处理系统中随机因素的影响，如负荷的波动、水库水位的变化等，也不易模拟运行人员对系统的控制措施及其后果，因此影响到了计算结果的可信度。由于解析法存在上述难以克服的缺点，在大型电力系统可靠性评估的场合应用较少，而蒙特卡洛法则得到了广泛的应用。

蒙特卡洛方法（又被称作统计试验方法)或随机抽样技术，其提出可以追溯到19世纪末期，20世纪40年代中期之后随着科学技术的发展和电子计算机的发明，该方法得到了快速的发展和应用。几十年来，随着计算技术的迅速发展，蒙特卡洛方法的应用范围日趋广阔。目前它已经被广泛应用到包括电力系统可靠性分析在内的各类科学研究与工程设计领域中，成为计算数学的一个重要分支。采用蒙特卡洛方法评估电力系统可靠性，存在着明显的优势。第一，在一定的精度要求下，蒙特卡洛方法的抽样次数与系统的规模无关，因此特别适用于大型电力系统的评估计算。第二，采用蒙特卡洛方法评估可靠性，不但能够获得概率性指标，而且能够得到频率和持续时间指标，得到的可靠性信息更加丰富、实用。第三，基于蒙特卡洛方法的程序数学模型相对简单，且容易模拟负荷变化等随机因素和系统的校正控制措施，因此计算结果更加

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符合工程实际。电力系统规模日趋扩大、元件众多、控制策略复杂，因此蒙特卡洛法在其可靠性评估中获得了日益广泛的应用。

3.3蒙塔卡洛法的基本内容

3.3.1基本参数介绍

电力系统元件众多，在可靠性评估中可根据计算需要对发电机组、输电线路、变压器、电抗器、电容器、保护元件、自动重合闸装置、母线等可修复元件进行状态模拟。假定某可修复元件的故障率和修复率分别为、，平均无故障工作时间和平均维修时间分别为MTTF、MTTR，则存在以下重要关系式

MTTF1/MTTR1/(3.1) (3.2)

可修复强迫失效可以通过“运行-停运-运行”的循环过程来模拟，如图一所示：

图3.1 可修复元件运行和停运循环过程

平均不可用率，其数学形式可由下列三个定义 之一来表达：

UMTTRfMTTRMTTFMTTR8760(3.3)

；为修复率（修复次数/年）；MTTR为平均修复时为失效率（失效次数/年）

间（小时）；MTTF为失效前平均时间（小时）；f为平均失效频率（失效次数/年）。d =

MTTF/8760及r = MTTR/8760，则d和r是以年为单位计的MTTF和MTTR。

、是蒙特卡洛算法中模拟元件持续时间与状态转移特性的基本参数。其反映

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的元件状态转移特性如图3一2所示，其数值可通过对元件长期运行的寿命过程和随机状态信息统计得到。

图3.2 可修复元件状态空间图

3.3.2非序贯蒙特卡洛模拟法

非序贯蒙特卡洛模拟法常常被称为状态抽样法，它被广泛用在电力系统风险评估中。这个方法的依据是：一个系统状态是所有元件状态的组合，且每一元件状态可由对元件出现在该状态的概率进行抽样来确定。

每一元件可用一个在[0，1]区间的均匀分布来模拟。假设每一元件有失效和工作两个状态，且元件失效是相互独立的。令si代表元件i的状态，Qi代表其失效概率，则对元件i产生一个在[0，1]区间均匀分布的随机数Ri , 使

0si1(工作状态)(失效状态)ifRiQiif0RiQi(3.4)

具有N个元件的系统状态由矢量s表示：

S=(s1，…，si，…sN) (3.5)

一个系统状态在抽样中被选定后，即进行系统分析以判断其是否是失效状态，如果是，则对该状态的风险指标函数进行估计。

当抽样的数量足够大时，系统状态s的抽样频率可作为其概率的无偏估计，即

P(s)m(s)M(3.6)

式中：M是抽样数；m(s)是在抽样中系统状态s出现的次数。

当每一个系统状态的概率通过抽样估计以后，就可计算系统失效概率、系统失效频率、系统失效平均持续时间、以及系统其它风险指标。

非序贯蒙特卡洛法和状态枚举法之间明显的区别在于：如何选择系统状态和如何计算单个系统状态的概率。

在实际应用中，应注意以下几个方面：

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(1)必要的一步是产生每一个元件的随机数序列，这些随机数必须满足三个基本条件：均匀性、独立性和足够长的重复周期。

(2)蒙特卡洛法是一个波动收敛过程，因此估计出的风险指标总是有一个相应的置信范围。不能保证增加少量的样本就一定会减少误差，但置信范围确实会随样本数的增加而变窄。

(3)适当的收敛判据是确保蒙特卡洛模拟法精度的关键之一。方差系数常被用作为终止抽样的判据。在电力系统风险评估中，不同的风险指标有不同的收敛速度。已经发现，期望缺供电量(EENS)指标的方差系数收敛速率最低，因此应作为多个指标研究时的收敛判据。另一种方法是用预定的最大抽样数作为终止抽样的判据。当模拟过程结束时，校验方差系数是否足够小，如果否，则需要增加样本数再进行新的抽样。当用户并不知道需要用多少计算时间才能达到足够小的方差系数时，可用这种替代方法。

(4)非序贯模拟过程仅需要元件的失效概率作为抽样过程的输入数据。这个特点使我们能够容易地同时模拟可修复和老化失效引起的不可用率。为元件建立两个独立的随机数，一个是模拟可修复失效引起的不可用率，另一个是模拟老化失效引起的不可用率。

(5)状态抽样的理念不仅适用于元件失效事件，而且也可推广应用到电力系统风险评估中其它参数的状态抽样，例如：负荷水平、水文和气候状态等。而且，这个方法并不局限于年度为基础的模拟，还可很方便地用于进行任意时间段（周、月、季或年度）的模拟。

(6)较之状态枚举法，状态抽样法更适用于规模较大的系统或具有较高元件失效概率的系统评估。在这些情况下，为获得相同的精度，状态枚举法需要大得多的CPU时间。

(7)与状态枚举法相似，非序贯蒙特卡洛模拟法不能计及时间相关事件的时序信息，因而得出的系统失效频率和平均失效持续时间乃是近似估计。

3.3.3 序贯蒙特卡洛模拟法

序贯蒙特卡洛法是按照时序，在一个时间跨度上进行的模拟。其中对建立虚拟系统状态转移循环过程有不同的方法。最通用的是在这里讨论的所谓状态持续时间抽样法。

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状态持续时间抽样法是基于对元件状态持续时间的概率分布进行抽样，它分为以下几步：

第1步：指定所有元件的初始状态，通常是假设所有元件开始处于运行状态。 第2步：对每一元件停留在当前状态的持续时间进行抽样。应当设定状态持续时间的概率分布。对不同的状态，如运行或修复过程，可以假设有不同的状态持续时间概率分布。例如，下式给出指数分布的状态持续时间的抽样值：

Di1ilnRi(3.7)

式中，Ri是对应于第i个元件在[0，1]区间均匀分布的随机数。如果当前的状态是运行状态，则i是第i个元件的失效率；而如果当前的状态是停运状态，则i是第i个元件的修复率。服从不同概率分布的随机变量的产生方法是不同的。相关书籍有详细论述。

第3步：在所研究的时间跨度（大量的抽样年）内重复第2步，并记录所有元件的每一状态持续时间的抽样值,即可获得给定时间跨度内每一元件的时序状态转移过程，如图3.3所示。

图3.3 元件时序状态转移过程

第4步：组合所有元件的状态转移过程，以建立系统时序状态转移循环过程，如图3.4所示。

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图3.4 系统时序状态转移过程

第5步：通过对每一个不同系统状态的系统分析，计算风险指标函数。由于系统失效状态的发生、它们的持续时间、以及后果都能被清楚地确定并记录在系统状态转移循环过程中，因此系统风险指标的计算简单直观。式3.8至3.10是三个风险指标的通用公式。

PfDk1MdndkDk1MdndkDujj1Mup(3.8)

FfMdnDk1MdndkDujj1Mup(3.9)

DfDk1MdndkMdn(3.10)

式中：Pf , Ff和Df分别为系统失效概率、频率和平均持续时间；Ddk是第k个停运状态的持续时间；Duj是第j个运行状态的持续时间；Mdn和Mup分别为在模拟时间跨度内系统失效和运行状态出现的次数。除非失效或运行状态在抽样跨度末被截尾，否则这两个被抽取的状态数一般是相同的。

可见，序贯蒙特卡洛法的关键在于系统状态转移过程的生成，一旦这一步骤完成，指标计算则较简单。该方法的本质是建立一个虚拟的系统运行和失效的转移循环过程。

在实际应用中，重要的是认识以下几点：

（1）序贯蒙特卡洛法中至关重要的一步是计算服从某个概率分布的状态持续时间随机变量的抽样值，其基础是在[0，1]区间均匀分布的随机数的生成。

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（2）如同非序贯蒙特卡洛法一样, 序贯模拟也是一个波动收敛过程，因此需要一个适当的收敛判据。方差系数仍可用作为终止抽样的判据。可是应当注意，在序贯方法中的样本数不是抽取的系统状态数，而是抽样过程跨越的的年数。

（3）序贯蒙特卡洛法的主要优点是能精确地评估频率和持续时间指标，能灵活地模拟状态持续时间的任何分布，以及具有计算系统风险指标的统计概率分布的能力。这些却是状态枚举法或非序贯模拟法的弱点。

（4）较之非序贯蒙特卡洛模拟法，序贯蒙特卡洛法需要更多的CPU时间和存储空间。此外，它还需要与所有元件状态持续时间分布有关的参数。即使在指数分布假设下，也需要每一元件所有可能状态之间的转移率。在有些情况下，特别是对于多状态元件模型，可能难以获得所需要的全部输入数据。

（5）序贯模拟法是基于时序的概念，因而不能用于不具有时序特征情况的模拟。例如，如果研究的时段是一个月,譬如九月，则模拟多个九月组成的序列是不正确的，因为按时序,一个九月跟随的并不是另一个九月。

（6）不可能用序贯蒙特卡洛模拟法来模拟由老化失效引起的不可用率模型，这是因为已经假定老化失效是寿命的终止，因而没有失效频率和修复时间的概念；而序贯模拟法是基于包含许多次的失效和修复的转移过程。可是，序贯蒙特卡洛模拟法可用于模拟老化失效和元件更换交替转移的情形。必须强调的是，后一种情况完全不同于老化失效的不可用率模型，这种模型仅考虑老化失效，而不考虑更换元件。从概念上，更换不同于修复。

3.3.4 蒙特卡洛模拟法误差分析及收敛判据

概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡罗方法的理论基础。大数法则保证在抽取足够多的样本之后，蒙特卡罗方法取得的估计值收敛于待求量的真值;中心极限定理则描述了样本容量为N的蒙特卡罗估计值的分布规律，为分析蒙特卡罗方法

ˆ的计算误差提供了理论依据。设某可靠性指标R的试验函数为F(X)，则R的估计值R为:

1NˆRF(Xi)Ni1(3.11)

ˆ}决ˆ的误差由其方差V{R其中，Xi是系统状态向量无的第i个样本值。估计值R标准文案

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定，即

ˆ}V{F(X)}/NV{Ri(3.12)

而在电力系统的可靠性评估中，一般以方差系数作为计算收敛的判据，

ˆ}V{F(Xi)}/NV{RˆˆRR （3.13）ˆ可近似视为常数。由式(3.13)可知，计显然，在抽样次数大于一定数值之后，R算精度最终取决于抽样次数N和试验函数的方差V{F(Xi)}。在对计算速度和精度均要求较高的情况下，减小V{F(Xi)}}成为提高抽样效率和计算速度的有效措施，以此相同可靠性指标所对应的试验函数的方差即可作为衡量抽样算法优劣的重要标准。

3.4 蒙特卡洛法在电力系统中的简单应用举例

本节我们以发电—负荷需求系统的评估为例。

发电-负荷需求系统（generation-demand system）常常被称为发电系统。由于忽略发电和负荷之间的电网部分，发电系统风险评估提供的是充裕性总体测度指标，而不是单个变电站或负荷点的指标。发电-负荷需求系统模型示于图3.5中。图中发电机为

图3.5 发电—负荷需求系统模型

一侧，总负荷为另一侧。换句话说，这个模型处理发电和负荷两个随机变量，二者均包括对应各自发生概率的多级功率水平。系统分析的逻辑关系简单。对应于一个有发电机失效的系统状态，如果这时总负荷大于总发电容量，则需要削减负荷以保持功率

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平衡。发电系统评估的目的，就是量化分析发电机随机失效引起的风险。将系统所有可能状态对应的负荷削减及其发生的概率进行组合，建立起发电系统风险指标。

3.4.1运用非序贯蒙特卡洛模拟法

发电—负荷需求系统风险评估的基本思路是使用状态抽样技术选择发电机的状态，而负荷曲线仍然利用多级水平模型。解析的负荷水平概率的使用起到非序贯蒙特卡洛抽样法中方差减小的相同作用，因而产生更好的收敛性。如果要计入每级负荷水平的不确定性，则可以使用正态分布随机变量。

对每台发电机和示于图3.6多级负荷模型中相应的每一级负荷水平，在[0，1]区间抽取均匀分布随机数Rj 。第 j台发电机的状态即由下式确定：

0(运行)sj1（停运）2（降额）当RjPPjPFj当PPjRjPPjPFj当0RjPPj（3.14）

图3.6 负荷持续曲线及其多水平分级模型

式中：PFj 是停运状态的概率（即不可用率）；PPj 是降额状态的概率。显然，这个抽样概念可方便地推广到模拟发电机多个降额状态的情况，而并不增加计算量。这就是抽样法超过卷积法的主要优势。

按照发电机的状态确定每台机组的可用容量，从而可获得系统总的发电容量。对某一给定的负荷水平，在第k次抽样中的电力不足DNS(Demand Not Supplied)由下式计算：

DNSkmax{0，LiGjk}j1m(3.15)

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式中：Li是第i级水平的负荷；Gjk 是第j台发电机在第k次抽样中的可用容量；m是系统中的发电机台数。

用式 (3.16)和 (3.17)估计风险指标：

TiLOLEi1NiNLI(DNS)kkk1Ni(3.16)

式中的指示变量Ik，表示如下意义：

0Ik(DNSk)1TiLOEEi1NiNLNi当DNSk0当DNSk0DNSkk1 （3.17）(3.18)

式中：NL 是图3.6所示多级负荷模型中的负荷水平分级数；Ti是第i级负荷水平的时间长度；Ni 是第i 级负荷水平的抽样数。缺电时间期望(LOLE)和电量不足期望(LOEE)的单位分别是“小时/期间”和“兆瓦时/期间”，这里的期间可以是一年、一季、或一月。

实用中，每一负荷水平的抽样数有时相同，有时不同。一般说来，为达到同样精度，较低负荷水平需要更多的抽样。但是较低负荷水平对指标的影响总是较小，因而对于很低的负荷水平，可以接受较低的精度。与卷积方法类似，状态抽样法不可能提供频率和持续时间指标。

3.4.2运用序贯蒙特卡洛模拟法

在状态持续时间抽样法中，建立一个虚拟的系统发电容量曲线，并在时序负荷曲线上叠加得到模拟的运行过程。

图3.7 发电机和系统的发电容量循环曲线

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第一步是获取发电机组失效前时间和修复前时间的抽样值，从而生成每台发电机的运行循环。组合全部发电机的运行循环即可得到系统发电容量曲线。这一过程如图3.7所示。

第二步是在时序的小时负荷曲线上叠加系统发电容量曲线，从而得到一个系统可用裕度模型。负裕度表明必须削减系统负荷。这个模型给出长时间跨度模拟中每次负荷削减的量值和持续时间。图3.8示出这个叠加过程。

图3.8 系统发电容量曲线在小时负荷曲线上的叠加

第三步是计算风险指标。通过对叠加裕度模型的观察，可直接得到每一抽样年i中发生的缺电次数LLOi (Loss of Load Occurrence)、以小时计的缺电持续时间LLDi (Loss of Load Duration)、以及以兆瓦时计的电量不足ENSi (Energy Not Supplied) 。于是对应于N 个抽样年的风险指标可用式 (3.19)至 (3.20)估计：

（1）缺电时间期望LOLE (Loss Of Load Expectation，小时/年)

1LOLENLLDi1Ni(3.19)

（2）电量不足期望 LOEE (Loss Of Energy Expectation，兆瓦时/年)

1LOEENENSi1Ni(3.20)

（3）缺电频率LOLF (Loss Of Load Frequency，次/年)

1LOLFNLLOi1Ni(3.21)

（4）缺电持续时间 LOLD (Loss Of Load Duration，小时/次)

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LOLDLLDLLOi1i1NNi(3.22)

i状态持续时间法的主要优点是，它不仅提供缺电时间期望(LOLE)和电量不足期望(LOEE) 指标，而且提供频率和持续时间指标。为此付出的代价是模拟中大量的CPU 时间。除非频率和持续时间指标十分重要，或者时序相关因素需要考虑，否则，大多数情况下都不希望使用这个方法。这个方法不可能用来研究年负荷曲线不完整的情形。

值得强调，用于状态抽样法的抽样数和用于状态持续时间抽样法中的抽样年数，是两个完全不同的概念。认清这一差别十分重要。

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