初三上学期圆知识点和典型基础例题复习

第三章：圆

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分

弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）

如图所示，以A，B为端点的弧记做AB，读作：“圆弧AB”或者“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙

O的一条直径；

【典型例题】

例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．

A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

例2．点P到⊙O上的最近距离为3cm，最远距离为5cm，则⊙O的半径为 cm． 二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； 2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

ArBdCdOrdd=rrd

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四、圆与圆的位置关系

考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合

外离（图1） 无交点  dRr； 外切（图2） 有一个交点  dRr； 相交（图3） 有两个交点  RrdRr； 内切（图4） 有一个交点  dRr； 内含（图5） 无交点  dRr；

dR图1rRdr图2dR图3r

d

图4RrdrR图5例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）

A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或4

2、若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R＋d－r＝2Rd，则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交

3. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是_______________ 。

【变式训练】

1、⊙O1 和⊙O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含

2、如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

3、已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x－5x＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切

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2

2

2

2

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二、填空题

4. ⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________; ⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________

5.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距 d的取值范围是_____。

五、垂径定理

考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决． A垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

CBOED 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

CDOAB 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

例1、如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

例2、如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上异于A、B的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）

A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5

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O A M B .

例3、如图，在⊙O中，有折线OABC，其中OA8，AB12，AB60，则弦BC的长为（ ）。

Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20

【变式训练】 1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有

圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸

ACEOFB

2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．

3、如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．

4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )

A．2cm

C．2cm或14cm

B．14cm

D．10cm或20cm

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六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

OEFDAC只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧DE 七、圆周角定理

CB1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴AOB2ACB

2、圆周角定理的推论：

DCBOA推论1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

BOAC ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径）；

B即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

例1、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°

则∠BOC的大小是（ ）

○ ○○ ○

A．60B．45 C．30D．15

OA

○

2、如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60 ，AC＝3， 则△ABC的周长是____________.

【变式训练】

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1.如图，在⊙O中，弦AB=1.8m，圆周角∠ACB=30○

，

则 ⊙O的直径等于_________cm．

2.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD

则图中和∠1相等的角有______

3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（

4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离．

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，

CD ∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180 DAEC

B例1.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，

AE则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°

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）

.

2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ） A．30° B．60° C．90° D．120°

九、切线的性质与判定定理

考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现．题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现．

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在

○

⊙O上．如果∠P＝50 ，那么∠ACB等于（ ）

○ ○

A．40 B．50

○ ○

C．65D．130

2、如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．

3、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．(10分) 求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．

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BOOMANADECF.

课后习题：

1.已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是精选文档.

） （

.

A 5cm B 1cm C 5cm或1cm D 不能确定

2.下列说法不正确的是（ ）

A 直径所对的圆周角是直角 B 圆的两条平行弦所夹的弧相等 C 相等的圆周角所对的弧相等 D 相等的弧所对的圆周角相等 3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r12、r24，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）． A、2 B、4 C、6 D、8

4. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面

AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（ ）

3737A．5 B．7 C． D．

57

C C Ｏ A

O D 图4

B Ａ A O D 图6 B

Ｂ 图5 图7

图8

5.如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）

A．2cm

B．3cm

C．23cm

D．25cm

6.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．

7.如图6，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BAC50，则ADC ． 8.如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝ .

⌒的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________ 9.如图8，⊙O中，MAN

10．如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点

E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE． (1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．

11、如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。 （1）求证：ACO=BCD。 （2）若EB=8，CD=24，求⊙O的直径。

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C F D E

A O

B

图12

A O E C B D .

12.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2． （1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，

若PC=225，求PD的长．

附加基础题：

1．下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧； (2)圆的任意一条弧必定把

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圆分成劣弧和优弧两部分； (3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形； (5)三角形的外心到各顶点距离相等. 其中真命题有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图1，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）． A．30° B．40° C．50° D．60° 3．O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ）． A．100°B．120°C．130° D．160°

4．如图2，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）． A．65° B．50° C．130° D．80°

5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）． A．15 B．12 C．13 D．14

6．已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x-4x+3=0的两根，那么这两个圆的位置关系是（ ）． A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

7．⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O•相切的圆的半径一定是（ ）． A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定 8．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）． A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm 二、填空题．

1．⊙O中，弦MN把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T为MN中点，则∠TMO=_________，则弦MN所对的圆周角为_______．

2．⊙O到直线L的距离为d，⊙O的半径为R，当d，R是方程x-4x+m=0的根，且L•与⊙O相切时，m的值为_________． 3．如图3，△ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________．

4．已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r•的所有可能的正整数值为_________．

十、切线长定理 切线长定理：

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2

2

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从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线

B ∴PAPB PO平分BPA

AOP

例1、如图2，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）． A．65° B．50° C．130° D．80°

2、如图3，△ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________．

【变式训练】

3、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）

A．2 B．23 C．3 D．3

4、如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．

十一、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

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PABCO AO2B.

如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十二、圆内正多边形的计算

OC（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：

BDAOD:BD:OB1:3:2；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.

例1、两等圆半径为5，圆心距为8，则公共弦长为__________． 例2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是 （ ） °°°或150°

例3、如图, ⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2， 则等边三角形ABC的边长为（ ）

A．23 B．5 C．3 D．25 【变式训练】

1、半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为______________

B BOACEDOBAA O C （第35题）

2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.

3、如图5，⊙O的半径为3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为__________

十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132）

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nr2nr考查形式：考查运用弧长公式（l）以及扇形面积公式（S和

3601801Slr）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查．

2nR21nRlR 1、扇形：（1）弧长公式：l；（2）扇形面积公式： S3602180OSAlBn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

S表S侧2S底=2rh2r

B2ADD1母线长底面圆周长（2）圆柱的体积：Vrh 3、圆锥：

（2）圆锥侧面展开图

O2（1）S表S侧S底=Rrr

2CB1C1R（2）圆锥的体积：Vrh

A132Cr

B例1、已知扇形的圆心角为120°，弧长等于半径为5㎝的圆的周长，则扇形的面积为（ ）

2 222

A、75㎝ B、75㎝ C、150㎝ D、150㎝

例2、底面面积为8π，高为3的圆柱的表面积和体积分别为：___________

例3、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) A.180° B.200° C.225° D.216°

例4、AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.

⑴求∠A的度数；

⑵若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF＝43，求图中阴影部分的面积.（15分）

CAOEFBD

【变式训练】

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1、方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积 和为 （结果保留π）．

2、已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，弧BC的长为 cm ，求线段AB的长。

综合复习题：

1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）.

①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等．

AA．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个 2．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数________.

3、如图1，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点， ⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ） A A．30° B．45° C．60° D．90°

４、一条弦把半径为8的圆分成长度为1∶2的两条弧，则这条弦长为（ ） A、43 B、83 C、8 D、16

５、如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是（ ） °0°0°0°

６、在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2，则 ∠BAC的度数为

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BC0

83DP O B

EDCAOB

A C O B D

.

__＿＿＿＿＿

7、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝ 度．

8、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F.

∠D＝30°，BC＝1，求圆中阴影部分的面积为：_______________

9、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长

10、如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB与点C、D，若PA，PB的长是关于关于x的一元二次方程

CEDOAx2mx(m1)0的两个根，求PCD的周长．

P

B

11、如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。 （1）求圆心M的坐标；

（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积

0

YDMAOCBX

课后习题：

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一、选择题：

1、下列说法正确的是( )

2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为（ ） A. 3

B. 4

C. 2或4

D. 2或6

。 3、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）

Ａ．10π B．12π Ｃ．15π Ｄ．20π

2

4、已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ） A．

3cm B．3cm C．4cm D．6cm 25、一个正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正 边形（ ）

6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） ∶2∶∶2∶3 C.3∶2∶∶2∶1 二、填空题：

AACO A P B

B

O1DOCBO2

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

7、在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________．

8、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB4，OP2，连结OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为

9、如图⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形的面积之和为（ ）

A．

12cm2 B．

8cm2 C．

6cm2 D．

4cm2

10、如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为：（ ）

A．6 B．10 C．12 D．20

11、矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。 12、扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。

三、解答题：

13、如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D．弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．证明：AE=BE

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A F

E

B C D O

14、如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD。

15、如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?为什么？

16、已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于 BB点C．（1）如图①若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）； CCOO（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

PPADA

17、线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=63cm，求：

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（1）⊙O的半径；（2）圆中阴影部分面积．

ODACB18、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．

（1）求证：△AOC≌△AOD；

（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

19、如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，

过点M作MN∥OB交CD于N．

⑴求证：MN是⊙O的切线；

⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

DBEOAC

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