一、选择题：本部分共12小题，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．
1．﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B．﹣2 C． D．2 2．2020年4月14日日本熊本县发生6.2级地震，据NHK报道，受强地震造成的田地受损，农产品无法出售等影响，日本熊本县农林业遭受的地震损失最少可达236亿日元，数据236亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.36×108 B．2.36×109 C．2.36×1010 D．2.36×1011 3．下列计算正确的是（ ） A．a10﹣a7=a3 B．（﹣2a2b）2=﹣2a4b2 C． D．（a+b）9÷（a+b）3=（a+b）6
4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D．
5．在选拔2020年第十三届全国冬季运动会速滑运动员时，教练打算根据平时训练成绩，从运动员甲和乙种挑选1名成绩稳定的运动员，甲、乙两名运动员平时训练成绩的方差分别为S甲2=0.03，S乙2=0.20，你认为教练应该挑选的运动员是（ ） A．乙 B．甲 C．甲、乙都行 D．无法判断
6．五一期间刚到深圳的小明在哥哥的陪伴下，打算上午从莲山春早、侨城锦绣、深南溢彩中随机选择一个景点，下午从梧桐烟云、梅沙踏浪、一街两制中随机选择一个景点，小明恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的概率是（ ） A． B． C． D．
7．如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．5m C． m D．10m
8．在平面直角坐标系中，点（a﹣3，2a+1）在第二象限内，则a的取值范围是（ ） A．﹣3＜a＜ B．＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣ D．＜a＜3
9．2020年4月21日在深圳体育馆召开的第八届中国（深圳）国际茶业文化博览会上某茶商将甲、乙两种茶叶卖出，甲种茶叶卖出1200元，盈利20%，乙种茶叶卖出1200元，亏损20%，则此人在这次交易中是（ ） A．盈利50元 B．盈利100元 C．亏损150元 D．亏损100元 10．下列命题中，不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
11．如图，Rt△ABC中AB=3，BC=4，∠B=90°，点B、C在两坐标轴上滑动．当边AC⊥x轴时，点A刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是（ ）
A．点B为（0，） B．AC边的高为
C．双曲线为 D．此时点A与点O距离最大
12．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为（ ）
A． cm B．1cm C． cm D．2cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13．因式分解：a3﹣ab2=______．
14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______m．
15．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．
16．将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是______．
三、解答题：本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20、21题各8分，第22题9分，第23题9分，共52分． 17．计算：﹣12020+cos60°﹣（）﹣2+3.140． 18．解方程组．
19．为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机
调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向 文学鉴赏
科学实验 音乐舞蹈 手工编织 其他
所占百分比
a 35% b 10% c
根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为______； （2）补全条形统计图；
（3）将调查结果绘成扇形统计图，则“音乐舞蹈”社团所在扇形所对应的圆心角为______；
（4）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数为______．
20．如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G． （1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．
21．深圳市地铁9号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程队承担，已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？ 22．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F． （1）当AE=4时，求AF的长；
（2）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）抛物线的解析式为______；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积； （4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本部分共12小题，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．
1．﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B．﹣2 C． D．2 【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：有理数﹣2的倒数是﹣． 故选：A．
2．2020年4月14日日本熊本县发生6.2级地震，据NHK报道，受强地震造成的田地受损，农产品无法出售等影响，日本熊本县农林业遭受的地震损失最少可达236亿日元，数据236亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.36×108 B．2.36×109 C．2.36×1010 D．2.36×1011 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
n的绝对值与小数点移动的位数相同．值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：∵1亿=1×108， ∴236亿=236×108=2.36×1010． 故选：C．
3．下列计算正确的是（ ） A．a10﹣a7=a3 B．（﹣2a2b）2=﹣2a4b2 C． D．（a+b）9÷（a+b）3=（a+b）6
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【分析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式不能合并，错误；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、原式=4a4b2，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式=（a+b）6，正确， 故选D
4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、旋转角是，只是每旋转与原图重合，而中心对称的定义是绕一定点旋转180度，新图形与原图形重合．因此不符合中心对称的定义，不是中心对称图形． D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选C．
5．在选拔2020年第十三届全国冬季运动会速滑运动员时，教练打算根据平时训练成绩，从运动员甲和乙种挑选1名成绩稳定的运动员，甲、乙两名运动员平时训练成绩的方差分别为S甲2=0.03，S乙2=0.20，你认为教练应该挑选的运动员是（ ） A．乙 B．甲 C．甲、乙都行 D．无法判断 【考点】方差．
【分析】先比较出两名运动员的方差，再根据方差的意义：方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙两名运动员平时训练成绩的方差分别为S甲2=0.03，S乙2=0.20， ∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩更稳定，
∴教练应该挑选的运动员是甲； 故选B．
6．五一期间刚到深圳的小明在哥哥的陪伴下，打算上午从莲山春早、侨城锦绣、深南溢彩中随机选择一个景点，下午从梧桐烟云、梅沙踏浪、一街两制中随机选择一个景点，小明恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的概率是（ ） A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：根据题意列表如下（莲山春早、侨城锦绣、深南溢彩、梧桐烟云、梅沙踏浪、一街两制分别记作1，2，3，4，5，6）， 1 2 3 4 （1，4） （2，4） （3，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6）
所有等可能的情况有9种，其中恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的情况有1种，
则P=， 故选C
7．如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．5m C． m D．10m 【考点】解直角三角形的应用．
【分析】如图，作CH⊥AB于H，在Rt△CBH中，根据sin45°=，即可求出CH．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△CBH中，∵∠CHB=90°，BC=5，∠CBH=45°， ∴sin45°=，
∴CH=BC×=5． 故选B．
8．在平面直角坐标系中，点（a﹣3，2a+1）在第二象限内，则a的取值范围是（ ） A．﹣3＜a＜ B．＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣ D．＜a＜3 【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a﹣3，2a+1）在第二象限内， ∴，解得﹣＜a＜3． 故选D．
9．2020年4月21日在深圳体育馆召开的第八届中国（深圳）国际茶业文化博览会上某茶商将甲、乙两种茶叶卖出，甲种茶叶卖出1200元，盈利20%，乙种茶叶卖出1200元，亏损20%，则此人在这次交易中是（ ） A．盈利50元 B．盈利100元 C．亏损150元 D．亏损100元 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】求此次茶叶交易中共盈利多少元，关键要求出两种茶叶买进的价格，利用买价+利润=卖价，列方程求解即可．
【解答】解：设甲种茶叶的买价是x元，根据题意得： （1+20%）x=1200， 解得x=1000．
设乙种茶叶的买价是y元，根据题意得： （1﹣20%）y=1200， 解得y=1500．
1000+1500＞1200+1200， 即此次交易中亏损了100元． 故选D．
10．下列命题中，不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【考点】命题与定理．
【分析】根据等边三角形的判定方法以及平行四边形和正方形的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，不合题意；
B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定方法，故不合题意；
C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不合题意； 故选：C．
11．如图，Rt△ABC中AB=3，BC=4，∠B=90°，点B、C在两坐标轴上滑动．当边AC⊥x轴时，点A刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是（ ）
A．点B为（0，） B．AC边的高为
C．双曲线为 D．此时点A与点O距离最大 【考点】反比例函数综合题．
【分析】根据AB=3，BC=4，∠B=90°，利用勾股定理可求AC=5，而AC⊥x轴，易知点A的纵坐标是5，设AC边上的高是h，再结合三角形的面积公式，易求h，进而可得点A的坐标，再代入反比例函数解析式，易求k，从而可得反比例函数解析式，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求OB，从而可得点B的坐标．综上可知A、B、C都正确，从而选择D． 【解答】解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴AC=5， ∵AC⊥x轴，
∴点A的纵坐标是5， 设AC边上的高是h， ∵S△ABC=×3×4=×5•h， ∴h=；
∴点A的坐标是（，5）， 又∵点A在上， ∴k=12，
∴反比例函数的解析式是y=； ∵OC=，BC=4， ∴OB=（负数舍去）， ∴B点坐标是（0，）．
综上所述，可知ABC都是正确的，答案D不一定正确，利用排除法可知． 故选D．
12．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为（ ）
A． cm B．1cm C． cm D．2cm
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
【分析】设BE=y，AP=x，由△AEP∽△DPC，得=，构建二次函数即可解决问题． 【解答】解：设BE=y，AP=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠AEP=90°，∠APE+∠CPD=90°， ∴∠AEP=∠CPD，
∴△AEP∽△DPC， ∴=， ∴=，
∴y=x2﹣3x+4=（x﹣）2+． ∵a=1＞0，
∴x=时，y有最小值， 故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13．因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【考点】平行投影；相似三角形的应用．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD， 代入数据可得DC2=16， DC=4；
故答案为：4．
15．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为 8 ．
【考点】平行四边形的性质．
OE⊥AC，【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，根据线段垂直平分线的性质，
可得AE=CE，又AB+BC=AD+CD=8，继而可得△CDE的周长等于AD+CD． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB=CD，AD=BC， ∵AB=3，BC=5， ∴AD+CD=8，
∵OE⊥AC， ∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=8． 故答案为：8．
16．将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是 4n+1 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察，发现图形的变化的规律，从而确定答案．
【解答】解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…， 以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n+1个正方形， 故答案为：4n+1．
三、解答题：本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20、21题各8分，第22题9分，第23题9分，共52分． 17．计算：﹣12020+cos60°﹣（）﹣2+3.140．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+﹣4+1=﹣3．
18．解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】由第二个方程表示出x，然后代入第一个方程，求出y的值，再求解即可． 【解答】解：，
由②得，x=2y+8③，
③代入①得，3（2y+8）+y=10， 解得y=﹣2，
把y=﹣2代入③得，x=2×（﹣2）+8=4， 所以，方程组的解是．
19．为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机
调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
选择意向 所占百
分比
文学鉴赏 a 科学实验 35% 音乐舞蹈 b 手工编织 10%
c 其他
根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为 200人 ； （2）补全条形统计图；
（3）将调查结果绘成扇形统计图，则“音乐舞蹈”社团所在扇形所对应的圆心角为 72° ； （4）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数为 420人 ．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）由“科学实验”社团的人数和其所占的百分比即可求出总人数； （2）根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图； （3）计算出“音乐舞蹈”社团的百分比即可得到所在扇形所对应的圆心角； （4）用总人数乘以“科学实验”社团的百分比，即可解答． 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是：70÷35%=200（人）， b=40÷200=20%， c=10÷200=5%，
a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%， 故答案为：200人；
（2）文学鉴赏的人数：30%×200=60（人）， 手工编织的人数：10%×200=20（人）， 如图所示，
（3）由题意可知：b=40÷200=20%，
所以“音乐舞蹈”社团所在扇形所对应的圆心角=360°×20%=72°， 故答案为：72°；
（4）全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%=420（人）， 故答案为：420人．
20．如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G． （1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．
【考点】正方形的性质；菱形的判定与性质． 【分析】（1）连接DE，则DE⊥BF，可得∠CDE=∠CBG，根据BC=DC，∠BCG=∠DCE，可证△BCG≌△DCE，可证CG=CE；
（2）已知正方形的边长可以证明BD，即BE，根据BE，DC即可求菱形BDFE的面积． 【解答】解：连接DE，则DE⊥BF，
∵∠ODG+∠OGD=90°，∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠OGD ∴∠CDE=∠CBG，
又∵BC=DC，∠BCG=∠DCE， ∴△BCG≌△DCE（ASA）， ∴CG=CE，
（2）正方形边长BC=4，则BD=BC=4， 菱形BDFE的面积为S=4×4=16． 答：菱形BDFE的面积为16．
21．深圳市地铁9号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程队承担，已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）根据甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成，列出方程求解，等量关系为：乙做36天的工作量+甲队做66天的工作量=1．
（2）首先根据题意列出x和y的关系式，进而求出x的取值范围，结合x和y都是正整数，即可求出x和y的值． 【解答】解：（1）设解工程队单独完成这项工作需要x天，则乙队单独完成需x天， 由题意，得 66×+36×=1， 解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解， ∴x=80，
答：乙队单独完成需80天．
（2）∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天， ∴+=1
即y=80﹣x，
又∵x＜46，y＜52， ∴，
解得42＜x＜46， ∵x、y均为正整数， ∴x=45，y=50，
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
22．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F． （1）当AE=4时，求AF的长；
（2）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质．
【分析】（1）先证△BDE∽△CFD，得出对应边成比例，求出CF的长，即可得出结果； （2）取边AC中点O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，过点A作AH⊥BC于H，连接OD，CQ=COcosC=3，则CH=BC=6，由⊙O和线段DE相切，得出OG=AC=5，求出cosC==，
DQ=BC﹣BD﹣CQ=5，得出OG=DQ，由HL证得Rt△OGD≌Rt△DQO，得出∠GOD=∠QDO，OG∥BC，∠EDB=∠OGD=90°，由cosB==cosC=，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B， ∴∠FDC=∠DEB， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B，
∴△CDF∽△BED， ∴，即， 解得：CF=，
∴AF=AC﹣CF=10﹣=；
（2）取边AC中点O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，过点A作AH⊥BC于H，连接OD，如图所示：
∵AB=AC，AH⊥BC， ∴CH=BC=6，
∵⊙O和线段DE相切， ∴OG=AC=5，
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC===， 在Rt△CQO中，∠CQO=90° ∵cosC=，
∴CQ=COcosC=5×=3，
∴DQ=BC﹣BD﹣CQ=12﹣4﹣3=5， ∴OG=DQ，
在Rt△OGD与Rt△DQO中，， ∴Rt△OGD≌Rt△DQO（HL）， ∴∠GOD=∠QDO， ∴OG∥BC，
∴∠EDB=∠OGD=90°， ∴cosB==cosC=， ∴BE==，
∴当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE=．
23．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上． （1）点A的坐标为 （0，2） ，点B的坐标为 （﹣3，1） ； （2）抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积； （4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、BE的长即可求出B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）先求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式，然后求出CF的长，再根据S△DBC=S△CEB+S△CED进行计算即可；
（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的对应边相等可得出点P1点的坐标；
②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性质可得出点P2的坐标；点P1、P2的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
③以点P为直角顶点，求出点P的坐标，再判断点P不在抛物线上． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，0），AC=， ∴OA===2， ∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°， 在△AOC与△CFB中， ∵，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1， ∴OF=3，
∴B的坐标为（﹣3，1）， 故答案为：（0，2），（﹣3，1）；
（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得： 1=9a﹣3a﹣2， 解得a=，
∴抛物线解析式为：y=x2+x﹣2． 故答案为：y=x2+x﹣2；
（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣，﹣）， 设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得： ， 解得．
∴BD的关系式为y=﹣x﹣．
设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣，0），CE=． ∴S△DBC=××（1+）=；
（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°， ∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1， ∴P1（1，﹣1）；
②若以点A为直角顶点；
i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（2，1），
ii）若以点P为直角顶点． 过P3作P3G⊥y轴于G， 同理，△AGP3≌△CAO， ∴GP3=OA=2，AG=OC=1， ∴P3为（﹣2，3）．
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上，点P3（﹣2，3）不在抛物线上．
故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．
2020年9月28日
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