题型一 直线与圆的位置关系
例 1 [2017·余杭区一模]在平面直角坐标系xOy中，经过点(sin45°，cos30°)的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是( A ) A．相交 C．相离
B．相切
D．以上三者都有可能
【解析】 如答图，设直线经过的点为A，
例1答图
52232
＋＝2，∵圆的半径为2，∴22
∵点A的坐标为(sin45°，cos30°)，∴OA＝OA＜2，∴点A在圆内，∴直线和圆一定相交．
变式跟进
1．[2017·市北区二模]⊙O的半径r＝5 cm，直线l到圆心O的距离d＝4，则l与⊙O的位置关系是( C )
A．相离 B．相切 C．相交
D．重合
【解析】 ∵⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为4 cm，5＞4，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
2．[2017·阳谷一模]已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( A ) A．相离 C．相交
B．相切 D．不能确定
122
【解析】 如答图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝AB－BD2＝6－2＝42＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离．
2
2
第2题答图 题型二 切线的性质
例 2 [2016·天津]在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图1①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
图1
解： (1)如答图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，
例2答图
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°， ∴∠COB＝2∠CAB＝54°，
在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°， ∴∠P＝90°－∠COP＝36°； (2)∵E为AC的中点， ∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°， 在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°， 得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，
1
∴∠ACD＝∠AOD＝40°，
2∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.
【点悟】 已知切线，常常连结切点和圆心作半径．
变式跟进
3．已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连结AB，
AO.
(1)如图2①，求证：∠OAC＝∠DAB；
(2)如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
图2
解：(1)证明：∵AD是⊙O的切线，切点为A， ∴DA⊥AO，∴∠DAO＝90°， ∴∠DAB＋∠BAO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， ∴∠BAO＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠DAB； (2)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，
∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∴∠OAC＝∠D， ∵∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D， ∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠D， ∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C， ∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，
∴2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°.
题型三 切线的判定
例 3 如图3，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连结OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦
DF⊥AB于点G.
(1)求证：点E是弧BD的中点； (2)求证：CD是⊙O的切线．
图3 例3答图
证明：(1)如答图，连结OD，∵AD∥OC， ∴∠1＝∠A，∠2＝∠ODA，∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，∴∠1＝∠2， ︵︵︵
∴BE＝DE，即点E是BD的中点；
OD＝OB，
(2)在△OCD和△OCB中，∠2＝∠1，
OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
【点悟】 证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．
变式跟进
4．如图4，AB是⊙O的直径，C，D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∠A＝60°. (1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．
图4 第4题答图
解：(1)证明：连结OD，如答图所示． ∵∠A＝60°，OA＝OD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵CD∥AB，∴∠ODC＝60°， ∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°＝∠ADO，∴OC∥AE， ∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线； (2)四边形AOCD是菱形．证明： 由(1)得△OAD和△COD是等边三角形， ∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四边形AOCD是菱形．
题型四 切线长定理及三角形的内切圆
例 4 [2017·邹平模拟]Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为( B )
A．15 B．12 C．13 D．14
【解析】如答图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，
E，F，∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD＝AE，BE＝BF，∴∠ODC＝∠OFC＝∠ACB＝90°，∵OD＝OF，∴四边形ODCF是正方形，∴CD＝OD＝OF＝CF＝1，∵AD＝AE，BF＝BE，且AE＋BE＝AB＝5，∴AD＋BF＝5，∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝AD＋CD＋CF＋BF＋AB＝5＋1＋1＋5＝12.
例4答图
1
【点悟】 (1)求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法：S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为
2△ABC的内切圆半径，a，b，c为△ABC的三条边的长度；(2)已知直角三角形的三边长a，b，
a＋b－cc(其中c为斜边)，则内切圆半径r＝；(3)解三角形与圆相切的问题时，常利用切线
2
长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长．
变式跟进
5．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，如图5所示，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，则∠ICD的度数是( C ) A．50° B．55° C．60°
D．65°
图5
【解析】 ∵△ABC中，∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵I11
是△ABC的内心，∴∠BCD＝∠BAD＝∠BAC＝35°，∠BCI＝∠ACB＝25°，∴∠BCD＋∠BCI22＝35°＋25°＝60°，即∠ICD＝60°.
6．如图6，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度数； (2)当OA＝2时，求AB的长．
图6 第6题答图
解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AP＝BP，∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°；
(2)如答图，连结OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4， 由勾股定理得AP＝23，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形， ∴AB＝AP＝23.
过关训练
1．同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是30 cm，手柄长40 cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50 cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( C ) A．相离 C．相切
B．相交 D．不能确定
【解析】 根据题意画出图形，如答图所示．
第1题答图
由已知得BC＝30 cm，AC＝40 cm，AB＝50 cm，∵BC＋AC＝30＋40＝900＋1 600＝2 500，
2
2
2
2
AB2＝502＝2 500，
∴BC＋AC＝AB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC， ∴AC为圆B的切线，
即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．
2．[2017·临沂模拟]如图1，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( C )
2
2
2
图1
A.2 B.3 C．2
D．3
【解析】 在Rt△BCM中，tan60°＝3＝
MB23
，得到BC＝＝2，∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，BC3
∴BC为⊙O的切线，又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.
3．[2017·西湖区校级二模]如图2，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a与b，如图①；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，如图②所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图④所示．这四种说法中正确的个数有( D )
图2
A．1 B．2 C．3
D．4
【解析】 (1)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，可知正确；(3)根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；(4)此作法正确．所以正确的有4个．
4．[2017·金乡三模]已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O半径为的是( A )
a＋b－c2
A B C D 【解析】 得出＝B．设AB切⊙O于F，圆的半径是y，连结OF，则△BCA∽△OFA，
OFAOab，代入求出y＝；C.设AC，BC分别切⊙O于E，D，连结OE，OD，得到∠OECBCABa＋c＝∠ODC＝∠C＝90°，证出四边形OECD是正方形，设⊙O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出＝，代入即可求出r＝
OEAEBDODab；D.设⊙O的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于a＋b2
b＋c－aF，同样得到正方形OECD，根据a＋x＝c＋b－x，求出x＝.
5．[2017·溧水区一模]如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB，
BC，CA分别相切于点D，E，F，则∠DEF的度数为__75°__．
图3
【解析】 如答图，连结DO，FO，
第5题答图
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°，∴∠DEF的度数为75°.
6．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E.
(1)求证：点E是边BC的中点；
(2)当∠B＝__45__°时，四边形ODEC是正方形．
图4 第6题答图
解：(1)证明：如答图，连结DO， ∵∠ACB＝90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线．
又∵ED也为⊙O的切线，∴EC＝ED， 又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°， ∴∠BDE＋∠A＝90°，又∵∠B＋∠A＝90°， ∴∠BDE＝∠B，∴EB＝ED， ∴EB＝EC，即点E是边BC的中点； (2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°， ∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°， ∴∠AOD＝90°，∴∠DOC＝90°， ∵∠ODE＝90°，∴四边形ODEC是矩形， ∵OD＝OC，∴矩形ODEC是正方形．
7．如图5，⊙O的直径AB＝6，∠ABC＝30°，BC＝63，D是线段BC的中点． (1)试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．
图5 第7题答图
解：(1)点D与⊙O的位置关系是D在⊙O上， 理由：设BC交⊙O于F，如答图，连结AF， ∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°， 1
∵AB＝6，∠ABC＝30°，∴AF＝AB＝3，
2由勾股定理得BF＝33，
∵BC＝63，D为BC的中点，∴BD＝33， 即D，F互相重合，∴D在⊙O上；
(2)证明：连结OD，∵D为BC的中点，AO＝BO， ∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∵OD为半径，∴直线DE是⊙O的切线．
8．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D.
(1)若PA＝6，求△PCD的周长； (2)若∠P＝50°，求∠DOC的大小．
图6 第8题答图
解：(1)如答图，连结OE，∵PA，PB与⊙O相切， ∴PA＝PB＝6，同理可得AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PA＋PB＝12；
(2)∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°，
OA＝OE，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
OC＝OC，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)，
∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD， 1
∴∠DOC＝∠AOB＝65°.
2
9．[2017·曲靖模拟]如图7，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)若CD＝3，AC＝35，求⊙O的半径长．
图7 第9题答图
解：(1)证明：如答图，连结OC， ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO， ∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠BAD； (2)过点O作OE⊥AC于E， ∵CD＝3，AC＝35，
在Rt△ADC中，AD＝AC－CD＝6， ∵OE⊥AC， 135∴AE＝AC＝，
22
∵∠CAO＝∠DAC，∠AEO＝∠ADC＝90°， ∴△AEO∽△ADC，
2
2
ADAC63515∴＝，即＝，解得AO＝， AEAO435AO2
15
∴⊙O的半径为. 4
10．[2017·广安模拟]如图8，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点
D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E，F.
(1)求证：FE⊥AB；
(2)当AE＝6，sinF＝3
5
时，求EB的长．
图8 解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB， ∴∠ODF＝∠AEF，∵EF与⊙O相切， ∴OD⊥EF，∴EF⊥AB； (2)设OA＝OD＝OC＝r， 由(1)知，OD∥AB，OD⊥EF，
在Rt△AEF中，sinF＝AEAF＝3
5
，AE＝6，
∴AF＝10，∵OD∥AB， ∴△ODF∽△AEF，∴OF＝ODAFAE， ∴
10－r10＝r6，解得r＝15
4
， ∴AB＝AC＝2r＝15
2，
∴EB＝AB－AE＝153
2－6＝2
.
第10题答图
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