基于分形原理的时间序列分析及预测研究

第４３卷增刊（ＩＩ）　２０１３年１１月　东南大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．４３　Ｓｕｐ（ＩＩ）　Ｎｏｖ．　２０１３　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—０５０５．２０１３．Ｓ２．０２５　基于分形原理的时间序列分析及预测研究　邱华旭　黄张裕　郑建雷　魏锦德　（河海大学地球科学与工程学院，南京２１００９８）　摘要：引入分形原理分析时间序列问题．运用数组存储代替重复计算的方式改进饱和关联维数　法，当时间序列样本数据为１００时，改进饱和关联维数法的运行时间比改进前缩短了６１倍，程序　的运算步骤有效简化，且计算出的关联维为１．４１５　６，证明该时间序列具有分形特征．用变标度极　差分析法求时间序列的Ｈｕｒｓｔ指数，结果为０．９０７　４，说明该序列具有持续效应．用累加和变换法　建立短时间序列的分形预测模型，建立的模型预测后一期数据的残差最大绝对值都小于１　ｎｉｌ／１．　实验结果表明：使用分形原理可有效描述时间序列的有关特征，且分形预测模型为短时间序列的　预测问题提供了一种新方法．　关键词：分形原理；时间序列；饱和关联维数法；变标度极差分析；累加和变换　中图分类号：Ｐ２０８　文献标志码：Ａ　文章编号：１００１—０５０５（２０１３）Ｓ２－０３３４－０４　Ｔｉ１　ｌｎ　ｓｅｒｉｍｅ　ｓｅｒｌｅｓ　ａｎａｌｅＳ　ａｎａｌ３＂ａｎｄ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｙｓｉｓ　ａｎ　ｐｒｅｄｉｃｔｉ￣ｏｎ　ｂａｓｅｄ　０ｎ　ｔｒａｃｔａ　ｔｈｅｏｒｙ　　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｆｒａｃｔａｌ　ｔｈ￣　＇ｙＱｉｕ　Ｈｕａｘｕ　Ｈｕａｎｇ　Ｚｈａｎｇｙｕ　Ｚｈｅｎｇ　Ｊｉａｎｌｅｉ　Ｗｅｉ　Ｊｉｎｄｅ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅａｒｔｈ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｆｒａｃｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉＳ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ａｎａｌｙｚｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｄｉ．　ｍｅｎｓｉｏｎ　ｉｓ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｔｏｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄａｔａ　ｉｎｔｏ　ａｎ　ａｒｒａｙ，ｉｎｓｔｅａｄ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｒｅｐｅａｔｅｄ—　ｌｙ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｐｌｅ　ｄａｔａ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｓ　１００，ｔｈｅ　ｒｕｎｎｉｎｇ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｓｈｏｒｔｅｎｓ　６　１　ｔｉｍｅｓ　ｔｈａｎ　ｔｈａｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｏｎｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｓｔｅｐｓ　ａｒｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ．　Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｉＳ　１．４１５　６．ｗｈｉｃｈ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｈａｖｅ　ｆｆａｃｔａ１　ｆｅａ—　ｔｕｒｅ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　Ｈｕｒｓｔ　ｅｘｐｏｎｅｎｔ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｒｅｓｃａｌｅｄ—ｒａｎｇｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉＳ　０．９０７　４．ｗｈｉｃｈ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｉｔｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｅｆｆｅｃｔ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔａｌ　ｆｏｒｅｃａｓｔ　ｍｏｄｅ１　ｏｆ　ｓｈｏｒｔ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｍｕ—　ｌａｔｉｖｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｍｅｔｈｏｄ．ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｒｅｓｉｄｕａｌｓ　ｏｆ　ｈｅ　ｄａｔａ　ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｔｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｏｂｓｅｒｖａ．　ｔｉｏｎ　ｐｅｒｉｏｄ　ｉＳ　１　ｎＴＩＴ１．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｓｏｍｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅ—　ｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔａｌ　ｆｏｒｅｃａｓｔ　ｍｏｄｅｌ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｎｅｗ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｅ—　ｄｉｃｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｈｏｒｔ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ；ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ；ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ；ｒｅｓｃａｌｅｄ—ｒａｎｇｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ；　ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　交通工程测量中会出现较多的时间序列问题，　序列建立预测模型　时间序列具有随机性、多尺度变化性等复杂特　性¨Ｊ，有效识别时间序列包含的内在规律　及客　观现象是分析和处理时间序列数据的目的．分形理　１　分形原理　至今分形尚未有严密的定义．１９８６年美国科　学家Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ给出了一个较为广泛、通俗的定　论为分析时间序列提供了新途径，从一个新的角度　获取时序的特征及规律．本文基于分形原理，探讨　时间序列的特征，预测其发展趋势，并针对短时间　义：分形是局部和整体具有某种方式相似的　形　Ｈ　．分形思想的产生来源于地貌　，具有分　收稿日期：２０１３－０８—２０．　作者简介：邱华旭（１９８８一），男，硕士生；黄张裕（联系人），男，博士，副教授，ｎｊ～ｈｚｙ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．　引文格式：邱华旭，黄张裕，郑建雷，等．基于分形原理的时间序列分析及预测研究［Ｊ］．东南大学学报：自然科学版，２０１３，４３（ｓ２）：３３４—　３３７．［ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—０５０５．２０１３．ｓ２．０２５］　增刊（ＩＩ）　邱华旭，等：基于分形原理的时间序列分析及预测研究　３３５　形特性的形体都具有自相似性及标度不变性．用分　形理论分析杂乱无章的复杂系统，可发现它们仍然　具有数学规律，并能用分形维数表示．分形维数简　称分维，它是表征分形的参数，常用的分形维数有　Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数、关联维数、盒维数、谱维数等．　２饱和关联维数法计算分维　在研究时间序列时，用散落在时间轴上的样本　数据无法描述复杂多维系统的变化规律　Ｊ，相空　间重构为其提供了条件．饱和关联维数法　刮（简　称Ｇ—Ｐ算法）是相空间重构理论中确定关联维数　最常用的方法．其原理如下：　对时间序列｛Ｘ。，　，…，Ｘ　｝取延迟时间ｔ及嵌　入维数　进行相空间重构，重构后的序列为｛ｘ　，　ｘ２，…，ｘ肼｝，其中，Ｘｆ：｛Ｘｆ，　ｆ＋　，…，　ｆ＋（　一１　｝（１≤ｆ　≤　），Ｍ是相点个数，且Ｍ＝Ｎ一（ｍ一１）．取邻域　半径ｒ，定义关联积分　ｃ（　）　（ｒ一　一　＊）　（１）　式中，　，＝　观察原始的Ｇ—Ｐ算法过程，发现每次计算关　联积分都需进行ｍ次时间序列元素间的减法运　算．于是定义函数　Ｏｘ（ｆ，　）＝Ｉ置一　１≤ｉ≤　≤＾，　（２）　该函数表示每两个时间序列元素间差的绝对　值存放在数组Ｄｘ（ｆ，　）中，自变量ｆ，　即时间序列　元素的下标．Ｇ—Ｐ算法运行时，先取遍定义域内所　有ｆ，Ｊ，计算得出数组Ｄｘ（ｉ，‘『）的所有取值．每次循　环计算Ｉ　ｌｘｆ—ｘ　时，不需再进行计算，只需比较　向量　一ｘ　中ｍ个元素绝对值的大小，最大值即　为ＩＩ　一ｘ　．因此，当嵌入维数个数取　、邻域　半径个数取　，时，改进前后Ｇ—Ｐ算法计算次数之　差　Ａｎ：—－　＝——————■■————一ｍＭ（Ｍ１）ＫＮＩＫｒ———一』一　ｖ　（３）ｌ　ｊ，　由于时间序列元素个数Ⅳ》　，将式（３）变形，　得到　△ｎ：—ｍＫ　ｍＫ—ｒ（ＪＶ—　＋１）（Ⅳ一　）一Ｊ７ｖ２》０（４）　即Ａｎ＞＞Ｏ．因此，改进后算法的计算次数大幅度减　小．　取　，个不同的邻域半径ｒ计算关联积分，绘　制ｌｎ（Ｃ（ｍ，ｒ））－Ｉｎ（ｒ）曲线图，曲线斜率的大小即　时间序列的关联维数Ｄ．取　个不同的嵌入维数　ｍ重复上述过程，绘制Ｄ－ｍ曲线图，当Ｄ随ｍ的　增大不再变化时，临界的ｍ值表示描述该时间序　列所需的最少变量个数，且该时间序列在相空间趋　于有限维Ｄ　．　３变标度极差分析法　英国水文学家赫斯特（Ｈｕｒｓｔ）对时间序列数据　的标度行为进行了研究，发现时间序列记录的结果　具有自仿射特性，从而创立了变标度极差分析法　（ｒｅｓｃａｌｅｄ　ｒａｎｇｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ），简称Ｒ／Ｓ分析法，进而　可以借助分形理论对其进行描述　。。．根据Ｒ／Ｓ分　析法的原理　川，计算得出Ｈｕｒｓｔ指数，其大小可　揭示时间序列相关性的强弱，　与０．５之间的差距　越大表明时间序列内部的相关性越强，具体关系见　表１．　表１　Ｈｕｒｓｔ指数取值与时间序列状态对应表　垦堕垫垦　［　！　：　：　：　！　时间序列状态反持续效应　不相关　持续效应　完全确定　４　累加和变换法计算分维原理　分形的幂级数分布定义为　Ⅳ＝　（５）　式中，，．表示特征线度；Ｎ表示所测对象的量值；Ｄ　表示分形维数；Ｃ为参数．在标准的分形分布中分　维是常数，将直线上任意２点（ｒ　，Ⅳ１），（，．，，Ⅳ』）代　入式（５），整理得Ｄ和Ｃ的计算公式为　。＝　Ｄ。　㈤　（６）　Ｃ＝Ｎｉ　ｒｊＤ　（７）　标准分形的ｌｎＮ－ｌｎｒ双对数图像中点位分布是　一条直线，但在实际应用中分维通常并不是常数，　双对数图像中并不显现直线关系，原有的分形方法　无法处理，针对此种情形可采用累加和变换的方　法　卜　］．将｛ⅣＩ｝作为基本列，求各阶累加和数列，　即　｛　ｌ　｝＝｛Ⅳｌ，Ⅳ１＋Ⅳ２，Ⅳｌ＋Ⅳ２＋Ⅳ３，…｝，ｉ＝１，２，…，ｎ　｛　｝＝｛　ｌ１，Ｓ１１＋Ｓ１２，Ｓ１１＋Ｓ１２＋Ｓ１３，…｝，ｉ＝１，２，…，ｎ　｛Ｓ（ｊ＋１）　｝＝｛　，　。＋　，　＋　２＋　，…｝，　ｉ＝１，２，…，ｎ　分别由（ｒｉ，　）、（ｒ　＋　，　＋　）（ｉ＝１，２，…，ｎ一　１）确定相应累加和数列的分维Ｄ．取各段分维比　３３６　东南大学学报（自然科学版）　第４３卷　较接近，即分形分布拟合结果较好的累加和数列　｛　｝作为模拟及预测数列．因为未来的发展趋势　与建模使用的最后一段分维的关系最密切，所以选　择这段分维作为预测使用的分维，根据式（６）计算　得　，再由式（８）、（９）计算出　，完成预测．　Ｓ（ｊ一１）　＝ｓｊ　一　一　（８）　Ｎ　＝Ｓ１　一　１　（９）　５　实例分析　５．１　Ｇ．Ｐ算法改进前后的对比分析　采用Ｇ—Ｐ算法与改进Ｇ—Ｐ算法分别对相同数　据量的某时间序列计算关联积分，统计程序的运行　时间．其中，嵌人维数ｍ＝２，３，…，２０，邻域半径　取值个数Ｋｒ＝２０，统计时间为程序在相同条件下　运行５次的平均值，时间序列样本数Ⅳ分别取　１００，２００，４００，１　０００及２　０００，设优化比＝改进后运　行时间／改进前运行时问，统计结果见表２．　表２改进前后Ｇ—Ｐ算法运行时间对比表　由表２可知，样本数据个数取１００时，优化比　为１／６１，样本数据取２００时，优化比为１／１１７，样本　数据取４００时，优化比达到１／１４８，改进后Ｇ—Ｐ算　法的运行时间远远小于改进前，原本复杂的程序可　快速得到结果，且随着样本数据的增加，优化比越　小，算法的改进效果越显著．当样本数增加到１　０００　时，使用改进前方法所用的时间大于１　ｍｉｎ，且极　易造成程序运行中断，无法获得结果．使用改进后　Ｇ—Ｐ算法所用的时间仅为２．１０９　Ｓ．当样本数为　２　０００时，改进后的Ｇ　Ｐ算法得出结果所用的时间　依然小于１０　Ｓ．　５．２时间序列的关联维数及Ｒ／Ｓ分析　对某时间序列运用改进后Ｇ．Ｐ算法计算关联　维数，绘制ｌｎ（Ｃ（ｍ，ｒ））一ｌｎ（，一）图像，计算图像中每　条曲线直线部分趋势线的斜率Ｄ，绘制出的Ｄ—ｍ　图像如图１所示．由图可知，随着嵌入维数ｍ的增　图１　Ｄ－ｍ示意图　大，曲线斜率Ｄ起初逐渐增大，发展到后来则基本　趋于一致．从ｍ＝７开始Ｄ随ｍ的增加基本不再变　化，稳定值Ｄ　＝１．４１５　６，说明该时问序列在相空间　趋于有限维１．４１５　６，即饱和关联维为１．４１５　６．　对该时间序列进行Ｒ／Ｓ分析，得到Ｉｎ（Ｒ／Ｓ）一　ｌｎ（ｆ）图像如图２所示．由图可知，利用Ｒ／Ｓ分析法　估计出时间序列的Ｈｕｒｓｔ指数Ｈ＝０．９０７　４，相关系　数Ｒ＝０．９９，表明该时间序列有较强的持续效应，预　测该序列会按照现有状态持续发展．　图２　Ｒ／Ｓ分析结果图　５．３基于分形原理的短时间序列预测模型的建立　采用某城区６个沉降监测点（儿～Ｊ６）连续１１　期观测数据进行实验，其中前８期数据作为建模数　据，后３期作为模型验证数据．由于实验数据是等间　隔观测，在式（５）中，按照观Ｎ　ＪＪ￣，序取第１期观测的　，．＝１，第２期观测的ｒ＝２，依此类推，由式（６）得出原　始序列的分维Ｄ，绘制Ｄ—ｒ散点图，发现Ｄ随ｒ的改　变逐渐增大，不符合分形分布的要求．对原始观测值　进行一阶累加和变换处理，得到序列｛　１　｝，计算　｛　１　两点间的分维，发现使用一阶累加和数列计算　出的各分维Ｄ基本相同，符合分形分布的要求，可　以用作模型的建立．选择与待预测数据最接近的第　７、８期数据计算出的分维Ｄ作为预测模型的分维　值，再由式（７）计算出Ｃ．将计算出的Ｄ和ｃ代人式　（５），变形得到　Ｓ１＝ｅ　（１０）　将待预测数据的序列号９，１０，１１代人式（１０），　得出　１　，　ｌ　０，　１　再按式（８）、（９）对　１９，　１　ｏ，　１　还原，得到预测值Ⅳｑ，　。，Ⅳ】。．具体预测值、真实值　及残差值见表３．　由表可知，第９期数据的预测残差都在±１　ｍｉｉ１　以内，第ｌ０期、第１１期数据的预测值残差稍大，其　中，第ｌ０期的预测值残差绝对值都在３　ｍｉｌｌ以内，　第ｌｌ期的预测值残差绝对值都小于５　ＩｌｌｌＴＩ．　６结论　分形原理是描述非线性动力系统的一个活跃　增刊（ＩＩ）　邱华旭，等：基于分形原理的时间序列分析及预测研究　３３７　的分支，本文基于分形原理对时间序列进行研究分　析，得到以下结论：　１）采用数组存储代替重复计算的思路对饱和　关联维数法加以改进，改进后的Ｇ—Ｐ算法节省了　程序运行时问，有效提高了运行效率．该思路为处　理其他包含复杂计算的研究分析提供了寻求便捷　的有效途径．　２）对时间序列求取关联维数，验证了时间序　列存在分形特征．计算分形序列的Ｈｕｒｓｔ指数为　０．９０７　４，说明了此分形序列具有较强的持续效应．　３）利用累加和变换法计算短时间序列的分　维，建立出的分形预测模型能够非常精确地预测出　未来一期的时间序列数据，比较准确地预测出未来　２～３期的数据．为解决短时间序列模型的建立及　预测问题提供了一种新方法．　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）　［１］倪富健，方昱，薛智敏．时间序列在路面平整度预测中　的应用［Ｊ］．东南大学学报：自然科学版，２００６，３６　（４）：６３４～６３７．　Ｎｉ　Ｆｕｊｉａｎ，Ｆａｎｇ　Ｙｕ，Ｘｕｅ　Ｚｈｉｍｉｎ．Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｖｅ—　ｍｅｒｉｔ　ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ　ｗｉｍ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ａｕｔｏ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００６，３６（４）：６３４—６３７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［２］刘志强，黄张裕．建筑物沉降监测时序分析方法与预　测应用［Ｊ］．勘察科学技术，２００６（６）：５２—５４．　Ｌｉｕ　Ｚｈｉｑｉａｎｇ，Ｈｕａｎｇ　Ｚｈａｎｇｙｕ．Ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ　ｆｏｒ　ｂｕｉｌｄｉｎｇｓ　ｓｅｔｔｌｅｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｓｉｔｅ　Ｉｎｖｅｓｉｔｇａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６（６）：５２—　５４．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［３］张济忠．分形［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１１．　［４］孙霞，吴自勤，黄昀．分形原理及其应用［Ｍ］．合肥：　中国科学技术大学出版社，２００３．　［５］李后强，艾南山．分形地貌学及地貌发育的分形模型　［Ｊ］．自然杂志，１９９２，１５（７）：５１６—５１９．　Ｌｉ　Ｈｏｕｑｉａｎｇ，Ａｉ　Ｎａｎｓｈａｎ．Ｆｒａｃｔａｌ　ｇｅｏｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　ｆｒａｃｔａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｇｅｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｔｕｒｅ，１９９２，１５（７）：５１６—５１９．（ｉｎ　Ｃｈｉ—　ｎｅｓｅ）　［６］　吴伶．分形理论在事故预测中的应用［Ｄ］．西安：西安　电子科技大学，２００８．　［７］　Ｍａｒｔｉｎ　Ｃａｓｄａｇｌｉ．Ｃｈａｏｓ　ａｎｄ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ　ｖｅｒｓｕｓ　ｓｔｏ—　ｃｈａｓｔｉｃ　ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｙａｌ　Ｓｔａｉｔｓｔｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ：Ｓｅｒｉｅｓ　Ｂ（Ｍｅｈｔｏｄｏｌｏｇｉｃａ１），１９９２，　５４（２）：３０３—３２８．　［８］邵辉，施志荣，赵庆贤．事故关联维数的分形特征分析　［Ｊ］．系统工程理论与实践，２００６（４）：１４１—１４４．　Ｓｈａｏ　Ｈｕｉ，Ｓｈｉ　Ｚｈｉｒｏｎｇ，Ｚｈａｏ　Ｑｉｎｇｘｉｎａ．Ｆｒａｃｔａｌ　ｆｅａｔｕｒｅｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ　ｉｄｍｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ａｃｃｉｄｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｓｙｓ—　ｔｅｍｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ－－Ｔｈｅｏｒｙ　ｎａｄ　Ｐｒａｃｔｉｃｅ，２００６（４）：１４１　—１４４．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［９］潘伟，吴超，李明，等．基于关联维的事故时间序列分　形特征分析［Ｊ］．中国安全科学学报，２００７，１７（６）：　１５７—１６１，１７７．　Ｐａｎ　Ｗｅｉ，ＷｕＣｈａｏ，ＬｉＭｉｎｇ，ｅｔ　ａｌ，Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎｆｒａｃｔａｌ　ｆｅａｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ａｃｃｉｄｅｎｔ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｄｉ．　ｍｅｎｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ　Ｓａｆｅｔｙ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ，２００７，１７　（６）：１５７—１６１，１７７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１０］屈世显，张建华．复杂系统的分形理论与应用［Ｍ］．　西安：陕西人民出版社，１９９６．　［１　１］Ａｌｖａｒｅｚ—Ｒａｍｉｒｅｚ　Ｊ，Ｅｃｈｅｖｅｒｒｉａ　Ｊ　Ｃ，Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ　Ｅ．Ｐｅｒ—　ｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｈｉｇｈ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒ／Ｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｈｕｒｓｔ　ｅｘｐｏｎｅｎｔ　ｅｓｉｔｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ　Ａ：Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ｍｅ—　ｃｈａｎｉｃｓ　ｎａｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，３８７（２６）：６４５２—　６４６２．　［１２］聂伟，邵春福，杨励雅，等．分形理论在货运量预测中　的应用探讨［Ｊ］．物流技术，２００７，２６（２）：１０４—１０６，　１０９．　Ｎｉｅ　Ｗｅｉ，Ｓｈａｏ　Ｃｈｕｎｆｕ，Ｙａｎｇ　Ｌｉｙａ，ｅｔ　ａ１．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｌａ　ｈｔｅｏｒｙ　ｉｎ　ｒｆｅｉｇｈｔ　ｖｏｌｕｍｅ　ｆｏｒｅｃａｓｔ［Ｊ］．Ｌｏｇｉｓ—　ｔｉｃｓ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７，２６（２）：１０４—１０６，１０９．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）