1两条直线的交点坐标

3.3.1 两条直线的交点坐标

一、教学设计

1.教学目标分析

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．“两条直线的交点坐标”安排在人教版必修2“平面解析几何初步”第三章第三节，是平面解析几何重要的基础知识．

《数学课程标准》要求在平面解析几何初步的教学中，应始终贯穿“数形结合”的思想方法，注重培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，发展独立获取数学知识的能力．

本节课是在学习了二元一次方程组的解法、直线的方程等知识的基础上，用代数方法解决直线的有关问题．力图围绕两直线一般方程系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置关系，求出两直线的交点坐标．根据以上分析，我们确定如下教学目标：

(1) 通过对两直线一般方程系数的分析，发现直线的方程与位置关系之间的联系，熟练掌握联立一元二次方程组求两直线的交点坐标；

(2) 自主探究二元一次方程组的解与两条直线的位置关系，体现坐标法——几何问题代数化的过程，培养发现、研究、解决问题的能力；

(3) 在自主探究，合作交流，发现知识，解决问题的过程中，体验成功的快乐，享受创造的愉悦．培养由特殊到一般，由具体到抽象的辩证思想，并进一步升华勇于探索，善于合作的品质．

２.教学内容解析

“两条直线的交点坐标”具有承前启后的重要作用，学生能够初步掌握坐标法，把几何问题转化为代数问题研究．为后面直线与圆的交点、曲线的交点乃至整个解析几何的学习提供基本的研究方法．根据以上分析，我们确定如下教学重点：

（1）已知两相交直线方程求交点坐标．采用坐标法——几何问题代数化培养学生提出、分析、解决问题的能力；

（2）根据直线的方程判断两直线的位置关系．通过自主探究、合作交流，使学生充分体验知识的形成运用过程，培养由特殊到一般，由具体到抽象的思维能力．

３.教学问题诊断

本节课从知识内容来说并不是很难，在教师的启发引导下，学生能够自主探究掌握两相交直线方程的交点坐标求法，但对坐标法的认识还比较模糊，对二元一次方程组的系数判定位置关系，以及运动变化相互联系的观点只是停留在表面．根据以上分析，我们确定如下教学难点:

（1）方程组的解与两直线位置关系的转化； （2）过两相交直线交点的直线系方程．

４.教学对策分析

本节内容安排1课时，因是平面解析几何的基础知识，采用教师“启发引导”，学生“自主探究”的方式，学生乐参与、可接受、能探究．使用多媒体课件辅助教学（采用的软件有几何画板等）能提高课堂效率，激发学习兴趣．

５.教学基本流程

创设情境，导入新课 即时训练，巩固新知 质疑解惑，剖析概念 自主探究，深化理解 方法探究，深化拓展 总结反思，提高认知 ６.教学过程设计 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 情景交融 点燃学生的求知欲 体现数形结合思想，将几何问题代数化． 提出问题，学生自主探究，教师启发引导，体现师生共同的、积极的情感体验． 2010年11月12日晚，第十六届亚洲运动会在 提炼情景形创设情境 广州隆重开幕．在屏幕上展示广州塔的视频图片资成问题，寻找直线导入新课 料，引导学生观察从塔顶发出的几束光线． 之间的位置关系． 提出四个探究问题． 问题一：已知两直线 l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，(A1B1C10,A2B2C20)，如何判断这两条直线的课堂设问：怎样由直线的方程关系？ 求出它们的交点问题二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？坐标？ 交点坐标与二元一次方程组有什么关系？ 问题三：解下列方程组 3x4y20,① (Ⅰ) ， 2xy20,② 质疑解惑 2x6y30，①剖析概念  11(Ⅱ)， yx，②32 2x6y+１0，① (Ⅲ)． 11 yx，②32 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定 两直线的位置关系？ 师：提出问题 问题四：当变化时，方程生：思考讨论 生成结论 3x4y2(2xy2)0表示什么图形，图 形有什么特点？求出图形的交点坐标．

自主探究 深化理解 学生探讨完考察几何元素及关系 代数表示 成，体会知识之间学生已有相互联系与拓展． 认知水平Aa,b 点A ——文字l:AxByC0 直线l 语言与符A的坐标满足方程点A在直线l上 号语言的AaBbC0 转化，用代 点A的坐标是方程组 数的语言直线l1与l2交点A AxByC0 111的解． 描述几何 A2xB2yC20 元素及其问题二：设两条直线的方程是 关系． l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20． 学生进行分 组讨论，教师引导 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条 学生归纳出： 直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共直线相交、交 解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点坐标、二元一次 方程组的解三者 点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直的相互转化关系． AxByC011线方程所组成的方程组1是否 A2xB2yC20 学生通过有唯一解． 动手操作，1°若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交． 动眼观察， 动脑思考，2°若二元一次方程组无解，则l1与l2平行． 层层递进， 学生亲身3°若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合． 引导学生观经历了知察三组方程对应识的形成AxByC0,111问题三：一般地，方程组，有 系数比的特点： 和发展过AxByC022234程，以问题(Ⅰ); A1B1为驱动，使21l1,l2相交,唯一解 A2B2学生对知6 (Ⅱ)2＝＝3 A1B1C1l1,l2重合,识的探究无穷多解 =111ABC222由表及里，32A1B1C1无解 l,l平行.12 61逐步深入．A2B2C22(Ⅲ)＝≠ 111 (代数问题) (几何问题) 32 问题四： 对问题三中(Ⅰ)作如下分析： ①－4②即3x4y2－42xy2=0． 化简整理得－5x10，∴x－2，即直线 l1:3x4y20, l2:2xy20相交，交点2,2． 问题一：教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空．

自主探究 深化理解 分析方程组(Ⅰ)求交点过程可知：直线l1与l2交点可通过3x4y24(2xy2)0求解． 课堂设问：经过l1与l2交点的直线有无数条，能将这些直线的方由此我们可以找到过两相交直线l1与l2交点的程统一表示吗？ 无数条直线的表示形式： 3x4y2(2xy2)0． 1°可以用几何画板作图，当取不同值时，通 过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论， 同时发现这些直线的共同特点是经过同一点． 2°找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出 结论—— 方程表示经过两条直线 l1:3x4y20与l2:2xy20的交点的教师演示 直线的集合．如图1． 几何画板 图1 例1．求下列两条直线的交点： l1:3x4y20, l2:2xy20． x2,3x4y20,解:解方程组得 y2.2xy20, 即时训练所以，l1与l2的交点是M2,2．如图2． 巩固新知 变式训练： 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 的方程： l1:x2y20，l2:2xy20．

师生互动 规范作图 体会y 数与形的8 4 结合，感受2 代数与几 何奇异美。 –5 5 x –2 –4 图２ 反映学生具体到抽象、简单到复杂、由浅入深的认知过程． 多媒体课件内容丰富简洁，几何画板直观易懂，充分体现直线系方程的变化特点．

即时训练巩固新知 体验教学 感受成功 所以l1与l2的交点是2,2． 设经过原点的直线方程为ykx，把点2,2 代入方程,得k1， 所以所求直线方程为yx． 例２．判断下列各对直线的位置关系．如果相 交，求出交点的坐标． 本题 为求直线(1) l1:xy0，l23x3y100． 交点与求 直线方程(2) l1:3xy40，l2:6x2y10． 的综合，复 习巩固两(3) l1:3x4y50，l2:6x8y100． 点式求解 直线方程xy0,解：(1) 解方程组 问题． 3x3y100, 5x,55． 3所以l1与l2相交,交点是M得,33 y5.3 3xy40,①(2) 解方程组， 6x2y10,② ①2－②得90，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点, l1与l2平行． 3x4y50,①(3)解方程组， 6x8y100,② ①2得6x8y100． 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示 同一条直线，l1与l2重合． 巩固变式训练：判定下列各对直线的位置关系，如 二元一次果相交，求出交点坐标． 举一反三， 方程组与提高学习自信心． 两直线位(1) l1:7x2y10，l214x4y20． 置关系的 联系． (2) l1:32xy7，l2:x32y60． x2y20,x2,解：解方程组得 y2.2xy20, 

即时训练巩固新知 解: (1)重合；(2)平行；(3)相交，坐标是2,-1． 例３．求过点A1,4且与直线 2x3y50平行的直线方程． (3) l1:3x5y10，l1:4x3y5． 解法一：∵直线2x3y50的斜率为 解法一 求直线方程的方法是通法，必须掌握， 解法二 是常常采用的解题技巧． “学数学而不练，犹如入宝山而空返”，训练学生解题格式的规范清楚，语言表2，3一般地，直线2∴所求直线斜率为． 3又直线过点A1,4，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x3y100． 解法二：设与直线2x3y50平行的直线l的方程为2x3ym0， AxByC0中系数A,B确定直线的斜率．与直线AxByC0平行的直线方程可设AxBym0，其中m待定． ∵直线l经过点A1,4， ∴213(4)m0，解之，得m10． ∴所求直线方程为2x3y100． 变式训练一：求与直线2x3y50平行， 5且在两坐标轴上截距之和是的直线方程． 6 答案：2x3y10． 例子与变式变式训练二：求经过两直线2x3y30和训练即时巩固新知，即时点评，反xy20的交点且与直线3xy10平行的馈教学效果． 直线l的方程． 2x3y30,解法一:由方程组 xy20, 3x, 5∴交点为(3,7)． 解得55 y7.5

即时训练巩固新知 ∵l与直线3xy10平行,∴所求方程为y733x，即15x5y160． 55解法二：设直线l方程为2x3y3(xy2)0． 变形为(2)x(3)y230． ∵直线l与直线3xy10平行， ∴2323，解得11． 3112 述能力． 则直线l的方程为15x5y160． 方法探究深化拓展 总结反思 提高认知 l1:axy10，l2xya0相交于一点．求 证：交点不可能在第一象限及x轴上． a1axy10,x,a1 解：解方程组得xya0,ya21,  a1拓展问题：已知a为实数，两直线 由易到难，层层师生互动分递进的教2a1析，先通过联立方学，更能激0，则a1． 若a1程组将交点坐标发学生的a1解出，再判断交点学习欲望，当a1时，此时交点在第二象限内． 0，横、纵坐标范围． 同时又更a1 好的尊重2又因为a为任意实数时，都有a110， 学生的个 体差异． 2a1 0．故因为a1（否则两直线平行，无交点）， a1 所以交点不可能在x轴上.所以交点 a1a21 (,)不可能在第一象限及x轴上． a1a1本节课通过讨论两直线方程联立二元一次方程组来研究两直线的位置关系，得到方程系数比的关系与直线位置关系的联系．并探究了直线系方程． 培养学生的数形结合思想、分类讨论思想和化归转化思想．由“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点． 师生一起归纳整理本节课内容． 让学生养成及时总结，提高学生的数学语言表达能力．

第109页习题3.3 A组1、2、5． 课后作业课后探究问题：两条直线交点个数判断位置关拓展升华 系与用直线斜率、截距判定两条直线位置关系之间联系． 板书设计 自我检测自我评价 深化拓展 两条直线的交点坐标 问题一 问题二 问题三 问题四 1．点、直线之间位置关系 例1 例3 2．两直线的交点坐标求法 变式训练 变式训练一 3. 方程组与两直线位置关系的联系 例2 变式训练二 4．归纳小结 变式训练 拓展问题 二、教学反思

通过本节课的教学实践，注意到在教学过程中，课堂上的真正主人是学生，一堂好课，师生

一定会有共同的、积极的情感体验．本节采取学生“自主探究”，教师“启发引导”的方式，学生参与度高，教学中尊重学生的个体差异，让学生发表自己的看法，从而调动、活跃学生的思维，提高学生学习数学的自信心．

成功之处：一是突出学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建立；二是积极调动学生自主探究、合作交流，使学生充分体验知识的形成运用过程；三是多媒体课件的内容丰富简洁，几何画板直观易懂，充分体现直线系方程的变化特点．

改进之处：由于时间关系，没有突出强调两条直线交点个数判断位置关系与用直线斜率、截距判定两条直线位置关系的一致性．若时间充裕，可以考虑在例3及其变式训练中增加此类问题加以说明．

三、教学评价

本节课采取教师“启发引导”，学生“自主探究”的教学方式，紧紧围绕两条直线交点坐标问题展开探究，采用创设情境——质疑解惑——自主探究——即时巩固——深化拓展——提高认知的教学流程，在有效地抓住重点，突破难点，体现学生认知过程的同时，体现了如下特色：

特色一：整节课六个教学环节过渡自然，层层深入！充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入，变式训练又进一步激发学生兴趣，带领学生进入更进一步的思考和研究之中，达到知识纵横的延伸．

特色二：本节课在在课堂教学中渗透学法指导，充分的体现师生角色的转变，即以学生为主体教师为主导做好“四导”即导思——引导学生活学，导法——引导学生会学，导成——引导学生善学，导趣——引导学生乐学．

特色三：本节课学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会解题规范的简洁美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美．