1.
高中数学课程的地位和作用：
高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 高中数学课程的基本理念：
高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。
高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。
让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。
提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广
⑴
⑵
⑶
⑷
2.
⑴
⑵
⑶
⑷
泛性需要学生具有应用意识。
强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。
重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的重要作用。
全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。 高中数学课程的目标：
总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力 高中数学课程的内容结构：
⑸
⑹
⑺
⑻
3.
⑴
⑵
⑶
⑷
4.
⑴
必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）
选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：
选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、推理与证明、复数、框图）
选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） 选修系列3（6个专题） 选修系列4（10个专题）
⑵
①
②
③
④
5.
高中数学课程的主线：
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 教学建议：
以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划 帮助学生打好基础，发展能力：
6.
⑴
⑵
①
强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 ②
重视基本技能的训练
③
与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶
注重联系，提高对数学整体的认知
⑷
注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 ⑸
关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 ⑹
改善教与学的方式，使学生主动地学习 ⑺
恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7.
评价建议：
⑴
重视对学生数学学习过程的评价
⑵
正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶
重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）
⑷
实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） ⑸
根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8.
教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”） 教学过程
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）
9.
10. 教学方法
⑴
讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）
讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。
自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。
⑵
⑶
⑷
11. 概念教学
⑴
概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。
概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）
概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“𝑓(𝑓)=𝑓𝑓”） 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
⑵
⑶
⑷
12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性
策略（教学实施之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）
13. 推理教学
⑴
推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的
推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）
⑵
14. 问题解决教学
⑴
数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解）
非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检验；交流和评价；推广）
⑵
⑶
15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习
第三章 教学技能
16. 教学设计
⑴
课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。 教学设计与教案的关系：
⑵
①
内容不同：
教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。 核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。 范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
②
③
⑶
数学课堂教学设计的意义：
使课堂教学更规范、操作性更强 使课堂教学更科学 使课堂教学过程更优化
①
②
③
⑷
数学课堂教学设计的基本要求：
①
充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 适应学生的学习心理和年龄特征 重视课程资源的开发和利用 注重预设与生成的辩证统一 辩证认识和处理教学中的多种关系 整体把握教学活动的结构
②
③
④
⑤
⑥
⑸
数学教学设计的准备：
认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求 全面关注学生需求
认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计
制定学期教学计划、单元教学计划
①
②
③
④
⑤
⑹
教材分析
分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 整体系统的观念用教材
①
②
③
理解教材的编排意图 突出教材的重点和难点
④
⑺
学情分析
分析学生原有的认知基础 分析学生的个体差异 了解学生的生理、心理
了解学生对本学科学习方法的掌握情况 分析学习知识时可能要遇到的困难
①
②
③
④
⑤
⑻
制定合理教学目标的要求
反映学科特点，体现内容本质 要有计划性，可评价性 格式要规范，用词要考究
要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究） 要实在具体，不浮华
①
②
③
④
⑤
⑥
⑼
教学反思
教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文 教学设计的撰写：
教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） 学情分析
教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 教学理念 教学策略 教学环境 教学过程 教学反思
①
②
⑽
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
17. 教学实施
⑴
课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法
课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问 学生活动：
学生活动体现了学生在学习中的主体地位
作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 学生活动的目的是促进学生的理解 从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑵
⑶
⑷
①
②
③
④
⑸
课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法
结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓
⑹
18. 教学评价
⑴
数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果
数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章 常用数学公式
⑵
一、 函数、导数
1.
函数的单调性
设𝑓1、𝑓2∈[𝑓,𝑓]且𝑓1<𝑓2。那么
⑴
𝑓(𝑓1)−𝑓(𝑓2)<0𝑓(𝑓)在[𝑓,𝑓]上是增函数； 𝑓(𝑓1)−𝑓(𝑓2)>0𝑓(𝑓)在[𝑓,𝑓]上是减函数。
⑵
设函数y=𝑓(𝑓)在某个区间内可导，若𝑓′(𝑓)>0，则在该区间内
𝑓(𝑓)为增函数；若𝑓′(𝑓)<0，则在该区间内𝑓(𝑓)为减函数
2.
函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）
对于定义域内任意的𝑓，都有𝑓(−𝑓)=𝑓(𝑓)，则𝑓(𝑓)是偶函数； 对于定义域内任意的𝑓，都有𝑓(−𝑓)=−𝑓(𝑓)，则𝑓(𝑓)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。 函数在点𝑓0处的导数的几何意义
函数𝑓=𝑓(𝑓)在点𝑓0处的导数𝑓′(𝑓0)是曲线𝑓=𝑓(𝑓)在P(𝑓0,𝑓(𝑓0))处的切线的斜率，相应的切线方程是𝑓−𝑓(𝑓0)=
3.
𝑓′(𝑓0)(𝑓−𝑓0)。
4.
几种常见函数的导数
C′=0（C为常数）；(𝑓𝑓)′=𝑓𝑓ln𝑓；
(𝑓𝑓)′=𝑓𝑓𝑓−1（n∈Q）；(𝑓𝑓)′=𝑓𝑓；
(sin𝑓)′=cos𝑓；(cos𝑓)′=−sin𝑓；
(arc sin𝑓)
′=−(arc cos𝑓)′=1√1−𝑓2； (arc tan𝑓)′=−(arc cot𝑓)′=11+𝑓2；
(ln𝑓)
′=1′1𝑓；(log𝑓𝑓)=𝑓ln𝑓；
5.
导数的运算法则
(𝑓±𝑓)′=𝑓′±𝑓′；(𝑓𝑓)′=𝑓′𝑓+𝑓𝑓′；𝑓=𝑓(𝑓)，𝑓′=𝑓′(𝑓)𝑓′
6.
幂函数𝑓(𝑓)=𝑓𝑓（α∈R，α≠1）
(𝑓)，v=
𝑓αα<0 0<α<1 α>1 性质 𝑓= 𝑓 𝑓为奇数， 奇函数 𝑓为奇数 𝑓为奇数， 𝑓为偶数 𝑓为偶函偶数， 数 𝑓为奇数 第一象限图像 减函数 增函数 增函数 过定点(1,1) 7.
求函数𝑓=𝑓(𝑓)的极值的方法:解方程𝑓′(𝑓)=0。当𝑓′(𝑓0)=0时：
如果在𝑓0附近的左侧𝑓′(𝑓0)>0，右侧𝑓′(𝑓0)<0，则𝑓(𝑓0)是极大值；
如果在𝑓0附近的左侧𝑓′(𝑓0)<0，右侧𝑓′(𝑓0)>0，则𝑓(𝑓0)是极小值；
凹凸函数：设𝑓(𝑓)在开区间I上存在二阶导数：
若对任意𝑓∈I，有𝑓“(𝑓)>0，则𝑓(𝑓)在I上为下凸函数； 若对任意𝑓∈I，有𝑓“(𝑓)<0，则𝑓(𝑓)在I上为上凸函数；
⑴
⑵
8.
⑴
⑵
二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量
9.
同角三角函数的基本关系式
sin𝑓+cos2𝑓=1，tanθ=
2sinθ
，tan𝑓?cot𝑓=1
cosθ
10. 正弦、余弦的诱导公式
sin(
𝑓π
2±α)={
𝑓−1(−1)2cos𝑓(𝑓为奇数) 𝑓+1(−1)2sin𝑓(𝑓为奇数)
𝑓(−1)2cos𝑓𝑓(−1)2sin𝑓(𝑓为偶数)
cos(
𝑓π
2±α)={
(𝑓为偶数)
11. 和角与差角公式
sin(α±β)=sin𝑓cos𝑓±cos𝑓sin𝑓； cos(α±β)=cos𝑓cos𝑓?sin𝑓sin𝑓；
tan𝑓±tan𝑓 1?tan𝑓tan𝑓tan(α±β)=
αsin𝑓+𝑓cos𝑓=√𝑓2+𝑓2sin(α±φ)（辅助角φ所在象限由点(𝑓,𝑓)的象限决定, tanθ=）
𝑓b
12. 二倍角公式
sin2𝑓=2sin𝑓cos𝑓；
cos2α=cos2𝑓−sin𝑓=2cos2𝑓−1=1−2sin𝑓；
tan2𝑓=
222tan𝑓 21−tan𝑓13. 三角函数的周期
函数𝑓=𝑓sin(ωα+φ)，𝑓∈R及函数𝑓=𝑓cos(ωα+φ)，𝑓∈R（𝑓，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T=
𝑓2𝑓𝑓；函数𝑓=
𝑓tan(ωα+φ)，𝑓≠𝑓𝑓+2，𝑓∈Z（𝑓，ω，φ为常数，且A≠
0，ω>0）的周期T=。
𝑓𝑓14. 三角函数的图像变换：
⑴
函数𝑓=𝑓sin(ωα+φ)，𝑓∈R即𝑓=sin𝑓横坐标伸长（0<
1𝑓ω<1）或缩短（ω>1）到原来的ω倍，再向左（𝑓>0）或向右（<ωω
0）平移|𝑓|个单位，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0 函数𝑓=𝑓sin(ωα+φ)，𝑓∈R即𝑓=sin𝑓向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，再横坐标伸长（0<ω<1）或缩短 1（ω>1）到原来的ω倍，再，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0< ⑵ A<1）到原来的A倍。 15. 正弦定理 𝑓sin𝑓=sin𝑓=sin𝑓=2𝑓（𝑓是?ABC外接圆的半径） 𝑓𝑓16. 余弦定理 𝑓2=𝑓2+𝑓2−2𝑓𝑓cos𝑓; 𝑓2=𝑓2+𝑓2−2𝑓𝑓cos𝑓; c=𝑓2+𝑓2−2𝑓𝑓cos𝑓 17. 三角形面积公式 111 S=𝑓𝑓sin𝑓=𝑓𝑓sin𝑓=𝑓𝑓sin𝑓 222 18. a 与b的数量积（或内积） 𝑓?𝑓=|𝑓|?|𝑓|cos𝑓（𝑓是向量a，b的夹角） 19. 向量的坐标运算 ⑴ 设A(𝑓1,𝑓1,𝑓1)，B(𝑓2,𝑓2,𝑓2),则𝑓𝑓⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑓𝑓⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑓𝑓⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑓2− 𝑓1，𝑓2−𝑓1，𝑓1−𝑓2)； ⑵ 设𝑓(𝑓1,𝑓1,𝑓1)，𝑓(𝑓2,𝑓2,𝑓2),则𝑓?𝑓=𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2+ 𝑓1𝑓2； ⑶ 设𝑓(𝑓,𝑓,𝑓)，则|𝑓|=√𝑓2+𝑓2+𝑓2。 20. 两向量的夹角公式 设𝑓(𝑓1,𝑓1,𝑓1)，𝑓(𝑓2,𝑓2,𝑓2),且𝑓≠𝑓，则cos𝑓=|𝑓|?|𝑓|= 𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2√𝑓12+𝑓12+𝑓12√𝑓22+𝑓22+𝑓22𝑓?𝑓 。 21. 向量的平行与垂直 𝑓𝑓𝑓𝑓∕⁄𝑓?𝑓=λ𝑓?𝑓1=𝑓1=𝑓1； 222𝑓⊥𝑓(𝑓≠𝑓)?𝑓?𝑓=0?𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2=0 三、 数列、集合与命题 22. 数列的通项公式与前𝑓项的和的关系 𝑓1𝑓=1（数列{𝑓}的前𝑓项的和为𝑓=𝑓+𝑓𝑓={𝑓𝑓−𝑓 𝑓𝑓1𝑓−1𝑓≥2𝑓2+?+𝑓𝑓） 23. 等差数列的通项公式和前𝑓项和公式 (−1)+𝑓𝑓) 𝑓𝑓=𝑓1+(𝑓−1)𝑓；𝑓𝑓=𝑓(𝑓12=n𝑓1+𝑓𝑓𝑓 224. 等比数列的通项公式和前𝑓项和公式 𝑓𝑓=𝑓1𝑓𝑓−1；𝑓𝑓={𝑓𝑓𝑓1，𝑓=1𝑓1(1−𝑓) 1−𝑓= 𝑓1−𝑓𝑓𝑓，𝑓1−𝑓≠1 25. 数列求和常见结论： 1𝑓𝑓111=𝑓−−； ()（p 21[2𝑓(𝑓+1)]。 𝑓𝑓26. 有𝑓个元素的集合，含有2个子集，2−1个真子集。 27. 原命题：若p则𝑓；否命题：若?p则?𝑓；命题的否定：若p则?𝑓。 28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“?”；存在量词又称特称量 词，写作“?”。 四、 不等式 29. 均值不等式 设𝑓，b∈𝑓+， 30. 柯西不等式 𝑓+b 2 ≥√𝑓𝑓 (当且仅当𝑓＝b时取“=”号) 22222(𝑓21+𝑓2+?+𝑓𝑓)(𝑓1+𝑓2+?+𝑓𝑓)≥(𝑓1𝑓1+ 𝑓2𝑓2+?+𝑓𝑓𝑓𝑓)2，其中𝑓1，?，𝑓𝑓，𝑓1，?，𝑓𝑓∈𝑓+，当且仅 当𝑓1=𝑓2=?=𝑓𝑓时不等式取等号。 12𝑓𝑓𝑓𝑓31. Jensen不等式 [𝑓(𝑓)+𝑓(𝑓)+𝑓(𝑓)] 3≤𝑓( 𝑓+𝑓+𝑓) 332. 三角不等式：||𝑓|−|𝑓||≤|𝑓±𝑓|≤|𝑓|+|𝑓| 33. 指数不等式：𝑓𝑓(𝑓) >𝑓(𝑓>0,𝑓>0)?𝑓(𝑓)lg𝑓>lg𝑓 五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程 ⑴ 点斜式：𝑓−𝑓0=𝑓(𝑓−𝑓0)（直线l过点(𝑓0,𝑓0)，且斜率为k） 斜截式：𝑓=𝑓𝑓+𝑓（b为直线l在y轴上的截距） 两点式：𝑓𝑓−𝑓12−𝑓1⑵ ⑶ =𝑓𝑓−𝑓1（直线l过点(𝑓1,𝑓1)(𝑓2,𝑓2)，且𝑓12−𝑓1≠𝑓2， 𝑓1≠𝑓2） ⑷ 截距式：𝑓+𝑓=0（𝑓、b分别为直线的横、纵截距，𝑓,𝑓≠0） 一般式：𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓=0（其中A、B不同时为0） 𝑓𝑓⑸ 35. 两条直线的平行和垂直 若𝑓1：y=𝑓1𝑓+𝑓1，𝑓2：y=𝑓2𝑓+𝑓2 ⑴ 𝑓1∕⁄𝑓2?𝑓1=𝑓2，𝑓1≠𝑓2； ⑵ 𝑓1⊥𝑓2?𝑓1?𝑓2=−1 36. 点(𝑓0,𝑓0)到直线𝑓：𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓=0（的距离 d= |𝑓𝑓0+𝑓𝑓0+𝑓| √𝑓2+𝑓2 37. 角平分线所在直线的方程 −𝑓1𝑓2−𝑓tan𝑓=1𝑓=，其中𝑓1、𝑓2分别为角的边所在直线的斜率，+𝑓?𝑓1+𝑓?𝑓122𝑓为原角的大小 38. 圆的三种方程 ⑴ 圆的一般方程：𝑓2+𝑓2+D𝑓+𝑓𝑓+𝑓=0(𝑓2+𝑓2−4𝑓>0) 圆的标准方程：(𝑓−𝑓)2+(𝑓−𝑓)2=𝑓2 圆的参数方程：{𝑓=𝑓+𝑓cos𝑓 𝑓=𝑓+𝑓sin𝑓⑵ ⑶ 39. 两个圆的公共弦所在方程 (𝑓2+𝑓2+D1𝑓+𝑓1𝑓+𝑓1)−(𝑓2+𝑓2+D2𝑓+𝑓2𝑓+𝑓2)=0 40. 直线与圆的位置关系 直线𝑓：𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓=0与圆(𝑓−𝑓)2+(𝑓−𝑓)2=𝑓2的位置关系有三种： d>r?相离?Δ<0；d=r?相切?Δ=0；d |𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓|√𝑓2+𝑓2 41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 𝑓椭圆：𝑓+=1(𝑓>𝑓>0)，𝑓2−𝑓2=𝑓2，离心率𝑓=2𝑓𝑓222𝑓𝑓<1， 准线𝑓=± 𝑓2𝑓=𝑓cos𝑓，椭圆上的点与两个定，参数方程是{𝑓𝑓=𝑓sin𝑓点𝑓1(𝑓,0)、𝑓2(−𝑓,0)的距离之和等于常数（2𝑓）。 𝑓𝑓双曲线：−=1(𝑓>𝑓>0)，𝑓2−𝑓2=𝑓2，离心率𝑓=22𝑓𝑓22𝑓𝑓>1， 准线𝑓=± 𝑓2𝑓2，渐近线方程是𝑓2𝑓= 𝑓2，椭圆上的点与两个定点𝑓2𝑓1(𝑓,0)、𝑓2(−𝑓,0)的距离之差等于常数（2𝑓）。 𝑓抛物线：𝑓2=2𝑓𝑓，焦点(𝑓,0，准线𝑓=−，焦半径|PF|=𝑓+，)0222𝑓过抛物线焦点的弦长|AB|=𝑓1+𝑓2+𝑓，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 ⑴ 𝑓𝑓𝑓𝑓若双曲线方程为𝑓−=1?−=0?𝑓=±𝑓。 2222𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓?±=0?双曲线可设为𝑓−=𝑓。 2𝑓𝑓2𝑓𝑓𝑓222222⑵ 若渐近线方程为𝑓=± 22𝑓𝑓22⑶ 𝑓𝑓𝑓若双曲线与𝑓−=1有公共渐近线，可设为−=𝑓（𝑓>0，222𝑓𝑓𝑓𝑓2焦点𝑓在轴上；𝑓<0，焦点y在轴上） 43. 若斜率为𝑓的直线与圆锥曲线相交于A(𝑓1,𝑓1)、B(𝑓2,𝑓2)两点，则弦 长公式为 AB=√(1+𝑓2)[(𝑓1+𝑓2)2−4𝑓1𝑓2]=√(1+ 1𝑓2)[(𝑓1+𝑓2)2−4𝑓1𝑓2]（𝑓≠0） 44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=2πr𝑓，表面积=2πr𝑓+2π𝑓2，体积= 𝑓𝑓（𝑓是柱体的底面积，𝑓是柱体的高）；圆锥侧面积=πr𝑓，表面积=πr𝑓+π𝑓2，体积= 𝑓𝑓（𝑓是锥体的底面积，𝑓是锥体的高）； 31球的半径是 𝑓，则其体积V=πR3，其表面积𝑓=4πR2 34六、 空间几何 45. 平面方程： ⑴ 点法式：𝑓(𝑓−𝑓0)+𝑓(𝑓−𝑓0)+𝑓(𝑓−𝑓0)=0，𝑓=(𝑓,𝑓,𝑓)是平面的法向量 一般式：A𝑓+𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓=0（𝑓,𝑓,𝑓不全为0） 参数式：已知平面Π上一点M(𝑓0,𝑓0,𝑓0)以及平行于平面的两不共线向量μ1=(𝑓1,𝑓1,𝑓1)和μ2=(𝑓2,𝑓2,𝑓2)，则有 ⑵ ⑶ 𝑓=𝑓1𝑓1+𝑓2𝑓2+𝑓0{𝑓=𝑓1𝑓1+𝑓2𝑓2+𝑓0 𝑓=𝑓1𝑓1+𝑓2𝑓2+𝑓046. 两平面间的关系: 𝑓𝑓𝑓𝑓⑴ Π1∕⁄Π2?𝑓1=𝑓1=𝑓1≠𝑓1；（法向量共线但两平面不重合） 2222⑵ Π1⊥Π2?𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2=0 2Π1与Π2的夹角（θ<）：cos𝑓=|𝑓1|?|𝑓=| ⑶ π2 |𝑓?𝑓| 12|𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2+𝑓1𝑓2|22222√𝑓21+𝑓1+𝑓1?√𝑓2+𝑓2+𝑓2 47. 直线方程： ⑴ 一般式（交面式）：{ 𝑓1𝑓+𝑓1𝑓+𝑓1𝑓+𝑓1=0 𝑓2𝑓+𝑓2𝑓+𝑓2𝑓+𝑓2=0⑵ 𝑓=𝑓0+𝑓𝑓参数式：{𝑓=𝑓0+𝑓𝑓 𝑓=𝑓0+𝑓𝑓对称式（标准式）： 𝑓−𝑓0𝑓⑶ = 𝑓−𝑓0𝑓= 𝑓−𝑓0 𝑓48. 直线与平面的关系： ⑴ 𝑓∕⁄Π?A𝑓+𝑓𝑓+𝑓𝑓=0且A𝑓0+𝑓𝑓0+𝑓𝑓0+𝑓≠0； 𝑓⊥Π?𝑓=𝑓=𝑓 𝑓与Π的夹角（θ<2）：sin𝑓=√π |A𝑓+𝑓𝑓+𝑓𝑓|⑵ A𝑓𝑓⑶ 𝑓2+𝑓2+𝑓2?√𝑓2+𝑓2+𝑓2 49. 曲面方程： ⑴ 𝑓𝑓单叶双曲面：𝑓+−=1（𝑓,𝑓,c>0） 22𝑓𝑓𝑓2222222⑵ 𝑓𝑓双叶双曲面：𝑓+−=−1（𝑓,𝑓,c>0） 22𝑓𝑓𝑓222⑶ 𝑓椭圆抛物面：𝑓+=2𝑓（𝑓,𝑓>0），当𝑓=𝑓时，曲面为旋转𝑓𝑓抛物面 𝑓2𝑓2⑷ 双曲抛物面：−𝑓𝑓=2𝑓（𝑓,𝑓>0） 七、 概率统计 50. 平均数、方差、标准差、期望的计算 𝑓+𝑓2+?+𝑓𝑓平均数：𝑓̅̅̅̅=1 𝑓1方差：𝑓2=𝑓[(𝑓1−𝑓)2+(𝑓2−𝑓)2+?+(𝑓𝑓−𝑓)2] 标准差：s=√[(𝑓1−𝑓)2+(𝑓2−𝑓)2+?+(𝑓𝑓−𝑓)2] 𝑓1期望 51. 回归线方程 ∑𝑓̅̅̅)(𝑓𝑓−𝑓̅̅̅)𝑓=1(𝑓𝑓−𝑓𝑓2∑𝑓̅̅̅̅̅̅𝑓=1𝑓𝑓𝑓𝑓−𝑓𝑓𝑓2𝑓2𝑓̂=𝑓+b𝑓，其中b= =，𝑓= ∑𝑓=1(𝑓𝑓−̅𝑓̅̅)∑𝑓=1𝑓𝑓−𝑓𝑓̅̅̅̅𝑓̅̅−𝑓𝑓̅̅̅ 52. 独立性检验：𝑓2= 𝑓(𝑓𝑓−𝑓𝑓)2(𝑓+𝑓)(𝑓+𝑓)(𝑓+𝑓)(𝑓+𝑓) 53. 排列数、组合数 排列数公式：𝑓𝑓𝑓=𝑓(𝑓−1)?(𝑓−𝑓+1)=𝑓! (𝑓−𝑓)!，其中𝑓𝑓𝑓=𝑓0𝑓=1； 组合数公式：𝑓𝑓𝑓𝑓= 𝑓𝑓=𝑓!𝑓𝑓𝑓𝑓0𝑓!(𝑓−𝑓)! ，其中𝑓𝑓=𝑓𝑓=1 54. 二项式定理： ⑴ (𝑓+𝑓)𝑓=𝑓0𝑓𝑓𝑓𝑓0+ 𝑓1𝑓𝑓𝑓−1𝑓1+?+𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓−𝑓𝑓𝑓+?+𝑓𝑓𝑓𝑓0𝑓𝑓 ⑵ 第r+1项：𝑓𝑓+1=𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓−𝑓𝑓𝑓（0≤r≤𝑓，r∈Z） ⑶ 系数和：𝑓0𝑓+𝑓1𝑓+?+𝑓𝑓𝑓=2𝑓，𝑓0𝑓+𝑓2𝑓+𝑓4𝑓+?=𝑓𝑓3𝑓+𝑓5𝑓+?=2𝑓−1 ⑷ 当𝑓的绝对值与1相比很小且𝑓不大时，有(1+𝑓)𝑓≈1+𝑓𝑓(1−𝑓) 𝑓≈1−𝑓𝑓 55. 相对独立事件同时发生的概率P(𝑓?𝑓) =𝑓(𝑓)?𝑓(𝑓) !， +， 𝑓1𝑓56. 正态分布记为ξ~N(𝑓,𝑓2)，其中期望Eξ=μ，方差Dξ=𝑓2，曲线 关于直线𝑓=μ对称并在𝑓=μ时取最大值。 57. 离散型随机变量的期望与方差的性质： ⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 Eξ=𝑓1𝑓1+𝑓2𝑓2+?+𝑓𝑓𝑓𝑓；E(𝑓)=𝑓（𝑓为常数） Dξ=(𝑓1−Eξ)2𝑓1+(𝑓2−Eξ)2𝑓2+?+(𝑓𝑓−Eξ)2𝑓𝑓D(𝑓)=0（𝑓为常数） 设η=𝑓ξ+b，则E(η)=𝑓Eξ+b，D(η)=𝑓2Dξ，D(η)=Eξ2−(Eξ)2 ； ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 若ξ~B(𝑓,𝑓)，则Eξ=𝑓𝑓，Dξ=𝑓𝑓(1−𝑓)；若ξ服从几何分布，且P(ξ=𝑓)=𝑓(𝑓,𝑓)，则Eξ=，Dξ= 𝑓11−𝑓𝑓2。 八、 复数 58. 复数的除法运算： 𝑓+𝑓𝑓(𝑓+𝑓𝑓)(𝑓−𝑓𝑓)(𝑓𝑓+𝑓𝑓)+(𝑓𝑓−𝑓𝑓)𝑓== 𝑓+𝑓𝑓(𝑓+𝑓𝑓)(𝑓−𝑓𝑓)𝑓2+𝑓259. 复数z =𝑓+𝑓𝑓的模：|𝑓|=|𝑓+𝑓𝑓|=√𝑓2+𝑓2 60. 复数之间不能进行大小比较 61. 设一元三次方程𝑓𝑓3+𝑓𝑓2+c𝑓+𝑓=0（𝑓≠0）的三个根分别 是𝑓1,𝑓2,𝑓3，则有： ⑴ 𝑓𝑓1+𝑓2+𝑓3=−𝑓，𝑓𝑓+𝑓𝑓+𝑓𝑓=，𝑓1𝑓2𝑓3=122313𝑓𝑓−𝑓 𝑓令?=()+()，其中p= 23𝑓2𝑓33𝑓𝑓−𝑓23𝑓2⑵ ，q= 27𝑓2𝑓−9𝑓𝑓𝑓+2𝑓327𝑓3 当?>0时，方程有一个实根，一对共轭复根； 当?=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根； 当?<0时，方程有三个不等实根。 九、 极限与级数 62. 柯西收敛准则：数列{𝑓𝑓}收敛的充分必要条件是：对于任意ε>0，存 在整数N>0，使 得当n，m>N时，有|𝑓𝑓−𝑓𝑓|< 𝑓。 63. 极限的定义： 𝑓→𝑓0lim𝑓(𝑓)=𝑓：对于任意ε>0，存在正数δ，当0< |𝑓−𝑓0|<δ时，有|𝑓(𝑓)−𝑓|<𝑓。 64. 当𝑓→ 0时，有𝑓𝑓−1~𝑓~sin𝑓~ln(1+𝑓)，1 =lim ln(1+𝑓) −cos𝑓~ 1𝑓) 𝑓22，则有 𝑓→0𝑓lim sin𝑓𝑓→0𝑓= 1𝑓1，lim(1+𝑓)𝑓→0=lim(1+𝑓𝑓→0=𝑓 65. 函数极限的计算： ⑴ 𝑓→𝑓0lim [𝑓(𝑓)]𝑓=[𝑓lim𝑓(𝑓)]（𝑓∈𝑓+）其中各函数极限均存在 →𝑓0𝑓⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件： lim𝑓(𝑓)=𝑓lim𝑓(𝑓)=𝑓 ，其中𝑓=0或𝑓=→𝑓① 𝑓→𝑓∞； 在点𝑓的某去心邻域内两者均可导，且𝑓′(𝑓)≠0； = 𝑓′(𝑓) lim 𝑓→𝑓𝑓′(𝑓) ② 𝑓(𝑓) 则有𝑓lim→𝑓𝑓(𝑓) 66. 拉格朗日中值定理：如果函数𝑓(𝑓)满足在闭区间[𝑓,𝑓]上连续；在开 区间(𝑓,𝑓)内可导；那 么在开区间(𝑓,𝑓)内至少有一点ε（𝑓<ε ⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 比值与根值判别法： { ⑵ <1，级数∑∞𝑓=1𝑓𝑓收敛=1，此判别法失效 { 若𝑓lim→∞𝑓𝑓+1𝑓𝑓=𝑓>1，级数∑∞lim𝑓𝑓=+∞； 𝑓=1𝑓𝑓发散，且𝑓→∞<1，级数∑∞𝑓=1𝑓𝑓收敛=1，此判别法失效 𝑓若𝑓lim lim𝑓𝑓=+∞；√𝑓𝑓=𝑓>1，级数∑∞𝑓=1𝑓𝑓发散，且𝑓→∞→∞ ⑶ 1∞与p级数比较：设∑∞𝑓=1𝑓𝑓=∑𝑓=1𝑓𝑓>0，当p>1时收敛，当p≤1 时发散。 68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数∑∞𝑓=1(−1) ∑∞足𝑓𝑓≥𝑓𝑓+1，n≥N>1；lim𝑓<𝑓=0，则𝑓1𝑓=1(−1)𝑓→∞𝑓−1𝑓−1𝑓𝑓满𝑓𝑓收 𝑓−1敛，且其和0<∑∞𝑓𝑓<𝑓1，余项|𝑓𝑓|<𝑓𝑓+1。 𝑓=1(−1) 69. 幂级数收敛半径及收敛域： 𝑓设幂级数∑∞𝑓=0𝑓𝑓(𝑓−𝑓0)，则有 𝑓，0<𝑓<+∞𝑓⑴ 若lim|𝑓+1|=𝑓，则其收敛半径为R=0，𝑓=+∞； 𝑓→∞𝑓𝑓 {+∞，𝑓=0⑵ 𝑓判断∑∞𝑓=0𝑓𝑓(𝑓−𝑓0)在𝑓−𝑓0=±R处的敛散性； 1⑶ 若该级数在𝑓−𝑓0=R处收敛，则其收敛域为(−R+𝑓0,R+𝑓0]；若该级数在𝑓−𝑓0=−R处收敛，则其收敛域为[−R+𝑓0,R+𝑓0)；若该级数在𝑓−𝑓0=±R处都收敛，则其收敛域为[−R+𝑓0,R+ 𝑓0]]。 十、 矩阵、线性空间与线性变换 70. 矩阵的转置： ⑴ 对于𝑓阶实矩阵𝑓，若满足𝑓𝑓𝑓=𝑓或𝑓𝑓𝑓=𝑓（为单位矩阵），则矩阵𝑓称为正交矩阵，其中𝑓𝑓为𝑓的转置； ⑵ 若𝑓阶方阵𝑓满足𝑓𝑓=𝑓，则称𝑓为对称矩阵；若𝑓阶方阵𝑓满足𝑓𝑓=−𝑓，则称𝑓为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0； 转置的运算规律：(𝑓𝑓)𝑓=𝑓𝑓𝑓𝑓 ⑶ 71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的 秩 72. 特征值和特征向量： ⑴ ⃗⃗⃗⃗⃗ 和实数λ，满足Mα⃗⃗⃗⃗ =λα⃗⃗⃗⃗ ，则给定矩阵M，若存在一个非零向量α ⃗⃗⃗⃗⃗ 为矩阵M的属于特征值λ的特征向量。 称λ为矩阵M的特征值，α ⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式的值。 若同阶矩阵𝑓和𝑓的特征值相同，则有𝑓等价于𝑓。 ⑶ 73. 非异矩阵：若𝑓阶矩阵𝑓的行列式不为零，即|𝑓|≠0，则称𝑓为非奇异 矩阵或满秩矩阵， 否则称𝑓为奇异矩阵或降秩矩阵。 74. 相似、合同： ⑴ 相似：?非异矩阵P，使得𝑓𝑓𝑓−1=𝑓，则有𝑓相似于𝑓。 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 ⑵ ⑶ 合同：?非异矩阵P，使得𝑓𝑓𝑓𝑓=𝑓，则有𝑓与𝑓合同。 合同的判断：正、负特征值的个数相等 ⑷ 75. 线性空间： ⑴ 柯西?布涅科夫斯基不等式：设𝑓是欧式空间，𝑓、𝑓∈R，则 (𝑓,𝑓)2≤(𝑓,𝑓)(𝑓,𝑓)，当且仅当𝑓、𝑓线性相关时，等号才成立 ⑵ 𝑓本身与{𝑓}都是𝑓的子空间，称之为𝑓的平凡子空间，而𝑓的其他子空间称为非平凡子空间。 设𝑓1与𝑓2是线性空间𝑓的两个子空间，则dim𝑓1+dim𝑓2=dim(𝑓1+𝑓2)+dim(𝑓1∩𝑓2) ⑶ 76. 施密特正交化法： 对𝑓维欧式空间𝑓的任一组基𝑓1，𝑓2，𝑓3，?，𝑓𝑓， 令𝑓1=𝑓1， 𝑓2,𝑓1)𝑓2=𝑓2−(𝑓1， (𝑓,𝑓) 11(𝑓3,𝑓2)𝑓3,𝑓1)𝑓3=𝑓3−(𝑓−𝑓2， 1(𝑓,𝑓)(𝑓,𝑓) 1122， (𝑓𝑓,𝑓2)(𝑓𝑓,𝑓𝑓−1)𝑓,𝑓1)𝑓𝑓=𝑓𝑓−((𝑓𝑓−𝑓−?−𝑓𝑓−1， 12(𝑓,𝑓)(𝑓)𝑓,𝑓),𝑓1122𝑓−1𝑓−11𝑓𝑓=|𝑓𝑓𝑓，i=1，2，?，𝑓 | 𝑓𝑓𝑓即为𝑓的一组标准正交基。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容