海淀区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

海淀区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）

A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2

2． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（ ） A．{5} B．{1，2，5}

C．{1，2，3，4，5} D．∅

），则下列结论正确的是（ ）

对称 ）上是增函数

个单位长度得到

3． 已知函数f（x）=3cos（2x﹣A．导函数为

B．函数f（x）的图象关于直线C．函数f（x）在区间（﹣

，

D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移4． 执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

A．19 B．42 C．47 D．89

5． 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（ ）

A．（0，1）∪（2，3） B．（0，1）∪（3，4） C．（1，2）∪（3，4） D．（1，2）∪（2，3）

6． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B． C． D．

7． 定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ） A．0

B．2

C．3

D．6

8． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ ） A．﹣ B．

C．﹣1 D．1

9． 命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ ）

A．“∀a∈R，函数y=π”是减函数 B．“∀a∈R，函数y=π”不是增函数 C．“∃a∈R，函数y=π”不是增函数 是（ ）

A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）

11．直线的倾斜角是（ ） A．

B．

C．

D．“∃a∈R，函数y=π”是减函数

10．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围

D．

12．记,那么

ABCD

13．（

二、填空题

72

﹣2）的展开式中，x的系数是 ．

14．在复平面内，记复数的复数为 ． 示）

+i对应的向量为

，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量

所对应

15．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．（用区间表

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16．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

17．如果椭圆

+

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．

18．已知圆C的方程为x2y22y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB 最小则直线的方程是 ．

三、解答题

19．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y 轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0. 33，求AOB面积的最大值. 2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

20．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果． （1）y=（2）y=

+

．

；

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21．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M． （I）求AM的长；

（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

22．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0 （1）求实数m的值．

（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间 （3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

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23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围. 24．（1）求证：（2）

，若

． ．

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海淀区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由题意知圆半径r=

2

∴圆的方程为=2．

，

故选：D．

【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．

2． 【答案】B

【解析】解：∵CUA={1，5}

∴B∪（∁UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B．

3． 【答案】B

【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣对于B，当x=

时，f（

）=3cos（2×

﹣

）•2=﹣6sin（2x﹣

），A错误；

）=﹣3取得最小值，

所以函数f（x）的图象关于直线对于C，当x∈（﹣

，

对称，B正确；

∈（﹣

，

），

）时，2x﹣

函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；

个单位长度，

）的图象，

对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2（x﹣

）=3co s（2x﹣

这不是函数f（x）的图象，D错误． 故选：B．

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

4． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 S=1

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满足条件k＜5，S=3，k=2 满足条件k＜5，S=8，k=3 满足条件k＜5，S=19，k=4 满足条件k＜5，S=42，k=5

不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42． 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2）， ∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x）， ∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称， 又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1）， 故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，

由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3） 故选：D

【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．

6． 【答案】A

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【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：

222

∵a=b+c，∴c=

=，

，

∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．

7． 【答案】D

【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}， 则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4， 又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}， 其所有元素之和为6； 故选D．

【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．

8． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1， ∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1， ∵2016=3×672，

672

∴A2016 =（﹣1）=1．

，得，，a4=3，

故选：D．

9． 【答案】C

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数． 故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

10．【答案】A

【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，

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则a＞lne=1，

若命题q：“∃x∈R，x﹣4x+a=0”为真命题，

2

则△=16﹣4a≥0，解得a≤4， 若命题“p∧q”为真命题， 则p，q都是真命题， 则

，

解得：1＜a≤4．

故实数a的取值范围为（1，4]． 故选：A．

【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．

11．【答案】A

，

【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线∴tanα=

，

的斜率为

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

12．【答案】B 【解析】【解析1】

,

所以【解析2】

，

二、填空题

13．【答案】﹣280

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解：∵（由

7

﹣2）的展开式的通项为=．

，得r=3．

．

∴x2的系数是故答案为：﹣280．

14．【答案】 2i ．

【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 （

+i）（cos60°+isin60°）=（

+i）（

）=2i

，故答案为 2i．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（（cos60°+isin60°），是解题的关键．

15．【答案】 （1，+∞）

2

【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x+2x+a≤0，

+i）

当命题p是假命题时，

2

命题￢p：∀x∈R，x+2x+a＞0是真命题；

即△=4﹣4a＜0， ∴a＞1；

∴实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．

16．【答案】﹣2≤a≤2 【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题，

2

则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

17．【答案】 x+4y﹣5=0 ．

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【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，

22

把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x+4y=36，

得，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0． 故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．

18．【答案】xy30 【解析】

22试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时

kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.

考点：直线与圆的位置关系的应用.

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y) 3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

131x2y21 ∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即

33x2y21 …………4分 ∴曲线C的方程为3第 11 页，共 15 页

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20．【答案】 【解析】解：（1）∵y=∴

，

+

，

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解得x≥﹣2且x≠﹣2且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）； （2）∵y=∴

， ，

解得x≤4且x≠1且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．

21．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点， ∴

； 3分

（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点， 以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系， 可得

，

∴设

∴cos＜，

＞=

，

为面BCE的法向量，由

=

，5分 可得=（1，2，﹣

4分

），

，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为

22．【答案】 ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4，

（2）f（x）=x|x﹣4|=

【解析】解：（1）∵f（4）=0，

图象如图所示：

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由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减． （3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数， 由图可知k∈（0，4）．

【解析】

23．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2].

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解； 21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

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记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论. 24．【答案】

【解析】解：（1）∵∴an+1=f（an）=则∴{

，

}是首项为1，公差为3的等差数列；

=3n﹣2，

，

，

，

（2）由（1）得，∵{bn}的前n项和为

nn1n1

∴当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2﹣2﹣=2﹣， n1

而b1=S1=1，也满足上式，则bn=2﹣，

∴=

=（3n﹣2）2n﹣1，

=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①

∴

123n

则2Tn=2+4•2+7•2+…+（3n﹣2）2，②

①﹣②得：﹣Tn=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，

n

∴Tn=（3n﹣5）2+5．

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