2020年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在实数﹣1，﹣A．﹣1
，0，中，最小的实数是（ ）
B．
C．0
D．﹣
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
4．下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
B．a6÷a2＝a3
﹣
﹣
D．（2a+b）2＝4a2+b2
5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
成绩/分 人数/人 A．92分，96分 6．计算A．1
÷3
×84 2
88 4
92 9
96 10
100 5
C．96分，96分
D．96分，100分
B．94分，96分
的结果正确的是（ ） B．
C．5
D．9
7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小
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正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ） A．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2
，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A．m
B．m
C．
m
D．
m
11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）
第2页（共23页）
A．150
B．200
C．355
D．505
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（ ）
A．2（
+1）
B．
+1
C．
﹣1
D．
+1
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝ ． 14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在
上，则∠ADC的度数是 ．
15．计算：（1+
）÷
＝ ．
16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
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三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．
19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；统计图中的a＝ ，b＝ ； （2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
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22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．
23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． （1）试证明DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AC＝6
，求此时DE的长．
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25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标； （3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2020年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在实数﹣1，﹣A．﹣1
【解答】解：∵|﹣∴﹣1＞﹣
，
，0，中，﹣
＜﹣1＜0＜． ．
，0，中，最小的实数是（ ）
B． |＞|﹣1|，
C．0
D．﹣
∴实数﹣1，﹣
故4个实数中最小的实数是：﹣故选：D．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线， 故选：C．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°， ∴∠B＝∠C＝65°， ∵DF∥AB，
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∴∠CDE＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°； 故选：B．
4．下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
B．a6÷a2＝a3
﹣
﹣
D．（2a+b）2＝4a2+b2
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意； B、a6÷a2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；
﹣
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意； D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意． 故选：C．
5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
成绩/分 人数/人 A．92分，96分
84 2
88 4
92 9
96 10
100 5
C．96分，96分
D．96分，100分
B．94分，96分
【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数， 所以全班30名同学的成绩的中位数是：
＝94；
96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96， 所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分． 故选：B． 6．计算A．1
【解答】解：原式＝＝＝＝
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÷3×的结果正确的是（ ） B．
C．5
D．9
＝1． 故选：A．
7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3， ∴AC＝∴sin∠ACH＝故选：D．
8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ） A．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
＝＝，
＝5，
【解答】解：由原方程，得 x2﹣x＝， x2﹣x+
＝+
，
，
（x﹣）2＝故选：A．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC
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＝2，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【解答】解：连接OD，BC， ∵CD⊥AB，OC＝OD， ∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD， ∵OC∥BD， ∴∠COB＝∠OBD， ∴∠BOD＝∠OBD， ∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝60°， ∵DM＝CM， ∴S△OBC＝S△OBD， ∵OC∥DB， ∴S△OBD＝S△CBD， ∴S△OBC＝S△DBC， ∴图中阴影部分的面积＝故选：B．
＝2π，
10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
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A．m
B．m
C．
m ，
D．
m
【解答】解：设底面半径为rm，则2πr＝解得：r＝， 所以其高为：故选：C．
＝
m，
11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）
A．150
B．200
C．355
D．505
【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块， 当n＝50时，7n+5＝350+5＝355． 故选：C．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（ ）
第11页（共23页）
A．2（+1） B．+1 C．﹣1 D．+1
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°， ∴BC＝2
，AC＝4，
∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上， ∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2∴B′C＝2，
延长C′B′交BC于F， ∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°， ∵∠C＝30°，
∴∠CFB′＝60°，B′F＝∵B′D＝2， ∴DF＝2+
，
B′C＝
， ，
过D作DE⊥BC于E， ∴DE＝故选：D．
DF＝
×（2+
）＝
+1，
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝ （x﹣2）（x﹣1） ． 【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）． 故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在
上，则∠ADC的度数是 60° ．
第12页（共23页）
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵四边形OABC为菱形， ∴∠B＝∠AOC， ∴∠D+∠AOC＝180°， ∵∠AOC＝2∠D， ∴3∠D＝180°， ∴∠ADC＝60°， 故答案为60°． 15．计算：（1+
）÷
＝ ﹣a ． •a（a﹣1）
【解答】解：原式＝＝
•a（a﹣1）
＝﹣a． 故答案为：﹣a．
16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 【解答】解：画树状图如下：
．
由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果， 所以抽到同一类书籍的概率为＝，
第13页（共23页）
故答案为：．
17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 4+2
．
【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1， ∴AC∥x轴， ∴∠BAC＝45°， ∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠C＝90°， ∵B（3，3） ∴C（3，1）， ∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E， 连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE， 过E作EF⊥AC交CA的延长线于F， 则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4， ∴AE＝
＝
＝2
， ，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2故答案为：4+2
．
第14页（共23页）
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【解答】解：，
解不等式①，x＜3， 解不等式②，得x≥﹣，
∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3， 它的所有整数解为0，1，2．
19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 120 ；统计图中的a＝ 12 ，b＝ 36 ； （2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；
第15页（共23页）
a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人）， 故答案为：120，12，36；
（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人）， 补全条形统计图如图所示：
（3）2500×
＝625（人），
答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．
20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用． 【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：
，
解这个方程，得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意， 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则： w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000， ∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
第16页（共23页）
∴w随t的增大而减小， 又∵t≤3500，
∴当t＝3500棵时，w最小，
此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000， 答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE， ∵E为BC的中点， ∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB＝CF． ∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形， ∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．
第17页（共23页）
【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6， EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°， EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15， 在Rt△DFN中， ∵∠DNF＝45°， ∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20， 在Rt△BEN中， ∵tan∠BNE＝
，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6， ∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30． 答：居民楼AB的高度约为30米．
23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
第18页（共23页）
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6， 故反比例函数表达式为：y＝﹣，
将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；
（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0）， 分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，
，解得
，
则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． （1）试证明DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AC＝6
，求此时DE的长．
PE＝PE＝18，解得：PE＝4，
第19页（共23页）
【解答】（1）证明：连接OD、BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝BC， ∴D为AC中点， ∵OA＝OB， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD为半径， ∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线， ∴AD＝CD＝
＝3
，
∵O的半径为5， ∴AB＝6， ∴BD＝∵AB＝AC， ∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°， ∴△CDE∽△ABD， ∴
，即
＝
，
＝
＝
，
∴DE＝3．
第20页（共23页）
25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标； （3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4， 得：解得：
，
，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n， 将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n， 得：
，
第21页（共23页）
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4； （2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴， ∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形， ∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+∴点D的坐标为：（，
），
，
将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝， ∴点E的坐标为：（，）， ∴DE＝
﹣＝
，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4）， ∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t， 由DE＝PF得：﹣t2+4t＝
，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝， 当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝∴点P的坐标为（，（3）存在，理由如下： 如图2所示：
由（2）得：PF∥DE， ∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部， ∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE， ∴
＝
，
）；
，
第22页（共23页）
∵C（0，4）、E（，）， ∴CE＝
由（2）得：DE＝∴CF＝∴
＝
，
＝
，
，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
＝
t，
∵t≠0， ∴
（﹣t+4）＝3，
，
）2+3×
+4＝
，
解得：t＝当t＝
时，﹣t2+3t+4＝﹣（
，
）．
∴点P的坐标为：（
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