线性代数2011考试题及答案

（ 2011  至 2012 学年 学年 第一学期 第一学期 ）

试卷编号：

课程名称： 线性代数 线性代数B 考试时间： 110 分钟 课程代码： 试卷总分： 100 分

考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 禁止 禁止 禁止

题号 一

得分 评卷 教师

得分 得分

二

三

四

五

六

七

八

九

十 十一 十二

总分

一、填空题（每小题3分，共15分）

2451、行列式157按第二行展开为 ; 按第二行展开为 ;

3122、向量组a1,a2,󰀀as能由线性无关的向量组b1,b2,󰀀bl线性表示，则s l(£,³)； 3、设A为n阶方阵，则4A= ； ；

4、设a1=(1,1,1),a2=(2,3,3),a3=(1,0,-1).则a1+2a2+a3= ；= ；

25、二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x1x2-6x2x3+4x3对应的矩阵为 对应的矩阵为 。 。

TTT得分 得分

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、设A,B均为n阶方阵，则下列说法中正确的是（ 阶方阵，则下列说法中正确的是（ ） ）

(A)AB=0ÛA=0或B=0;(B)AB=BA; (C)(AB)=A2B2; (D)AB=BA 2、设A为n阶矩阵，且R(A)=r(A) 必有(A) 必有r阶非零子式; (B)阶非零子式; (B)所有; (B)所有r阶子式全为零; 阶子式全为零; (C)存在非零的(C)存在非零的r+1阶子式;(D)阶子式;(D)所有;(D)所有r-1阶子式都不为零 阶子式都不为零 3、非齐次线性方程组Ax=B有解的充要条件是（ 有解的充要条件是（ ） ） (A)方程的个数少于未知数的个数(A)方程的个数少于未知数的个数; (B) 方程的个数少于未知数的个数; (B) 矩阵; (B) 矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩; 的秩; (C) Ax=0有无穷多组解; (D) 有无穷多组解; (D) Ax=0只有零解 只有零解

-114、设l=为可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(2A3)有一个特征值为（ 有一个特征值为（ ） ）

2(A)1/4; (B)4; (C)1/8; (D)1 5、向量组a1,a2,󰀀am(m³2)线性相关的充要条件是（ 线性相关的充要条件是（ ） ）

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2

(A) a1,a2,am中至少有一个零向量; (B)中至少有一个零向量; (B)a1,a2,am中至少有两个向量成比例； 中至少有两个向量成比例； (C) a1,a2,am中任何部分组线性相关; 中任何部分组线性相关;

(D) a1,a2,am中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示 个向量线性表示

得分 得分 三、（8分，每小题4分)计算行列式： 计算行列式：

00121、25 2、 2、000347-21400156

得分 得分 四、（8分）设f(x)=x2-5x+3,矩阵A=æ2

çè-3

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-1ö3÷，求f(A)T及f(AT)ø[]

得分 得分

五、（9分，1）求下列矩阵的逆阵 分，1小题4分；2分；2小题5分））求下列矩阵的逆阵 1、A=é27ùëê15ûúé1 2、 2、ê2êë-1-1-123ù4ú -4úû

得分 得分

六、（11分）求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示 关组线性表示

a1=(1,2,3,2),a2=(2,6,9,5),a3=(-1,-1,3,0),a4=(1,3,12,5)

TTTT第 3 页 共 7 页

得分 得分

七、（8分）求下列方程组的通解 分）求下列方程组的通解

ì-2x1+x2+x3=-2 ïíx1-2x2+x3=1

得分 得分

ïîx1+x2-2x3=1

．（6分）已知三阶矩阵A的特征值为1，5，2，分别求4A,A3的特征值. 的特征值. 第 4 页 共 7 页

八

得分 得分 2九、（12分）求一个正交变换使二次型f=2x12+x2化为标准型。 -4x1x2-4x2x3化为标准型。

得分 得分 十、（6分）判断f=x2+3x2212+9x3-2x1x2+4x1x3的正定性的正定性

é2一、（15分）1、-452524nTê12+532-31；2、³；3、4A；4、(6,7,6)；5、ê3/2êë0二、（15分）1分）1、D； 2、 2、A；3、B；4、B；5、D

三、（8分）1.-6分）1.-6…………………1.-6…………………4 …………………4

2.-6. ………………… 2.-6. …………………4 …………………4

四、（8分） 分）

2f(A)=æ2-1öæ2-1Tç5öæ30öæ00öfA è-33÷ø-çè-33÷ø+çè03÷ø=çè00÷ø\\()=0 …………4 ……4 æ2 f(AT)=2ç-3ö÷-5æ2ç-3ö÷+æ30çö÷=æ00çö÷\\f(AT)=0 …………4 ……4 è-13øè-13øè03øè00ø第 5 页 共 7 页

3/20ù0-3ú-34ú。 úû 五、（9分） 分） æ-5/3-7/3ö A-1=ç…………………4 ÷…………………4 1/32/3-èøæ-42-1öB-1=ç4-12÷…………………5 …………………5 ç÷ç3-11÷èøæ1ç2ç六、（11分）A=ç3çè22-11öæ16-13÷ç0÷ç9312÷ç0÷ç505øè00010/3ö10-1/3÷÷015/3÷…………………2…………………2 ÷000ø3 …………………3 R(a1,a2,a3,a4=) …………………3 最大无关组a1,a2,a3，…………………3，…………………3 1253…………………31…………………3 a4=103a-3a+3a七、(8分) 方程组的增广矩阵 方程组的增广矩阵 1-2öæ10-11öæ-211-211÷ç01-10÷ …………3…………3 (Ab)=çç÷ç÷ç1ç÷1-21÷èøè0000ø从而方程组的通解可表示为： 从而方程组的通解可表示为： æx1öæ1öæ1öçx÷cç1÷ç0÷(cR)…………5…………5 ç2÷=ç÷+ç÷Îçx÷ç1÷ç0÷è3øèøèø八、（6分）（每个1分）4A: 4;20;8; 分）4A: 4;20;8; A3:1;125;8. æ2-20ö九、（12分）A=ç-21-2÷………………1 ………………1 ç÷ç0-20÷èø得特征值为：l1=1,l2=4,l3=-2………………3 ………………3 212T………………2 l1=1时，基础解系p1=(-3,-3,3)………………2 221T………………2 l1=2时，基础解系p2=(,-,)………………2 333122T………………2 l1=5时，基础解系p1=(,,)………………2 333正交矩阵：p=(p1p2p3)……………………1 ……………………1 22标准形为：f=y12+4y2………………1 -2y3………………1 第 6 页 共 7 页

十、（8分），

æ1-12öA=ç-130÷ ………………1 ………………1

çè209÷øa11=1>0; ……………… 1 ……………… 1 a11a21a12a22-1………………2 ==2>0;………………2

-1311-12A=-130=6>0………………2 ………………2

209………………2 \\正定………………2

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