江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试

高三数学试卷（文）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ．．．．．．．．

一、填空题（每小题5分，共70分）

1、已知集合Ax|x3|1，Bxx25x40，则AB ▲ ． 2、已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c2≥3”的否命题是____▲_____． 3、若sin(12)13,则cos(712)的值为 ▲ . 4、函数f(x)x2lnx单调递减区间是 ▲ ．

5、已知函数f(x)loga(x1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是 ▲ ． 6、已知|a|=2，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ． 7、已知P为椭圆

xa22yb221(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2

为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．

8、已知命题p：f(x)1a3x在x,0上有意义，命题q：函数的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围 ylg(axxa)▲ ．

9、设函数ysinx(0x)的图象为曲线C，动点A(x,y)在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B(A、B可以重合），设线段

AB的长为f(x)，则函数f(x)单调递增区间 ▲ ．

y A B 2O 2  x

10、设an是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3),则

an= ▲ ．

11、已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线yxb都不是曲线yx33ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲

π2sinx＋1

12、设x∈0，，则函数y＝的最小值为___▲_____．

2sin 2x13、设实数a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa,3a，都有y[a,a2]满足方程loga2

xlogayc，这时，实数a的取值的集合为 ▲ ．

2x1(x0)14、已知函数f(x)，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺

f(x1)1(x0)序排列成一个数列，则该数列的前n项的和Sn,则S10＝ ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤.

15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求bc的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

16、(本题满分14分)

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC， E为PB的中点，

（1）求证：PD//平面AEC； （2）求证：平面AEC⊥平面PDB．

2tP E

D C

A

B

（第16题图）

B（其17、已知以点C(t,)(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、

中O为原点）．

⑴求证：OAB的面积为定值；

⑵设直线y2x4与圆C交于点M、N，若OMON，求圆C的方程．

18、 某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角

π

形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线

4

段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．

(1) 试将y表示为x的函数；

(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？

19． （本小题16分）

已知函数f(x)13

x2x3x（xR）的图象为曲线C．

32（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐

标的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条

件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}满足：bnan1annN*． （1）若a11,bnn，求数列{an}的通项公式； （2）若bn1bn1bnn2，且b11,b22．

①记cna6n1n1，求证：数列cn为等差数列；

②若数列的条件．

ann中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 名 姓 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 号 位 座题 答 勿_ _请__内__线__订__装__ _ 号 卡 题 答 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 级 班

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试

高三数学答卷（文）

全卷满分160分，考试时间120分钟

一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分．

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

16．（本小题满分14分）

P E D C

A

B

（第16题图）

17．（本小题满分15分）

18．（本小题满分15分）

19．（本小题满分16分）

20．（本小题满分16分）

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试

高三数学试卷（文）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ．．．．．．．．

一、填空题（每小题5分，共70分）

1、已知集合Ax|x3|1，Bxx25x40，则AB {4} .

b，cR，2、已知a，命题“若abc3，则a2b2c2≥3的否命题是___________．

若abc3，则a2b2c2＜3；

1173、若sin(),则cos()的值为  .

1231234、函数f(x)x2lnx单调递减区间是 ▲ 。（0，2）

5、已知函数f(x)loga(x1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是 ▲ ．2 6、已知|a|=2，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ．7、已知P为椭圆

1168522

xa22yb1(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2

22,1 )

为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是 ( ．

8、已知命题p：f(x)1a3x在x,0上有意义，命题q：函数的ylg(axxa)定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围 ．(,](1,)

2129、设函数ysinx(0x)的图象为曲线C，动点A(x,y)在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B(A、B可以重合），设线段

AB的长为f(x)，则函数f(x)单调递增区间 ．[y A B 2O ,]

2  x

10、设an是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3),则an= ▲ ．

2n1

11、已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线yxb都不是曲线yx33ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲ a13

2

π2sinx＋1

12、设x∈0，，则函数y＝的最小值为________．3

2sin 2x13、设实数a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa,3a，都有y[a,a2]满足方程logxlogyc，这时，实数a的取值的集合为 ▲ 。{3}

aa14、已知函数

2x1(x0)f(x)，把函数

f(x1)1(x0)g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到

大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和Sn,则S10＝ ▲ 。A．2101 B．291 C．45 D．55

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤.

15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

解、(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0.

所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.„„„„„„„„4’ (2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．

所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.

又17－15sin2β的最大值为32，

所以|b＋c|的最大值为42.„„„„„„„„„10’

(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14’ P 16、(本题满分14分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，

E为PB的中点，如图所示． （1）求证：PD//平面AEC；

（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．

证明:(1)设ACBDO，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO„„„„4分

而PD面AEC,EO面AEC，所以PD∥面

AEC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

E D C

A B

（第16题图）

(2)连接PO，因为PAPC，所以ACPO，又四边形ABCD是菱形，所以

ACBD„„„„10分

而PO面PBD，BD面PBD，POBDO，所以AC面PBD„„„13分 又AC面AEC，所以面AEC面PBD„„„„„„„„„„„„„„14分

17、 已知以点C(t,)(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、Bt2（其中O为原点）．

⑴求证：OAB的面积为定值；

⑵设直线y2x4与圆C交于点M、N，若OMON，求圆C的方程． ⑴证明：∵圆C过原点O，∴OCt设圆C的方程是(xt)(y令x0，得y10,y2∴ SOAB12OAOB4t122224t2．

， „„„„„„„„2’

2t)2t24t2；令y0，得x10,x22t．

4t||2t|4．即OAB的面积为定值．„„„„„„„7’

|⑵解：∵OMON，CMCN，∴OC垂直平分线段MN． ∵ kMN2，∴koc∴

2t1212，∴直线OC的方程是y12x．

t，解得t2或t2． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10’

当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC155，此时C到直线y2x4的距离

d5，圆C与直线y2x4相交于两点； „„„„„„„„„„„„12’

当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC955，此时C到直线y2x4的距离

d圆C与直线y2x4不相交，∴t2不符合题意舍去．……„„14’ 5，

故圆C的方程为(x2)(y1)5． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„15’

18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其

上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、

π

DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线

4

段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．

22

(1) 试将y表示为x的函数；

(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？

解：(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)

π

连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋，

2

π

所以DE＝DF＝1＋1－2cos2x＋＝2＋2sin2x＝2(sinx＋cosx)．(6分)

2

所以y＝2k[22(sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(22＋4x) ＝2k[22(sinx＋cosx)－2x＋2＋π](9分)

(2) 因为由y′＝4k[2(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)

π1π

解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)

4212ππ

又当x∈(0，)时，y′＞0，所以此时y在(0，)上单调递增；

1212ππππ

当x∈(，)时，y′＜0，所以此时y在(，)上单调递减．

124124π

故当x＝时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)

12

19．（本小题满分16分） 已知函数f(x)13x2x3x（xR）的图象为曲线C．

32（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐

标的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条

件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

22解：（1）f(x)x4x3，则f(x)(x2)11，

即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是1,；------------4分 k1（2）由（1）可知，1---------------------------------------------------------6分

1k22解得1k0或k1，由1x4x30或x4x31

得：x,22(1,3)22,；-------------------------------9分

（3）设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，

x1x2，

则切线方程是：y(x12x13x1)(x14x13)(xx1)，

31322 化简得：y(x14x13)x(223x12x1)，--------------------------11分

232 而过B(x2,y2)的切线方程是y(x24x23)x( 由于两切线是同一直线，

23x22x2)，

32 则有：x14x13x24x23，得x1x24，----------------------13分 又由 即 132323x12x12322223x22x2，

232(x1x2)(x1x1x2x2)2(x1x2)(x1x2)0

222(x1x1x2x2)40，即x1(x1x2)x2120

22 即(4x2)4x2120，x24x240

得x22，但当x22时，由x1x24得x12，这与x1x2矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}满足：bnan1annN*． （1）若a11,bnn，求数列{an}的通项公式； （2）若bn1bn1bnn2，且b11,b22．

①记cna6n1n1，求证：数列cn为等差数列；

②若数列的条件．

20．解：（1）当n2时，有

ana1a2a1a3a2anan1a1b1b2bn1n2ann中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足

2n21．

又a11也满足上式，所以数列an的通项公式是an（2）①因为对任意的nN*，有bn6bn5bn41bn3n22n21．„„„„„4分

bn1bn2bn，

所

cn1cnan以

an，

bnbnbnbnbnbn6122112127，

5所以，数列cn为等差数列． „„„„„„„„ 8分 ②设cna6ninN*（其中i为常数且i1,2,3,4,5,6，

所以，cn1cna6n6ia6nib6nib6ni1b6ni2b6ni3b6ni4b6ni57， 即数列a6ni均为以7为公差的等差数列． „„„„„„„„ 10分

7设fka6ki6kiai7ki6k6i6kaii6k76i66i6k7ai7i．

（其中n6ki,k0,i为1,2,3,4,5,6中一个常数） 当ai7676i时，对任意的n6ki，有

ai7iann76； „„„„„„„„ 12分

当aii时，fk17676ii7666． fkaii6k1i6ki66k1i6kia6ki6kia6ki6kiai7（Ⅰ）若ai（Ⅱ）若ai，则对任意的kN有fk1fk，所以数列，则对任意的kN有fk1fk，所以数列764312131612为递减数列； 为递增数列．

116i综上所述，集合B,,,,．

6323741当a1B时，数列ann中必有某数重复出现无数次；

均为单调数列，任意一个数在这6个数列中

当a1B时，数列a6kii1,2,3,4,5,66kiann最多出现一次，所以数列

任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．„„ 16分