云和县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

云和县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个

f(x2),(x2)则f(1)的值为（ ） x(x2)2,11 A．8 B． C．2 D．

282． 若f(x)3． 下列说法正确的是（ ） A．类比推理是由特殊到一般的推理 B．演绎推理是特殊到一般的推理 C．归纳推理是个别到一般的推理 D．合情推理可以作为证明的步骤 A．命题p∨q是假命题

4． 已知命题p：“∀x∈R，ex＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（ ）

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题

5． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（ ） A．38

B．20

C．10

D．9

6． 给出下列两个结论：

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；

则判断正确的是（ ） A．①对②错 A．S10 B．S9

B．①错②对 C．S8

D．S7

），则f（2）的值为（ ） C．①②都对

D．①②都错

7． 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ）

8． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

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精选高中模拟试卷

9． 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)//c，则（ ） A．

11 B． C．1 D．2 42C．﹣1+i

D．1﹣i

10．是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ） A．1+i B．﹣1﹣i

11．已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间 x(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q) B．pq C．(p)q D．(p)q 12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ） A．10米

B．100米

C．30米

D．20米

二、填空题

113．已知函数fxx3mx,gxlnx.mina,b表示a,b中的最小值，若函数

4hxminfx,gxx0恰有三个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

14．已知三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，

AC3，BCCDBD23，则球O的表面积为 . 15．命题“若x1，则x24x21”的否命题为 32 ．

16．设函数f(x)x(1a)xax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f(x1)f(x2)0 恒成立，则实数的取值范围是 ．

17．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．

18．在△ABC中，已知

=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=x3+ax+2．

（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；

x2

（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe+m[f′（x）﹣a]≥mx恒成立，求实数m的取值范围．

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20．已知函数f（x）=x﹣1+

（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

21．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

2

坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．

（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．

22．设函数f（x）=lnx﹣ax+

﹣1．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

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（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；

2

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x﹣2bx﹣

，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）

成立，求实数b的取值范围．

23．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

24．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对

问题的概率分别为

．

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（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

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云和县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N， 又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3， 即M={x|﹣1≤x≤3}， 在此范围内的奇数有1和3．

所以集合M∩N={1，3}共有2个元素， 故选B．

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。

3． 【答案】C

【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤， 故选C．

31，故选B。 8【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

4． 【答案】 C

x

【解析】解：命题p：“∀x∈R，e＞0”，是真命题，

2

命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x0”，即

﹣x0+2＜0，

即： +＜0，显然是假命题，

∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假， 故选：C．

【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，

2

则am﹣1+am+1﹣am=am（2﹣am）=0，

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解得：am=0或am=2， 若am等于0，显然S2m﹣1=

=（2m﹣1）am=38不成立，故有am=2， ∴S2m﹣1=（2m﹣1）am=4m﹣2=38， 解得m=10． 故选C

6． 【答案】C

【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．

②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C．

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．

7． 【答案】C

【解析】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴

=8（a8+a9）＜0，

=17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0， ∴公差d＞0． ∴Sn中最小的是S8． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

故选：A．

9． 【答案】B 【解析】

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试题分析：因为a(1,2)，b(1,0)，所以(ab)1,2，又因为(ab)//c，所以

4160,10．【答案】D

1，故选B. 2考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 【解析】解：由于，（z﹣又z+

=2 ②

由①②解得z=1﹣i 故选D．

11．【答案】A 【解析】

试题分析：命题p：APB）i=2，可得z﹣

=﹣2i ①

2,则以AB为直径的圆必与圆x3y11有公共点,所以

22n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx4f41log30,f34xlog3，x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,43内有零点，因此,命题是假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．

考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x12．【答案】C

【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，

设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米 Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

AB=30

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米

米，∠CBD=30°，

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去）

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故选：C

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．

二、填空题

5313．【答案】,

44【解析】

2试题分析：fx3xm，因为g10，所以要使hxminfx,gxx0恰有三个零点，须满足

f10,f(5m153m)0,m0，解得m,m 343244考点：函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

14．【答案】16

△ABC【解析】如图所示，∵AB2AC2BC2，∴CAB为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC的中点O，和△DBC所在的平面互相垂直，则球心O在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为R2，球的表面积为S4πR216π

15．【答案】若x1，则x24x21 【解析】

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试题分析：若x1，则x24x21，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题. 16．【答案】(,1]【解析】

3322试题分析：因为f(x1)f(x2)0,故得不等式x1x21ax1x2ax1x20,即

1,2 2xxx1x21223x1x21ax1x22x1x2ax1x20,由于

f'x3x221axa,令f'x0得方程3x221axa0,因4a2a10 , 故

22xx1a12132a12a5a20a2，，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或1a2xxa12311因此, 当a1或a2时, 不等式fx1fx20成立,故答案为(,1],2.

22考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数fx的到函数，令f'x0考虑判别式大于零，根据韦达定理求出数的取值范围.111]

17．【答案】 5﹣4 ．

【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3， 即：故答案为：5

﹣4．

﹣4=5

﹣4．

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

x1x2,x1x2的值，代入不等式f(x1)f(x2)0，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实

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【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

18．【答案】

【解析】解：∵b=2a， ∴

∴cosB=． 故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

=

=．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

．

三、解答题

19．【答案】

2

【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x+a，

即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，

则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1）， 令x=0，得y=为定值；

x2

（Ⅱ）解：由xe+m[f′（x）﹣a]≥mx对x≥0时恒成立， x22

得xe+mx﹣mx≥0对x≥0时恒成立， x2

即e+mx﹣m≥0对x≥0时恒成立， x2

则（e+mx﹣m）min≥0，

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x2

记g（x）=e+mx﹣m，

g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，

若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴

则有﹣1≤m≤1，

若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数， ∴

∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，

令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1）， φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，

由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意． 综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．

【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+

，得f′（x）=1﹣

，

，

，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣

=0，解得a=e． ，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+

，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+

，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．

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假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=所以k的最大值为1．

21．【答案】

222

【解析】（1）∵ρsinθ=4cosθ，∴ρsinθ=4ρcosθ，…

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，

2

∴曲线C的直角坐标方程为y=4x …

（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为

22

代入 y=4x 得t﹣6

（t为参数）．…

t﹣14=0…

设点A，B对应的参数分别t1，t2 ∴t1t2=﹣14… ∴|PA|•|PB|=14．…

22．【答案】

（2分） ，

【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分） （Ⅱ）

=

（6分）

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2 故当

时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.

时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

（9分）

（Ⅲ）当

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=

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若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值又

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，②当0≤b≤1时，

，

（12分）

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，

此时b＞1（11分） 综上，b的取值范围是

，由

（*） （10分）

，x∈[0，1]

与（*）矛盾 及0≤b≤1得，

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在 （0，e]上的最小值．

23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ. 试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∴AQ//CD，且AQ∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

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考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 24．【答案】

【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列 【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为

， ，

分布列为：

．

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（Ⅱ）设先回答问题

，再回答问题

， ， ，

得分为随机变量，则的可能取值为．

分布列为：

．

应先回答所得分的期望值较高．

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