福建省三明市A片区高中联盟校2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

三明市A片区高中联盟校2015－2016学年第一学期阶段性考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求) 1．求值：

tan49tan11＝ ( )

1tan49tan113C．3 D．－3

3

B．cos α＜0 D．sin α－cos α＜0

A．tan 38° B．2．若tan α＜0，则 ( )

A．sin α＜0 C．sin α·cosα＜0

x3．函数f(x)＝log2(3－1)的定义域为 ( )

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 4．下面各组函数中为相同函数的是 ( )

A．f(x)＝(x1)2，g(x)＝x－1 B．f(x)＝x21，g(x)＝x1x1 C．f(x)＝ln e与g(x)＝e

0xln x

D．f(x)(x1)与g(x)1(x1)0

5．已知集合A{x|1x3}，Bx0xa，若AB，则实数a的范围是 ( )

 A．[3,) B．(3,) C．(,3] D．(,3) 6．实数a＝0.22，b＝log0.2

0.2，c＝()的大小关系正确的是 ( ) 22 A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

7．向高为H的水瓶中均速注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那( )

么

水

瓶

的

形

状

是

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ

( )

1

13

等于

A． B． C．－ D．－

23131323

9．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，可以将函数y＝2sin(3x)的图象

2 ( )

 A．向右平移6个单位

B．向右平移2个单位

C．向左平移10

．

设

6个单位 sin(

4 ＋

 )

D．向左平移＝

132个单位 则

sin

2θ

＝

，

( )

A．－ B．－ C． D．

11．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x

＋x－2

( )

79191979的零点为b，则下列不等式中成立的是

A．a<1B．a12．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为

射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为

( )

第Ⅱ卷

2

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知函数f(x)＝xm过点(2，)，则m＝＿＿＿；

14．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，

4x22, 1x0,3 f(x)＝则f()＝________；

20x1,x,15．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等

式f(1－m)＋f(1－2m)<0的实数m的取值范围是＿＿＿＿；

121,xM,16．对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合AB

1,xM.＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合AB的结果为＿＿＿＿＿＿＿＿．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

1120(1)计算：()＋lne－(5)＋83＋log62＋log63；

2（-2,1）(2)已知向量a＝(sin,cos)，b＝，满足a∥b，其中(,)，求

2cos 的值．

18．(本小题满分12分)

已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°．

(1) 求ab及|a＋b|；

(2)设向量a＋b与a－b的夹角为θ，求cosθ的值．

19．(本小题满分12分)

已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．

(1)若函数y＝f(x)的零点为－1和1，求实数b，c的值；

(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围． 20．(本小题满分12分)

3已知a(3sinx,cosx)，b(sinx,sinx)，设函数f(x)ab.

2(1)写出函数f(x)的周期，并求函数f(x)的单调递增区间；

3

(2)求f(x)在区间[,32]上的最大值和最小值.

21．(本小题满分12分)

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x)＝f(x1)－f(x2)． 2(1)求f(1)的值；

(2)若当x>1时，有f(x)<0．求证：f(x)为单调递减函数； (3)在(2)的条件下，若f(5)＝－1，求f(x)在[3，25]上的最小值．

22．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)． (1)当a=1时，求f(x)的最小值； (2)当f(x)有最小值时，求a的取值范围

(3)若函数h(x)＝f(sinx)－2存在零点，求a的取值范围．

4

三明市A片区高中联盟校2015－2016学年第一学期阶段性考试

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题：

1．C； 2．C； 3．D； 4．D； 5．B； 6．C； 7．B； 8．A； 9．A； 10．A； 11．A； 12．B； 二、填空题：

13．－1； 14．1； 15．[－

12，)； 16．{1，6，10，12}． 23三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

解析：(1)原式＝1＋1－5＋2＋1＝0； „„„„„„„„„6分

(2)∵a∥b，a＝(sin,cos)，b＝， （-2,1）∴sin＝-2cos， ① „„„„„„„„„9分 又sin2＋cos2＝1， ②

1由①②解得cos2＝， „„„„„„„„„11分

5∵(,)，∴cos＝－25． „„„„„„„„„12分 518．(本小题满分12分)

1解析：(1)a·θ＝1×2×(－)＝－1， „„„„„„„„„2分 b＝|a||b|cos 120°

2所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·(－1)＝3. b＝12＋22＋2×

所以|a＋b|＝3. „„„„„„„„„4分

(2)同理可求得|a－b|＝7. „„„„„„„„„6分

因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝12－22＝－3， „„„„„„„„„9分

321(ab)(ab)所以cosθ＝＝＝－．

7|ab||ab|3721所以向量a＋b与a－b的夹角的余弦值为－． „„„„„„„„12分

719．(本小题满分12分)

解：(1) 函数y＝f(x)的零点为－1和1．由根与系数的关系，得

5

112b,2b0,即所以b＝0，c＝－1. „„„„„„„„„5分 11c.c1.(2)由题意可知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b. „„„„„„„„„6分 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，

因为关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间 (－3，－2)，(0，1)内，

g(3)57b0,g(2)15b0,15所以有 解得b，

57g(0)1b0,g(1)b10.15即实数b的取值范围为(,)． „„„„„„„„„12分

57

20．(本小题满分12分)

解析：（1）由已知得ab＝3sin2xsinxcosx， „„„„„„„„„1分

＝31cos2x1sin2x 22＝331cos2xsin2x 2223sin(2x) 23＝3∴f(x)absin(2x)， „„„„„„„„„4分

23∴函数的周期为T2， „„„„„„„„„5分 2由2k52x2k(k∈Z)解得kxk， 2321212∴f(x)的单调递增区间为k12，k5(k∈Z)； „„„„„„„7分 12(2)由(1)知f(x)sin(2x)， 3当x3582x时，， „„„„„„„„„9分

2333 6

所以，3sin(2x)1， 23故f(x)在区间[,33]上的最大值和最小值分别为1和-. „„„„„12分

22

21．(本小题满分12分)

解：(1)令x1＝x2>0， 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，

故f(1)＝0. „„„„„„„„„4分

x(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则1>1，

x2由于当x>1时，f(x)<0，所以f(x1)<0， x2即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．„„„„„„„„„8分 (3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f(x)在[3，25]上的最小值为f(25)． 由f(x1)＝f(x1)－f(x2)得， x2f(5)＝f(25)f(25)f(5)，而f(5)＝－1， 5所以f(25)＝－2.

即f(x)在[3，25]上的最小值为－2. „„„„„„„„„12分

22．(本小题满分14分)

解：(1)当a=1时

3x4(x2)f(x)x4(x2)„„„„„„„„2分

所以，f(x)在-，2递减，在2，递增，

故最小值为f(2)2 „„„„„„„„„4分

7

（2）f(x)（a2）x4(x2) „„„„„„6分 (a2)x4(x2)a20,要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，„„„„„„„8分

a20,故a的取值范围为[－2，2]． „„„„„„„„„9分 (3)∵sinx∈[－1，1]，∴f(sinx)＝(a－2)sinx＋4，

“h(x)＝f(sinx)－2＝(a－2)sinx＋2存在零点”等价于“方程(a－2)sinx＋2＝0有解”，

亦即sinx2a2有解，∴12a21， 解得a0或a4， ∴a的取值范围为,04,

„„„„„„„„„11分

„„„„„„„„„13分 „„„„„„„„„14分

8