封⾯是福州的福道,从⾼处往下看福道上的⼈在转圈圈。从傅⾥叶变换后的频域⾓度来看,我们的⽣活也是⼀直在转圈圈,转圈圈也是好事,说明⽣活有规律,⽽我们应该思考的是,如何更有效率地转圈圈……哦别误会,我真不是在说内卷(狗头)。本⽂会讲到离散傅⾥叶、实信号、负频率、fftshift、实信号、共轭等概念。
离散傅⾥叶变换
写到了离散傅⾥叶变换。
公式如上,我发现,只要掌握初中的数学——加减乘除以及三⾓函数,就可以掌握离散傅⾥叶变换的运算。上⽂中说过:
如果有时域数据如: [1, 2, 3] 的话,那么代⼊公式算得频域数据的结果为:[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]
频域数据,就是时域数据依次代⼊到离散傅⾥叶变换公式的结果。下⾯是对频域数据第⼆个复数:-1.5 + 0.86603i的推算过程。如下:此时N = 3,k = 1,n = [0, 1, 2]代⼊到上述公式得:只要懂得计算:
即可得出整个式⼦的结果。以上式⼦表达的即为,⼀个长度为3的线段,⼀端在坐标原点上,且线段和X轴(实部)的正半轴重叠。然后线段以坐标原点为圆⼼,顺时针旋转4π/3。该线段在X轴上的投影即为实部,在Y轴上的投影即为虚部。如下(⼿残字丑预警):
这⾥多说⼀句,如果时域信号也是复数且虚部有值的话,例如[3, 1],那么上图中,起始位置的[3, 0]改成[3, 1]即可,再做同样的4π/3旋转。实部:-3 * cos(π/3) = -1.5虚部:3 * sin(π/3) = 2.59808即为:同理可得:以上相加:
1 + (-1 - i*1.732050) + (-1.5 + i*2.59808) = -1.5 + 0.86603i
⾄此,我们⼤约已经掌握了DFT(离散傅⾥叶变换)。DFT即计算三⾓函数和数据累加的过程,甚⾄我们也可以⾃⼰实现⼀个DFT函数。
fftshift
FFT即快速傅⾥叶变换,⼀种⾮常⾼效的DFT函数实现。通常做完FFT之后,很多场景下会做fftshift。
fftshift是针对频域的,将FFT直流分量移到频谱中⼼。fftshift就是对换数据的左右两边置换如:x=[1 2 3 4]
fftshift(x) -> [3 4 1 2]
⽤matlab或者octave运⾏以下代码:
clf;
fs=100;N=256; %采样频率和数据点数n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号y1=fft(x,N); %对信号进⾏快速Fourier变换y2=fftshift(y1);
mag1=abs(y1); %求得Fourier变换后的振幅mag2=abs(y2); f1=n*fs/N; %频率序列f2=n*fs/N-fs/2;
subplot(2,1,1),plot(f1,mag1,'r'); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('Freq Hz');
ylabel('Amp');title('plot 1 usual FFT','color','r');grid on;subplot(2,1,2),plot(f2,mag2,'m'); %绘出随频率变化的振幅xlabel('Freq Hz');
ylabel('Amp');title('plot 2 FFT after fftshift','color','m');grid on;
可以看到fftshift完成了shift的功能,但也暗含了额外的信息。
1. 为什么60Hz可以当做是-40Hz,15Hz可以当做是-85Hz?⼜或者为什么会有负频率?2. 为什么频点40和-40有相同的振幅?接下来就这两点展开讨论。
负频率
我们还是以时域数据[1, 2, 3] fft后 --> [6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i],作为例⼦。
[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中的三个数字分别代表0Hz, 1Hz, 2Hz的频点信息。对它做fftshift则会变成:[-1.5 - 0.86603i, 6 + 0i, -1.5 + 0.86603i]这分别代表-1Hz,0Hz,1Hz的频点信息。原本的2Hz的也就是-1Hz。为什么?还是要从离散傅⾥叶变换的公式说起:
还记得我们求频域数据[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中1Hz的-1.5 + 0.86603i的式⼦吗?如果求2Hz的式⼦是这样的:即为:也即为:
以上求2Hz的式⼦和以下求1Hz的式⼦再对⽐⼀下:
1Hz是顺时针旋转,2Hz是逆时针旋转,旋转的度数是⼀样的,只是旋转的⽅向不⼀样。所以当N为3时,2Hz即为-1Hz,就是相对1Hz反着旋转。以上现象公式是可以推导出来的,如下:
实信号的频域,共轭对称
为什么频点40和-40有相同的振幅?因为时域信号是实信号,所谓实信号,即为信号中数据的虚部为0。所谓共轭,就是实部相同,虚部的符号相反的⼀对复数。
实信号经过DFT之后,频域信号是共轭对称的,两个数如果共轭,则代表这两个值的幅值相同,相位不同。频点40和-40频点的值是共轭的,所以有相同的振幅。
我们还是以[1, 2, 3]为例⼦,实信号[1, 2, 3]的频谱是[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]。1Hz的-1.5 + 0.86603i和-1Hz的-1.5 - 0.86603i就是共轭对称的。这不是巧合。
这也是暗含在离散傅⾥叶变换公式中的⼀个信息。可以推导出来,这还是牵扯到1Hz和-1Hz的频点信息的关系,如下:如果x(n)是实信号,那么X(k)与X(N - k)则互为共轭,怎么理解?其中
2πnk
e−i×
和
N
2πnk
ei×
已经是互为共轭了,就看x(n)的值中的虚部是否为零了。⽰意图如下(⼿残字丑预警):
N
以上简化了⽣成1Hz的多个向量,仅为⽰意,但是1Hz和-1Hz频点的关系⼀⽬了然,也解释了为什么仅在实信号时,正负频率是共轭的。
思考另⼀个⾓度
频域信号中所有频点代表的曲线,他们的累加即为时域信号。
想象⼀下(其实是我不会画图 - -),在⼀个复平⾯上如何构建⼀个,在实部投影是40Hz的cos信号,但虚部投影是0的曲线?我们是否需要两个复平⾯曲线,⼀个如下图,假设它的相位和幅值是a + bi,并且以40Hz的频率逆时针旋转。
另⼀个⾃⾏脑补,假设它的相位和幅值是a - bi,并且以40Hz的频率顺时针旋转。
以上两个曲线相加,是否能在⼀个复平⾯上如何构建⼀个,在实部投影是40Hz的cos,但虚部投影是0的曲线呢?如果本⽂中有哪些没说清楚的地⽅,欢迎后台私信我,⼀起讨论。
参考资料
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