高中数学选修(理科)常用公式

卷版）

一、常用逻辑用语

1．四种命题：（1）原命题：若p则q （2）逆命题： 若q则p

（3）否命题：若p则q （4）逆否命题：若q则p

（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题||，逆命题与否命题同真假） 2．如果pq||，那么p是q的充分条件||，q是p的必要条件 注意：（1）小范围大范围||，大范围小范围||，

（2）“p的充分不必要条件是q”“q是p的充分不必要条件” 3．复合命题pq、pq、p的真假性（p即命题的否定）：

（1）当p和q为一真一假时||，pq为假||，pq为真； （2）p和p的真假性相反 4．全称命题与特称命题. 若p：xM,q(x)成立||，则p：x0M,q(x0)成立 二、圆锥曲线 1．椭圆 定义 图形 动点M到两定点F1,F2的距离之和为2a（F1F22a）||， 即：MF（ca） 1MF22a||， 标准方程 范围 长轴长 短轴长 焦点、焦距 顶点 离心率 准线 焦半径 x2y221(ab0) 2aby2x221(ab0) 2abaxa||，byb 2a bxb||，aya 2b (c,0)、2c (a,0)||，(0,b) (0,c)、2c (b,0)||，(0,a) ea2x cc（0e1） aa2y cMF1aex0||，MF2aex0 SMF1F2b2tanMF1aey0||，MF2aey0 MF1F2 面积公式 2（其中F1MF2） 第1页/共8页

通径的长 2．双曲线

定义 2b2 a动点M到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为2a（F1F22a） 即：MF1MF22a（ca） 图形 标准方程 范围 实轴长 虚轴长 焦点、焦距 顶点 渐近线 离心率 准线 焦半径 x2y21 a2b2y2x21 a2b2xa或xa||，yR 2a 2b (c,0)、2c (a,0) xR||，ya或ya (0,c)、2c (0,a) ybx ayax bea2x cc（e1） aa2y cMF1ex0a||，MF2ex0a SMF1F2b2tanMF1ey0a||，MF2ey0a MF1F2 面积公式 通径的长 小秘密 2（其中F1MF2） 2b2 aab焦点到渐近线的距离为b；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为 c A2注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用） AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2 快速公式：AB1k2AB11112AB1yy1(yy)4yy 快速公式： 121212k2Ak2k2第2页/共8页

（其中A是指消去y或x后得到一元二次方程中的二次项系数） 3．抛物线 定义 标准 方程 动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离 即：PFPP||，（F到l的距离为p） y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围 对称轴 焦点 准线 准线 方程 离心率 焦半径 焦点弦公式 x0 p(,0) 2px 2px0 2 x0 x轴 y0 y0 y轴 (p,0) 2px 2p(0,) 2py 2p(0,) 2py 2py0 2e1 PFPFpx0 2PFpy0 2PFABp(x1x2) ABp(x1x2) ABp(y1y2) ABp(y1y2) 三个圆：以AB为直径的圆与准线相切；以AF、BF为直径的圆都与坐标轴相切. 角平分线：设M为准线与坐标轴的交点||，则x轴（或y轴）是AMB的角平分线 p2pp2p||，BF||，AB||，SAOB||， 焦点弦AF22sin1cos1cossin的秘密 112 AFBFp（其中为直线AB的倾斜角） 三、导数及其应用 1. 概念：f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）f(x0)yxx0lim瞬时速度vs(t). 瞬时加速度av(t).（注意这个物理意义）

f(x0x)f(x0)y. limx0xx0x2. 函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f(x0)||，相应的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0).

3. 几种常见函数的导数

（1）C0（C为常数）.（2）(x)nxnn1.（3）(sinx)cosx.（4）(cosx)sinx.

（5）(lnx)11xxxx；(logax). （6）(e)e；(a)alna. xxlna第3页/共8页

111(x) (xlnx)1lnx 2xx2x4. 导数的运算法则：（1）[Cf(x)]Cf(x) （2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[]（3） [f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x) （4）

g(x)[g(x)]2最好记住这三条常用的公式：()5. 复合函数的求导法则：若yf(u),ug(x)||，则yxf(u)g(x)

6. 函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间(a,b)可导||，若f(x)0||，则yf(x)在

(a,b)上单调递增；若f(x)0||，则yf(x)在(a,b)上单调递减．

逆命题：若f(x)在(a,b)上是增函数||，则f'(x)0； 在(a,b)上是减函数||，则f'(x)0.

7. 求函数yf(x)极值的方法与步骤：

（1）求导数f(x)； （2）求方程f(x)0的根；

（3）画出x、f(x)、f(x)的分布表格||，并判断极大值、极小值

四、推理与证明 1. 推理

（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）. （2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论）||，由一般到特殊的推理. （3）合情推理得到的结论不一定正确||，需要证明.

演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）. 2. 证明

（1）直接证明：综合法（条件结论）与分析法（结论条件（恒成立）） （2）间接证明：反证法（反设矛盾推翻反设） （3）数学归纳法：

① 证明当n取第一个值n0（n0N）时结论成立.

*

*② 假设当nk（kN||，且kn0）时结论成立||，证明当nk1时结论也成立.

由①②可知||，对任意nn0||，且nN时||，结论都成立. 五、计数原理

*

n!

(nm)!n(n1)(n2)(nm1)n!m2. 组合数：Cn

m!m!(nm)!1. 排列数：Ann(n1)(n2)m(nm1)3. 组合数的性质：

mnm（1）CnCn；

mmm1（2）Cn1CnCn 012（3）CnCnCnn135Cn2n； CnCnCn024CnCnCn2n1

nm11232Cn3CnCn1； Cnmrrrrr1（5）CrCr1Cr2CnCn1；

（4）Cnmn0n1n14. 二项式定理：(ab)CnaCnabnnCnn2n1

rnrrCnabnnCnb

rnrr（1）展开式中的通项（第r1项）：Tr1Cnab

（2）二项式系数：Cn（r1,2,r,n）||，

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若n为偶数||，则展开式的中间一项Tn的二项式系数最大；

21若n为奇数||，则展开式的中间两项Tn1与Tn1的二项式系数最大；

221

（3）二项式系数和与各项系数和

二项式系数和：2n 各项系数和的计算方法：令(ab)中的变量等于1

例如：(2)的二项式系数和为216||，各项系数和为(2)381（令

n1x441144x1）

六、概率

1. 古典概型与几何概型 （1）古典概型的概率P(A)m||，基本事件有限||，每个基本事件出现的可能性相同. nm表示事件A包含的基本事件数||，n表示所有基本事件数.

（2）几何概型的概率P(A)A||，基本事件无限||，每个基本事件出现的可能性相同. A表示事件A发生区域的几何度量||，表示总区域的几何度量（如长度、面积、体

积）

2. 互斥事件与对立事件

（1）概念理解：互斥事件——AB； 对立事件——AB且P(A)P(B)1. （2）关系：对立的两个事件一定互斥||，互斥的两个事件不一定对立. （3）概率加法公式：若事件A与B互斥||，则P(AB)P(A)P(B). 3. 相互独立事件A,B及其同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B). 4. 条件概率：设A与B为两个事件||，且P(A)0||，则P(B|A)P(AB)||， P(A)其中P(B|A)表示事件A发生的条件下事件B发生的概率.

5. 离散型随机变量及其分布列 （1）分布列性质：pi0||，

pi1nnip1p2npn1.

ii（2）随机变量X的数学期望（均值）：EX（3）随机变量X的方差：DXxpi1x1p1x2p2xnpn.

(xnEX)2pn.

2(xEX)ii12pi(x1EX)2p1(x2EX)2p2（4）随机变量X的均值与方差的性质：E(aXb)aEXb； D(aXb)aDX. （5）二项分布（独立重复实验）：X~B(n,p)||，EXnp||，DXnp(1p)

kknk 在n次试验中恰好成功k次的概率P(Xk)Cnp(1p)||，k0,1,,n

注意：X表示试验成功的次数

（6）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中||，任取n件||，其中恰有X件次品数||，则

knkCMCNM P(Xk)||，其中nN,MN nCN6. 正态分布：X~N(,)||，其中表示总体平均值||，表示标准差

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（1）正态总体函数fx1||，x, e2①在正态分布中||，当0||，1时||，叫做标准正态分布||，记作X~N(0,1).

1②函数fx的图象关于x对称||，f(x)0||，fxmax

2③函数fx的图象与x轴围成的总面积为1||，P(X)P(X)0.5

④越大||，函数fx的图象越“矮肥”；越小||，函数fx的图象越“高瘦”

(x)2　22（2）几个重要的概率：

七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系：NNZQRC

2. 复数的概念：形如abi(a,bR)的数叫做复数||，其中i叫做虚数单位||，i1||，

2*a与b分别叫做复数abi的实部和虚部.

3. 复数abicdi的充要条件是ac且bd. 特例abi0ab0. 4. 对于复数abi||，当b0时||，它是实数；当a0且b0时||，它是纯虚数. 5. 复数的模：向量OZ的模||，叫做复数zabi的模||，即zabi7. 共轭复数：zabi的共轭复数为zabi.

8. 复数加、减法法则：(abi)(cdi)=(ac)(bd)i. 9. 复数乘、除法法则：(abi)(cdi)=(acbd)(bcad)i. 八、统计案例

a2b2. 6. 复数所在象限的确定：zabi对应点(a,b)||，判断点(a,b)所在的象限.

ˆaˆbxˆ用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 1. 回归直线方程为yˆb(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n=2i1nxi12inx2ˆ（yˆaˆybxˆbxˆ必过样本中心点x,y），a

niˆiyiyˆi；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数R212. 残差公式：enˆ)(yyi2(yy)ii1i1n

2残差平方和

(yi1222ˆy)0R1）越接近于1||，回归效果越好. 越小||，（RiiR2与r的区别：R2为相关指数||，r为相关系数||，r0时为负相关||，r0时为正相关

||，

1r1||，r越接近于1||，变量间的相关性就越强.

3. 独立性检验的解题步骤：

（1）写出列联表；

（2）据公式代数求解K的值；

22（3）根据观测值K查表||，如果Kk0||，就推断两变量有关系||，犯错误概率不超过P（即

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有1P的把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过P的前提下不能推断两变量有关系 P(K2≥k0) k0 20.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 0.010 5.024 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 n(adbc)2K,nabcd||，（上表中的概率P是指犯错误的概．．．(ab)(cd)(ac)(bd)率）

九、坐标系与参数方程选讲

1. 极坐标系的公式：xcos,ysin,xy,tan（表示极点O和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角） 2. 参数方程：

（1）圆(xa)(yb)r的参数方程：222222y(x0). x（表示圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）

xarcos（为参数）；

ybrsinxacosx2y2（2）椭圆221(ab0)的参数方程： （为参数）；

abybsinx2pt2*（3）抛物线y2px的参数方程：（t为参数）；

y2ptxasecx2y21*（4）双曲线221的参数方程：（为参数）.（sec）；

abcosybtan2（5）直线yy0tan(xx0)的参数方程：（t表示点Px0,y0到直线l上的任意一点M(x,y)的有向距离） 圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）

3. 空间直角坐标系：已知向量a=(x1,y1,z1)||，b=(x2,y2,z2) （1）空间向量的平行与垂直：a∥b（2）空间向量的模、距离公式：a=xx0tcos（t为参数）.

yy0tsinx1y1z1（x2,y2,z20） x2y2z2x12y12z12,AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 （3）点(x,y,z)关于x轴对称的点为(x,y,z)||，关于y轴对称的点为(x,y,z)

关于z轴对称的点为(x,y,z)||，关于原点(0,0)对称的点为(x,y,z) 关于平面xOy对称的点为(x,y,z)||，关于平面yOz对称的点为

(x,y,z)||，

关于平面xOz对称的点为(x,y,z)||，

十、空间的角与空间的距离（向量法）：

设直线a与b的方向向量分别为a,b||，平面与的法向量分别为n1,n2

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（1）异面直线a与b所成的角：则cosabab||，(0,2]

（2）直线a与平面所成的角：sin　cosa,n1　（3）二面角l的平面角：cosan1||，[0,]

2an1n1n2||，[0,]

n1n2 注意：二面角的平面角需要根据实际图形||，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P到平面的距离：d十一、补充公式与定理

1. 斜率k、比率、离心率e||，ePAn1n1||，其中A

11k2 1（焦点在x轴上的所有圆锥曲线都成立||，若焦点在y轴||，则改为e2. 斜率k1k2为定值的两个定理：

1112） 1kx2y2椭圆221ab0上的关于原点对称的两定点为A,B||，点M是椭圆上的动点||，

abb2b2直线PQ交椭圆于P,Q两点||，点N是PQ的中点||，则kMAkMB2||，kPQkON2；

aax2y2双曲线221a0,b0关于原点对称的两定点为A,B||，点M是双曲线上的动点

abb2b2||，直线PQ交双曲线于P,Q两点||，点N是PQ的中点||，则kMAkMB2||，kPQkON2.

aa（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y轴上||，则a,b的位置互换）

3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线） （1）曲线上任意一点Px1,y1的切线方程为：

22将原曲线方程按照以下方式“xx1x||，yy1y||，xax1axa||，

2xx1yy1||，y”置换得到. 22（2）过曲线外任意一点Px0,y0引曲线的两条切线||，切点A||，B所在的直线方程为：

yby1byb||，x222将原曲线方程按照以下方式“xx0x||，yy0y||，xax0axa||，

2xx0yy0||，y”置换得到. 224. 求点A关于直线xym0（xym0）的对称点A可以用“x||，y交叉置换法”快速求解. 例如求A3,2关于xy30的对称点Ax0,y0||，①把xy30进

yb2y0byb||，xx0y3行交叉置换||，②A3,2代入即可求得Ax0,y0为A1,6.

yx30（注意：当对称轴的斜率k1时才可以用此绝技||，否则只能用传统的解方程组的方法）. 5. 复杂的导数问题常考“整体法”||，关键是要想到整体函数gx||，常见的gx有

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