一.选择（共10题，每题3分，共30分）
1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A． 扩大3倍 B． 缩小3倍 C． 缩小6倍 D． 不变
2．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二，三象限 B． 第一，三象限 C． 第三，四象限 D． 第二，四象限
3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． x≥0 B． x≠1 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1 C． y3＜y1＜y2 D． y2＜y1＜y3
6．如图，过双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上两点A，B分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（ ）
A． S1＞S2 B． S1=S2
C． S1＜S2 D． S1与S2无法确定
7．解分式方程+=3时，去分母后变形为（ ）
A． 2+（x+2）=3（x﹣1） B． 2﹣x+2=3（x﹣1） C． 2﹣（x+2）=3（1﹣x） D． 2﹣（x+2）=3（x﹣1）
8．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． ﹣1或2
9．在反比例函数y=，图象分布在一三象限，则m的取值范围是（ ）
A． m＜0 B． m＞0 C． m＜ D． m＞
10．函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是下图中的（ ）
A． B． C． D．
二.填空（共8题，每题3分，共24分）
11．若关于x的方程=+1无解，则a的值是 ．
12．反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为 ．
13．的最简公分母是 ．
14．若=2﹣x，则x的取值范围是 ．
15．如图，矩形ABOC的面积为，反比例函数y=的图象过点A，则k= ．
16．计算：
= ．
17．化简：a≥0，b≥0时，= ．
18．若实数a、b满足|a+2|，则= ．
三.解答题（共9题，共66分）
19．计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．
20．（a﹣）÷．
21．先化简，再求值：1﹣÷，其中a=﹣1．
22．解方程：﹣=1．
23．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
求证：四边形OBEC是菱形．
24．到离学校15千米的风景区去秋游，骑车的同学提前40分钟出发，其余的同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度．
25．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
26．y是x的反比例函数，且当x=4时，y=3．
（1）写出y与x之间的函数表达式．
（2）画出函数的图象，并根据图象说出当2≤x≤3时y的取值范围．
27．（10分）（2015春•新沂市校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y1=的图象经过点C，一次函数y2=ax+b的图象经过点A、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出y2＞y1时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择（共10题，每题3分，共30分）
1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A． 扩大3倍 B． 缩小3倍 C． 缩小6倍 D． 不变
考点： 分式的基本性质．
分析： 要解此题，可以将x，y用3x，3y代入、化简，跟原式对比．
解答： 解：将x，y用3x，3y代入中可得=，
∴分式的值不变．
故选D．
点评： 此题考查的是对分式的性质的理解和运用．
2．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二，三象限 B． 第一，三象限 C． 第三，四象限 D． 第二，四象限
考点： 反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
专题： 待定系数法．
分析： 先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．
解答： 解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选：D．
点评： 本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0
时，图象在第二、四象限．
3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． x≥0 B． x≠1 C． x＞0 D． x≥0且x≠1
考点： 分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 代数式有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．
解答： 解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．
解得：x≥0且x≠1．
故选：D．
点评： 式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件．
分式有意义的条件为：分母≠0；
二次根式有意义的条件为：被开方数≥0．
此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件，导致漏解情况．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=﹣
=
=．
故选B．
点评： 本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可．
5．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1 C． y3＜y1＜y2 D． y2＜y1＜y3
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
解答： 解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，
∴y3最大，
∵在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴y2＜y1．
故选：D．
点评： 在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．
6．如图，过双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上两点A，B分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（ ）
A． S1＞S2 B． S1=S2
C． S1＜S2 D． S1与S2无法确定
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 因为A，B都是双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上的两点，根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，可知S1=S2．
解答： 解：依题意可知，△AOC的面积S1和△BOD的面积S2有S1=S2=|k|．
故选B．
点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y
轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
7．解分式方程+=3时，去分母后变形为（ ）
A． 2+（x+2）=3（x﹣1） B． 2﹣x+2=3（x﹣1） C． 2﹣（x+2）=3（1﹣x） D． 2﹣（x+2）=3（x﹣1）
考点： 解分式方程．
分析： 本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
解答： 解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．
故选D．
点评： 考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．
8．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． ﹣1或2
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．
解答： 解：由题意得：x﹣2=0，且x+1≠0，
解得：x=2，
故选：C．
点评： 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
9．在反比例函数y=，图象分布在一三象限，则m的取值范围是（ ）
A． m＜0 B． m＞0 C． m＜ D． m＞
考点： 反比例函数的性质．
分析： 根据反比例函数图象所在象限可得1﹣2m＞0，再解即可．
解答： 解：∵反比例函数y=，图象分布在一三象限，
∴1﹣2m＞0，
解得：m，
故选：C．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）
k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
10．函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是下图中的（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析： 先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
解答： 解：A、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＞0，相矛盾，故错误；
B、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＞0，正确；
C、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＜0，相矛盾，故错误；
D、由函数y=kx+1的图象可知k＞0，由函数y=的图象可知k＜0，相矛盾，故错误．
故选B．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二.填空（共8题，每题3分，共24分）
11．若关于x的方程=+1无解，则a的值是 2或1 ．
考点： 分式方程的解．
专题： 压轴题．
分析： 把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．
解答： 解：x﹣2=0，解得：x=2．
方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2
当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，
解得：a=2．
当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．
故答案是：2或1．
点评： 首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．
12．反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为 ﹣2 ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
分析： 将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
解答： 解：将点（2，﹣1）代入解析式，
可得k=2×（﹣1）=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
13．的最简公分母是 12x3yz ．
考点： 最简公分母．
分析： 利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．
解答： 解：的最简公分母是12x3yz．
故答案为：12x3yz．
点评： 本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．
14．若=2﹣x，则x的取值范围是 x≤2 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
解答： 解：∵=2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
点评： 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，=﹣a．
15．如图，矩形ABOC的面积为，反比例函数y=的图象过点A，则k= ﹣ ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=，求出k的值．
解答： 解：依题意，有|k|=，
∴k=±，
又∵图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=﹣．
故答案为：﹣．
点评： 反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16．计算：= 3 ．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 首先根据乘法分配律打开括号，然后合并同类根式即可求解．
解答： 解：，
=﹣+3，
=3．
点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
17．化简：a≥0，b≥0时，= 2ab ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 利用二次根式的性质分别化简得出即可．
解答： 解：∵a≥0，b≥0，
∴=2ab．
故答案为：2ab．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
18．若实数a、b满足|a+2|，则= 1 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：根据题意得：，
解得：，
则原式==1．
故答案是：1．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三.解答题（共9题，共66分）
19．计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=×（3﹣2﹣
，然后合并即可．
+1）++2
解答： 解：原式=×（3﹣2+1）++2﹣
=2﹣++2﹣
=2+﹣．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．
20．（a﹣）÷．
考点： 分式的乘除法．
专题： 计算题．
分析： 做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，有括号的先算括号里面的．
解答： 解：原式=×
=．
点评： 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有括号，先算括号里面的，分子或分母是多项式时，通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
21．先化简，再求值：1﹣÷，其中a=﹣1．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=1﹣×=1﹣==．
当a=﹣1时，原式==1．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
22．解方程：﹣=1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x（x+2）﹣2=x2﹣4，
去括号得：x2+2x﹣2=x2﹣4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
求证：四边形OBEC是菱形．
考点： 菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： 先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论．
解答： 证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形．
点评： 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
24．到离学校15千米的风景区去秋游，骑车的同学提前40分钟出发，其余的同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设骑自行车的速度是x千米/小时，根据一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达可列方程求解．
解答： 解：设自行车的速度为x千米/时，则
﹣=
解得x=15．
经检验，x=15是原方程的根，
3x=45．
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时．
点评： 本题考查了分式方程的应用，关键是知道他们同时到达，所以以时间做为等量
关系可列方程求解．
25．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
考点： 反比例函数的应用．
分析： （1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；
（2）把x=5×12=60代入，即可求得天数；
解答： 解：（1）∵xy=1200，
∴y=；
（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y==20（天）；
点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．
26．y是x的反比例函数，且当x=4时，y=3．
（1）写出y与x之间的函数表达式．
（2）画出函数的图象，并根据图象说出当2≤x≤3时y的取值范围．
考点： 反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式．
分析： （1）根据题意，设y=（k≠0），然后将x=3，y=4代入该函数式求得k的值；
（2）利用描点法作出图象，根据图象回答问题．
解答： 解：（1）∵y是x的反比例函数，
∴设y=（k≠0），
又∵当x=3时，y=4，
∴k=xy=3×4=12，
∴该函数解析式为：y=；
（2）函数y=的图象如图所示：
当2≤x≤3时，4≤y≤6．
点评： 本题考查反比例函数的图象的作法与图象的运用，较为简单，容易掌握．
27．（10分）（2015春•新沂市校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y1=的图象经过点C，一次函数y2=ax+b的图象经过点A、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出y2＞y1时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y1=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得；
（3）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣，即可求出P点的坐标．
解答： 解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），
∴AB=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，﹣3）
∵反比例函数y1=的图象经过点C，
∴﹣3=，解得k=﹣15，
∴反比例函数的解析式为y1=﹣；
∵一次函数y2=ax+b的图象经过点A，C，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y2=﹣x+2；
（2）解得或，
∴交点坐标为（5，﹣3），（﹣3，5），
由图象知：当x＜﹣3或0＜x＜5时，y2＞y1；
（3）设P点的坐标为（x，y），
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴×OA•|x|=52，
∴×2|x|=25，解得x=±25．
当x=25时，y=﹣=﹣，
当x=﹣25时．y==，
∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．
点评： 本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．
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