透析三种力的特点,解决水平面内匀速圆周运动的临界问题

第12点 透析三种力的特点，解决水平面内匀速圆周运动的

临界问题

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列方程求解．通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：

(1)与绳的弹力有关的临界问题

此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)． (2)与支持面弹力有关的临界问题

此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)． (3)因静摩擦力而产生的临界问题

此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)．

图1

对点例题 如图1所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看作质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动． (1)当v1＝ (2)当v2＝

1

gL时，求绳对物体的拉力； 6

3gL时，求绳对物体的拉力． 2

解题指导 分解物体受力，进行正交分解． v2

水平方向：Tsin θ－Ncos θ＝m①

Lsin θ竖直方向：Tcos θ＋Nsin θ＝mg②

v2cos θ

联立①②解得N＝mgsin θ－m. Lsin θ

由上式可看出当θ、L、m一定时，线速度v越大，支持力N越小，当v满足一定条件，v20cos θ

设v＝v0时能使N＝0，此时锥面与物体间恰好无相互作用力，即mgsin θ－m＝0，

Lsin θ即v0＝

gLsin2 θ时，N＝0. cos θ

3gL

. 6

将θ＝30°代入上式得v0＝ (1)当v1＝

1gLmv2311

T1＝mgcos θ＋＝mg＋mg≈1.03mg.

L26(2)当v2＝

3gL>v0时，物体已离开锥面，仍绕轴线做水平匀速圆周运动，设此时绳与2

轴线间的夹角为α(α>θ)，物体仅受重力和拉力作用，这时 v22

T2sin α＝m③

Lsin αT2cos α＝mg④ 1

联立③④解得cos α＝.

2由④得T2＝mg/cos α＝2mg. 答案 (1)1.03mg (2)2mg

图2

如图2所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，与A相连的绳长L＝2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°和45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？(g取10 m/s2) 答案 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s

解析 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．

(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝T1sin 30°＝mω2 1Lsin 30°Fy＝T1cos 30°－mg＝0 联立解得ω1≈2.40 rad/s

(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝T2sin 45°＝mω2 2Lsin 30°Fy＝T2cos 45°－mg＝0 联立解得ω2≈3.16 rad/s

可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足 2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s