陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考理科数学试题

交大附中､龙岗中学第一次联考数学试题(理)

一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)

1. 已知集合Ayyx,xB，Bxx(x1)0，则（ ） A. BA

B. AB

C. A=B

D.

2AB

【答案】C 【解析】 【分析】

先求集合B，再求集合A，即可判断四个选项的正误. 【详解】Bxx(x1)0x0x1， 因为0x1，所以yx0,1，

2所以Ay0y1， 所以A=B， 故选：C.

【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于基础题. 2. 下列说法正确的是（ ）

A. 若“p且q”为真命题，则p,q中至少有一个为真命题

2B. 命题“x0R,x0x010”的否定是“xR,x2x10”

C. 命题“若sinxsiny，则xy”的逆否命题为真命题 D. 命题“若a21，则a1”的否命题为“若a21，则a1” 【答案】D 【解析】 【分析】

由复合命题的真假性及真值表，即可判断选项A；由存在性命题的否定为全称命题，即可判断选项B；先判断原命题的真假，再由互为逆否命题等价，即可判断选项C；由命题的否命题，

- 1 - 知识改变格局 格局决定命运！

即对条件否定，又对结论否定，即可判断选项D；

【详解】对于选项A：若“p且q”为真命题，则p,q都为真命题，故选项A不正确；

22对于选项B：命题“x0R,x0x010”的否定是“xR,xx10”，故选项B不正

确；

对于选项C：由于正弦函数具有周期性，所以命题“若sinxsiny，则xy”为假命题，则它的逆否命题也是假命题；故选项C不正确；

对于选项D：一个命题的否命题是将条件和结论同时否定，命题“若a21，则a1”的否命题为“若a21，则a1”，故选项D正确； 故选：D

【点睛】本题主要考查了符合命题的真假以及四大命题的形式和真假判断，注意命题的否定和否命题的区别，属于基础题.

3. 研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d=d1d2，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速v(km/h).根据该图数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：d=avb.模型②：d=av2bv.模型③：d=avbb.模型④：d=av2.(其中a,b为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的vv函数模型是（ ）

- 2 - 知识改变格局 格局决定命运！

A. d=avb. C. d=av【答案】B 【解析】 【分析】

B. d=av2bv. D. d=av.

2b. vbv分析图中数据，分别判断d1、d2与车速的关系，即可得解.

【详解】分析图中数据可得，车速每增加10千米/小时，反应距离d1增加的数量大体不变， 且v0时，d10，所以可拟合为d1bv； 分析车速v和制动距离d2d2dd1可得

d2稳定在一个常量附近， v22且v0时，d20，所以可拟合为d2av；

所以拟合效果最好的函数模型是d=av2bv. 故选：B.

4. 甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲､乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（ ） A. 0.8

B. 0.75

C. 0.6

D. 0.48

- 3 - 知识改变格局 格局决定命运！

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出目标至少被命中一次的概率,再求出目标至少被命中一次甲命中目标概率，利用概率公式即可求解.

【详解】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况， 所以目标至少被命中一次的概率为P10.60.50.60.50.40.50.8， 目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，

所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为：P20.60.50.60.50.6， 所以甲命中目标概率为P故选：B

【点睛】本题主要考查了相互独立事件和互斥事件的概率，属于基础题. 5. 函数f(x)0.60.75， 0.8xsinx的大致图象是（ ）

x2cosxA. B.

C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数为奇函数可排除D，根据f()0排除C，根据当x(0,得到答案.

【详解】因为f(x)2)时，f(x)1排除Axsin(x)xsinxf(x)，所以f(x)为奇函数，其图象

(x)2cos(x)x2cosx- 4 - 知识改变格局 格局决定命运！

关于原点对称，故D不正确； 因为f()当x(0,2120，所以C不正确；

2)时，x3(,)，sinxcosx2sin(x)(1,2]，

4444122所以xcosxxsinx(x)1132sin(x)10，

4444所以x2cosxxsinx，又根据A,B选项的图象可知xsinx0， 所以f(x)故选：B

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6. 在复平面内，复数zabiaR,bR对应向量OZ（O为坐标原点），设OZr，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则zrcosisin，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1r1cos1isin1，z2r2cos2isin2,则

xsinx1，故A不正确. 2xcosxz1z2rr12cos12isin12 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公

13n 式:,则rcosisinrcosnisinn22i（ ）

n5A.

13i 22B. 13i 22C.

13i 22D.

13i 22【答案】A 【解析】 【分析】

- 5 - 知识改变格局 格局决定命运！

先将复数z13然后再根据由棣莫弗定理得到的复数i化为zcosisin的形式，

3322的乘方公式计算即可． 【详解】由题意得复数z513i可化为zcosisin，

33225135513所以icosisincosisini． 22333322故选A．

【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．

2y7. 若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x1的离心率是（ ）

a2A. 10或【答案】A 【解析】 【分析】

22 3B. 3或6 3C.

23 3D.

1或10 3由等比数列的性质可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率． 【详解】由1，a，81成等比数列有：a281，所以a9，

y2当a9时，方程为x1，表示焦点在y轴的椭圆，

92其中a13，c19122，故离心率e2c122； a13y2当a9时，方程为x1，表示焦点在x轴的双曲线，

9其中a21，c21910，故离心率e故选择A.

【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.

- 6 - 知识改变格局 格局决定命运！

c210, a28. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E、F，且EF给出下列四个结论错误的选项是（ ）

3，3

A. CEBD

B. 点C到平面BEF的距离为

2 2C. BEF在底面ABCD内的正投影是面积不是定值的三角形 D. 在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线 【答案】C 【解析】 【分析】

利用BD平面ACC1，即可证明CEBD，即可判断选项A；利用等体积即可求点C到平面BEF的距离，即可判断选项B；利用正投影特点即可判断选项C；利用线面平行的性质定理即可判断选项D.

【详解】对于选项A：由BDAC且BDCC1，ACCC1C，所以BD平面ACC1，

因为CE平面ACC1，可得CEBD，故选项A正确； 对于选项B：因为点C到直线EF的距离是2163，EF，所以 333SCEF136212为定值，点B到平面CEF距离是DB，所以三棱23362211221BCEF体积是，因为三棱锥VCBEFVBCEF，S△BEFS△CEF为，

1836218所以点C到平面BEF的距离为

2，故选项B正确； 2- 7 - 知识改变格局 格局决定命运！

对于选项C：线段EF在底面ABCD内的正投影是GH，所以BEF在底面ABCD内的正投影是BGH，因为线段EF的长是定值，所以线段GH的长也是定值，所以BGH的面积是定值，故选项C不正确；

多于选项D：设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故选项D正确， 故选：C

【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.

9. 已知双曲线mx2ny21与抛物线x28y有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）

y2A. x21

3x2y1

52x2B. y21

3y2C. x21

5D.

【答案】A 【解析】 【分析】

由抛物线方程求出焦点坐标，可得

114，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关nm于m,n的方程，解方程组即可得到结果.

- 8 - 知识改变格局 格局决定命运！

【详解】抛物线x28y的焦点坐标为F0,2, 可得双曲线mxny1的焦点为F0,2,

22y2x21211222化mxny1为1 ,得a,b, 1nmnm1nxmx双曲线的一条渐近线方程为y，

n1m由点F到双曲线渐近线的距离等于1， 得2n1 , 即2nnm，① nm114，② nm又 a2b2c2，即联立①②解得n1,m1， 3y2双曲线的方程为x21，故选A .

3【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

10. 设函数fxsinx3cosx,xR，其中0．在函数yfx和y图象的所有交点中，相邻两个交点之间距离的最小值为A. fx的最大值为2 B. 2

C. fx图象的对称轴方程为x3的，则下列说法错误的是（ ） 6k,kZ 26, D. fx的一个增区间为1212【答案】C

- 9 - 知识改变格局 格局决定命运！

5【解析】 【分析】

利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式为f(x)2sin(x单调性、对称性对选项逐个加以判断即可得出答案．

3)，再结合三角函数的最值、

13fxsinx3cosx2sinxcosx2sinx【详解】， 223fx得最大值为2，A正确．

由2sinx33，得， sinx332得x32k3或x32k2,kZ． 3令k0，得x10或x2由x1x2令2x， 36可得2，B正确．

3k2,kZ，得xk,kZ，故C不正确． 212令22k2x322k,kZ，令k0，

得555x，,0,，故D正确． 1212121212故选：C．

【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，熟练应用三角函数的性质是解题的关键，属于中档题．

11. 若x表示不超过x的最大整数（例如：0.10,0.11），数列an满足：a13，

an1an2n2，则a1a2A. 10102021

a2020（ ）

C. 10092021

D.

B. 10102020

10092020

【答案】A

知识改变格局- 10 - 格局决定命运！

【解析】 【分析】

由递推公式利用累加法即可求得数列an的通项公式，由n2n2n1n1可得

2ann2n，再利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】

an1an2n2，

，a3a26，a2a14，

anan-12n122n，an-1an-22n2，

累加可得ana1462n22nn142nn2n2，

22*又a13，annn1nN，

n2n， an2n2n1n1，n2a1a2故选：A

a202012320202020202110102021.

2【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n项和公式，属于中档题.

12. 不等式x3exalnxx1对任意x(1,)恒成立，则实数a的取值范围（ ） A. (,1e] 【答案】D 【解析】 【分析】

本题首先可以将“不等式x3exalnxx1对任意x1,恒成立”转化为

B. (,2e2]

C. (,2]

D. (,3]

x3exx1x3exx1“a对x1,恒成立”，然后求出方程y，x1,的

lnxlnx最小值即可得出结果．

【详解】题意即为alnxx3exx1对x1,恒成立，

x3exx1x3exx1即a对x1,恒成立，从而求y，x1,的最小值，

lnxlnx而x3exelnxexex3lnxx3lnx1

知识改变格局- 11 - 格局决定命运！

3故x3exx1x3lnx1x13lnx

x3exx13lnx即3

lnxlnx当x3lnx0时，等号成立，方程x3lnx0在1,内有根，

x3exx1故3，所以a3，故选D．

lnxmin【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题．

二､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 如图所示，A,B是圆O上的两点，若ABAO2，则弦AB长为______.

【答案】2 【解析】 【分析】

过O作ODAB于D，则|AO|cosOAD|AD|出AB，从而求得弦AB的长

【详解】过O作ODAB于D，则|AO|cosOAD|AD|1|AB|，再由ABAO2化简可求21|AB|， 2

ABAO2，|AB||AO|cosOAD2，所以

1|AB|22,|AB|2， 2知识改变格局- 12 - 格局决定命运！

故答案为：2

【点睛】此题考查了平面向量的数量积及其几何意义的应用，属于基础题. 14. 若x0，y0，xyxy3，则xy的取值范围是______. 【答案】xx6 【解析】 【分析】

利用基本不等式即可求解.

【详解】若x0，y0，xyxy3，

xy则3xyxyxy， 2即xy4xy120 解得xy6或xy2（舍去）， 当x=y=3时取等号，

所以xy的取值范围是xx6. 故答案为：xx6

“连续5天的日平均气温均不低于22℃”．15. 气象学意义上从春季进入夏季的标志为：现有甲、乙、丙三地的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）. 甲地：5个数据的中位数是24，众数为22； 乙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25； 丙地：5个数据一个为32，总体平均数为26，方差为10.8． 则由此判断进入夏季的地区是________． 【答案】甲地、丙地 【解析】 【分析】

根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可. 【详解】甲地：因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22则中位数不可能为24，所以甲地肯定进入夏季；

知识改变格局- 13 - 格局决定命运！

22乙地：如13,23,27,28,29满足中位数是27，总体均值为24，但不符合进入夏季的条件； 丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8，若有一个数据小于22，例如取21，此时方差超过10.8，不符合题意，故所有数据均大于22，丙地进入夏季. 故答案为：甲地、丙地

【点睛】本题考查平均数、中位数与众数的性质，属于基础题.

16. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童且AB26,AD22,EH15,EF5，平面EFGH与ABCDEFGH有外接球，

平面ABCD的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.

【答案】36

【解析】 【分析】

首先设O为刍童外接球的球心，O1，O2分别为矩形EFGH，ABCD的中心，由球的几何性质可知：O，O1，O2三点共线，连接OO1，O1G，OG，O2B，OB，再分别计算得到

OGm125，OBm28，根据ROGOB，即可得到答案.

【详解】设O为刍童外接球的球心，O1，O2分别为矩形EFGH，ABCD的中心， 由球的几何性质可知：O，O1，O2三点共线，连接OO1，O1G，OG，

O2B，OB，如图所示：

由题知：OO2平面ABCD，OO1平面EFGH，所以O1O21.

知识改变格局- 14 - 格局决定命运！

因为O1G11EF2FG21555， 22设OO2m，

RT△OGO1中，OGOO12O1G2因为O2Bm125，

11AD2AB282422， 22在RT△OBO2中，OBOO22O2B2设外接球的半径为R，则ROGOB， 所以m28，

m125m28，解得m1.

2353，VR36.

所以R1143故答案为：36

【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

三､解答题(共70分，第17-21题为必考题，第22，23题为选考题)

17. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，，BE为赛道内的一条服务通道，BA，AE为赛道（不考虑宽度）

BCDCDEBAE2，DE4km，BCCD3km. 3

（1）求服务通道BE的长度； （2）当AEB4时，赛道BA的长度？

【答案】(1)5 (2) 【解析】 【分析】

56 3知识改变格局- 15 - 格局决定命运！

（1）连接BD，在BCD中，由余弦定理可得BD3，由等腰三角形的性质结合

BCDCDEBAE2可得BDE，再由勾股定理可得结果；（2）在BAE中，322，BE5，AEB，直接利用正弦定理定理可得结果. 34【详解】（1）连接BD， 在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2CD22BC CDcosBCD9，

BD3.BCCD，

CBDCDB又CDE6，

2，BDE， 32BD2DE25.

在RtBDE中，BE（2）在BAE中，BAE2， 34BEAB2， 由正弦定理得sinsin34BE5.AEB

5AB56即：3 2，得BA322当AEB4时，赛道BA的长度为56. 3

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

知识改变格局- 16 - 格局决定命运！

18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn（1）求an；

3an1． 2（2）若bn(n1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

(2n3)3n3【答案】(1)an3；（2）Tn．

4n1【解析】 【分析】

S1,n1(1)根据an可得a11，anSS,n2n1n根据等比数列的通项公式，即可求出an；

3an1(n2)，从而可知数列{an}为等比数列，

n1(2)由(1) 可知bn(n1)3，利用错位相减法，即可求出Tn.

【详解】（1）由已知可得，2Sn3an1，①，所以2Sn13an11(n2)，② ①－②得，2(SnSn1)=3an3an1，化简得an3an1(n2)，

在①中，令n1，可得a11，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有an3n1．

n1(2)由(1)可知bn(n1)3，

Tn030131232(n1)3n1，③ (n1)3n，④

123则3Tn031323由③－④得，

2Tn=3+3+3+123+3n13(13n1）(32n)3n3n(n1)3， (n1)31-32n(2n3)3n3所以Tn．

4【点睛】本题主要考查由Sn与an关系求数列的通项及错位相减法求和，同时考查了等比数列的求和公式，考查运算求解能力，属于中档题.

知识改变格局- 17 - 格局决定命运！

x2y2319. 已知椭圆221(ab0)，其长轴为4，离心率为，过椭圆上一点P作圆

ab2O:x2y2b2的两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x,y轴的交点分别为E,Q.

（1）求椭圆的方程； （2）求△EOQ面积的最小值.

1x2【答案】（1）（2）. y21；

24【解析】 【分析】

（1）利用已知条件求出a,b，即可得到结果；（2）设点椭圆上点P坐标为(x0,y0)，切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，利用OAAP0,OBBP0，得到A,B所在的直线方程，求出点

E,Q的坐标，即可得出△EOQ面积，最后利用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）依题意，2a4,得a2,

ec3，c3,b1. a22x椭圆方程为y21； 4（2）设点椭圆上点P坐标

(x0,y0)，切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，

直线AP,BP为圆O的两切线， 圆O方程为：xy1.

22OAAP0，

AP(x0x1,y0y1),OA(x1,y1)，

OAAPx1(x0x1)y1(y0y1)0，

22得到：x1x0y1y0x1y11，

即x1x0y1y01，

知识改变格局- 18 - 格局决定命运！

同理可得x2x0y2y01，

所以点A(x1,y1),B(x2,y2)同时满足直线方程xx0yy01， 即直线AB方程为：xx0yy01. 令x0,得Q点坐标为(0,1)， y0令y0,得E点坐标为(1,0)， x0所以S△EOQ11，

2x0y02x0因为P在椭圆上，有y021，

421x01. 所以1y02x0y0,得

xy400即S△EOQ最小值为

1， 2当|x0|2|y0|2时取得. 所以△EOQ面积的最小值为

1. 2【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题. 20. 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且

C1CBC1CDBCD60.

（1）证明：C1CBD；

知识改变格局- 19 - 格局决定命运！

（2）假设CD2,C1C角的余弦值； （3）当

3,记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面2CDCC1值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.

CD31时，证明见解析. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当CC31【解析】 【分析】

（1）连接AC、BD，设AC和BD交于O，连接C1O，根据四边形ABCD是菱形，得到

ACBD，再由BCC1DCC1,CC1CC1，C1OBD，再由线面垂直判定定理证明.

（2）由（1）知ACBD,COBD,则C1OC是二面角 -BD-的平面角，然后分别求得C1O,CO，再利用余弦定理求解.

CDCD11，得到BCCDC1C，再结合ACCBD 平面1（3）当时，能使1，由CC1CC1BCDC1CBC1CD，进而得到三棱锥CC1BD是正棱锥证明.

【详解】（1）如图所示：

的

知识改变格局- 20 - 格局决定命运！

连接AC、BD，设AC和BD交于O，连接C1O， 四边形ABCD是菱形，

ACBD,BCCD，

又

BCC1DCC1,CC1CC1，

△C1BC△CDC1， C1BC1D，

DOOB，

C1OBD，

但ACBD,ACC1OO，

BD平面ACC1A1.

又

CC1平面ACC1A1，

C1CBD.

（2）由（1）知ACBD,COBD,

C1OC是二面角-BD-的平面角，

在C1BC中，BC2,C1C3,BCC160， 23313C1B222()222cos60，

224OBC30，

OB1BC1. 2C1O2C1B2OB2C1O1391， 443， C1OC1C， 2OC2OC12CC123. 所以cosC1OC2C1OCO3CD1时，能使A1C 平面C1BD， （3）当

CC1CD1， CC1BCCDC1C，又BCDC1CBC1CD，

所以BDC1BC1D，

知识改变格局- 21 - 格局决定命运！

所以三棱锥CC1BD正棱锥，

设A1C与C1O相交于G， 如图所示：

AC:OC2:1， AC11//AC ，且11AG:GO2:1， 1是

知识改变格局- 22 - 格局决定命运！

又C1O是正三角形C1BD的边BD上的高和中线， G是正三角形 C1BD的中心，

CG平面C1BD

即A1C 平面C1BD.

【点睛】本题主要考查线面垂直以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 21. 已知函数f(x)x. lnx（1）讨论函数f(x)的单调性；

22（2）若f(x1)f(x2)e,其中x1,x2[e,)，求证：x1x22e.

【答案】（1）f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,)上单调递增；（2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）求出f(x)，然后分析其符号，可得答案；

f(x2)2f(e2)，即f(x1),f(e2),f(x2)成等差数列，不（2）由条件结合（1）可得f(x1）2222妨设f(x1)f(e)f(x2)，得到ex1ex2，即证ef(2ex1)+f(x1)，

x1[e,e2]，设函数h(x)f(x)f(2e2x),x[e,e2]，利用导数得到当

x[e,e2]，h(x)0,h(x)为减函数，然后可证明.

【详解】（1）

f(x)x，其中x0,11, lnxfx11lnx1，由f(x)0解得xe lnxlnx2lnx2f(x)在(0,1)和(1,e)上为负，在e,上为正

∴f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,)上单调递增. （2）由（1）知函数f(x)在区间[e,)上单调递增.

e2fx1fx2e，且f(e)

222fx1fx22fe2,fx1,fe2,fx2成等差数列，

22不妨设f(x1)f(e)f(x2)，得到ex1ex2. 22要证x1x22e，即证x22ex1 2可证：f(x2)f(2ex1),

f(x2)=e2f(x1),

222即证：ef(2ex1)+f(x1)，x1[e,e]①

设函数h(x)f(x)f(2ex),x[e,e]

22x2e2x，即h(x) 2lnxln(2ex)知识改变格局- 23 - 格局决定命运！

h(x)1111lnx(lnx)2ln(2e2x)[ln(2e2x)]21111=122lnxln(2ex)lnxln(2ex)

x[e,e2],lnx[1,2],222又2ex[e,2ee],11. lnx211110，， 22ln(2ex)2lnxln(2ex)211lnxln(2e2x)lnx+ln(2e2x)， 2114， 22lnxln(2ex)lnx+ln(2ex)2当lnxln(2ex)，即xe2时取等.②

ylnx+ln(2e2x)ln(x22e2x)lne44,

当xe2时取等.③ 由②③得

111，当xe2时取等 2lnxln(2ex)1110 2lnxln(2ex)∴当x[e,e2]，h(x)0,h(x)为减函数. h(x)h(e2)e2，即当x[e,e]时，ef(2ex)+f(x)成立.

2所以①式得证，x1x22e成立

222【点睛】关键点睛：本题考查的是双变量有关的证明题，解答本题的关键是利用条件将所需

222证明的不等式转化为ef(2ex1)+f(x1)，x1[e,e].

x13cosCxOy22. 在直角坐标系中，曲线1的参数方程为（是参数，0）.

y3sin以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

知识改变格局- 24 - 格局决定命运！

（1）求曲线C1的极坐标方程； （2）直线l1的极坐标方程是2sin330l(R)与曲线C1的，直线：233交点为P，与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长. 【答案】（1）2cos20,0；（2）5． 【解析】

试题分析：(Ⅰ)曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由

2xcos,ysin，能求出曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)设P1,1，Q2,2，列出

方程组求出1，2，由PQ12得出结果.

3.

22试题解析：(Ⅰ)曲线C的普通方程为(x1)y3，其中0y又∵xcos,ysin

2∴曲线C 的极坐标方程为ρ2ρcosθ20，其中0.

22cos202(Ⅱ)设P1,1,则，； 解得1332sin()3303设Q2,2，则解得23，.

33故所求PQ125.

23. 已知函数fxx12x6. （1）求函数fx的最小值t；

222（2）若实数x,y,z满足xyzt，证明：xy22. 【答案】（1）4；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）分类讨论，化成分段式形式，分别求出每段函数的范围，则问题得解；

知识改变格局- 25 - 格局决定命运！

（2）根据（1）中所求，求得xyzt，据此求得x2222y2的范围；再利用基本不等式

即可容易证明.

3x5,x3【详解】（1）fxx12x6x7,3x1，

3x5,x1∴当x3时，fx4； 当3x1时，4fx8； 当x1时，fx8， ∴fx的值域为4,， ∴函数fx的最小值t4. （2）证明：∵xyz4， ∴x2y24z24.

∴xyxy2xy2xy222222228，

∴xy22.即证

【点睛】本题考查分类讨论求函数的最值，以及利用基本不等式证明不等式，属综合基础题.

知识改变格局- 26 - 格局决定命运！