理论力学中的模型

2021-01-27 来源：榕意旅游网

西南科技大学《高教研究》　　　　　　2004年第2期(总第71期)

理论力学中的模型

邓先金(西南科技大学理学院)

模型是科学研究中最基本的方法之一,它在各门学科中,尤其在自然科学中得到了广泛的应用。本文主要谈谈它在理论力学中的应用。

在理论力学中,主要有两大模型,即质点模型和刚体模型。二者既互相区别又互相联系。　　一、质点模型

质点模型是指当物体的形状和大小与所研究的问题无关或者所起的作用很小的情况下,我们就可以在尺度上把它看作一个几何点,而不必考虑它的形状和大小,它的质量就可以被认为集中在这个点上,这个点就叫做质点,这种抽象化的模型就叫做质点模型。

可以这样来作进一步的理解:

条件:物体自身线度远小于相关物(如参照物)的大小或者远小于它们之间的距离或者远小于研究对象所在的范围的尺度,以至于可以忽略物体自身的形状和大小。

结果:不考虑其形状和大小,把它看作一个点。

这样,就将复杂的问题简单化了,仅抓住本质的东西,去除非本质的东西,也就是仅将其看作一个有质量的点,用简明的方法处理复杂的问题。最典型的例子就是地球绕太阳的公转,此时,地球自身的大小比起太阳的大小以及地球与太阳之间的距离或者研究范围(太阳系)来说可以忽略不计,即把地球作为一个仅有质量的点(质点),不考虑其形状(椭圆)和大小(半径6400公里)。开普勒三大定律就是这样建立起来的。

下面,举个例子来分析说明质点模型在理论力学的解题中的具体应用。

例1:小船M被水冲走后,用一绳子把它拉回岸边的A点。假定水流速度C1沿河宽不变,而拉绳子的速度为C2。求小球的轨迹(见图1)。

严格说来,小球不同部位的轨迹是不同的,如图2。但我们不必去考虑小船上各点的轨

迹,我们仅将其作为一个整体(质点),不考虑它的形状和大小,因为此时小船相对于河面(研究范围)来说,它的大小是可以忽略不计的。

设小船的位矢为r,解得:　　r=r0ctga0tga

(k=C2/C1,a=Φ/2,a0=Φ0/2)为小船的运动轨迹。　　二、刚体模型

刚体模型是指某物体内部的任何两个质点间的距离不因力的作用而发生改变,这样的物体我们把它叫做刚体,相应的模型就是刚体模型。可以这样来作进一步的理解:条件:物体的形状和大小的变化相对于物体自身的大小、或者物体内部的运动相对于所研究的物体的整体运动来说可以忽略不计。结果:不考虑物体的形状和大小的变化,不考虑物体内部的相对运动,即认为物体内任意两点间的距离保持不变。在刚体模型中,物体的形状和大小至关重要,这与质点不同,质点模型不必考虑其形状和大小。最典型的例子就是地球的自转,这时,物体(地球)自身大小与研究所取的范围(地球所占的空间)相当,因而,不能将地球作为一个质点来处理,而必须考虑它的形状(近似球体)和大小(半径约为6400公里)。但地球内部的相对运动(如地幔运动,河水运动,潮汐等)较之于所研究的地球的自转来说,可以忽略不计,因而却可以将地球抽象为内部任意两点间的距离不变的刚体。

同样,下面举一个例子来分析说明刚体模型在理论力学解题中的应用。

例2:一质量为m,半径为a的均质圆球B,被握着静止在另一半径为b的固定圆球A的顶端。其后,把手松开,使其自由滚下。试证:当两球的连心线与竖直向上的直线间的夹

-1

角为cos(10/17)时,此时两球将互相分离。

此时,B球不能作为一个质点,因B的大小相对于A的大小以及两者之间的距离不能忽略不计,但B球的形状和大小的变化可以忽略不计(严格说来,由于受A球对B球的支持弹力的作用,其形状是有所变化的,但相对于B球和A球的大小来说极其微小),因此,可将其视为形状和大小不变的刚体。只需考虑其质心的运动和绕其质心的转动(注意:必须考虑绕质心转动,这与质点不同,质点不需要考虑绕自身质心的转动)。

列出方程:

Φ-fm(a+b)Φ=mgsin

Φ-Nm(a+b)Φ=mgcos

・・

(1)

・

(2)

・

22・

maθ=fa5

(3)

注意:(1)式和(2)式是质心的运动。参照系为地面,(3)式是绕质心的转动,其惯量只26

能是相对于质心。

θ=(a+b)Φ外加约束方程:a

Φ=(10/17)时,N=0联立可解得:cos

Φ=cos-1(10/17)时,两球分离。即当　

参考文献

1　周衍柏.理论力学教程.北京:高等教育出版社,1985

(上接第24页)

加大与企业的联系和合作,按“产、学、研”的发展模式获得跨越式的发展。

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